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问题：问题：如图，如图，已知菱形已知菱形ABCD，E是是BC边上一点，连边上一点，连接接AE交交BD于点于点F.当当 ABC=90时，过点时，过点C作作CG AE交交AE的延长线于点的延长线于点G，连接，连接DG.求证：求证：BDG=BAE.ABCDEFG图3问题：当ABC=90时，过点C作CGAE交AE的延长线1隐圆大合集隐圆大合集“圆圆”来如此简单！来如此简单！定远第一初级中学定远第一初级中学定远第一初级中学定远第一初级中学 钱传福钱传福钱传福钱传福隐圆大合集“圆”来如此简单！定远第一初级中学 钱传2定点定长走圆周，定点定长走圆周，定线定角跑双弧。定线定角跑双弧。三点（不共线）必有外接圆，三点（不共线）必有外接圆，对角互补也共圆。对角互补也共圆。有有“圆圆”千里来相会，千里来相会，无无“圆圆”对面不相识。对面不相识。“圆圆”出出“缘缘”生关系现，生关系现，“圆圆”成成“缘缘”通真相明。通真相明。确定隐圆的条件：确定隐圆的条件：定点定长走圆周，有“圆”千里来相会，确定隐圆的条件：3一、定点+定长1.依据：依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。圆心定长为半径的圆。一、定点+定长1.依据：42.应用：应用：（2）如图，四边形）如图，四边形ABCD中，中，AB=AC=AD=2，BC=1，ABCD，求，求BD的长。的长。简析：简析：221 由由AB=AC=AD=2，知，知B、C、D在以在以A为圆为圆2为为半径的圆上，由半径的圆上，由ABCD得得DE=BC=1，易求，易求BD=。2.应用：简析：221 由AB=AC=AD=2，5ABCCABABCCAB6（1）如图，在矩形）如图，在矩形ABCD中，中，AB=4，AD=6，E是是AB边的中点，边的中点，F是线段是线段BC边上的动点，将边上的动点，将EBF沿沿EF所在直线折叠得到所在直线折叠得到EBF，连接，连接BD，则，则BD的最小值是的最小值是_.简析：简析：E为定点，为定点，EB为定长，为定长，B点路径为以点路径为以E为圆心为圆心EB为半为半径的圆，作穿心线径的圆，作穿心线DE得最小得最小值为值为 。2.应用：应用：（1）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边73.练习：练习：如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，AC=6，BC=8，点，点F作边作边AC上，且上，且CF=2，点，点E为边为边BC上的动点，将上的动点，将CEF沿直线沿直线EF翻折，点翻折，点C落在落在点点P处，则点处，则点P到边到边AB的距离的最小值为的距离的最小值为_.M3.练习：M83.练习：练习：如图，已知如图，已知AB=AC=AD,CBD=2 BDC,BAC=44，求，求 CAD的度数。的度数。3.练习：9二、定线(段）+定角1.依据：依据：与一条定线（段）的两端夹角一定的动点路与一条定线（段）的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。特别地：特别地：当定角为直角时，当定角为直角时，定弦即为直径。定弦即为直径。二、定线(段）+定角1.依据：与一条定线（段）102.应用：应用：（1）O2.应用：O112.应用：应用：（2）矩形）矩形ABCD中，中，AB=10，AD=4，点，点P是是CD上上的动点，当的动点，当APB=90时，求时，求DP的长的长.AB为定线，APB为定角（90），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。简析：简析：2.应用：AB为定线，APB为定角（90）123.练习：练习：如图，如图，XOY=45，等边三角形，等边三角形ABC的的两个顶点两个顶点A、B分别在分别在OX、OY上移动，上移动，AB=2，那么，那么OC的最大值为的最大值为_.AB为定线，XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+2。简析：简析：3.练习：AB为定线，XOY为定角，O点路径为以13三、三点（不共线）定圆1.依据：依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。不在同一直线上的三点确定一个圆。三、三点（不共线）定圆1.依据：142.应用：应用：ABC中，中，A45，ADBC于于D，BD=4，CD=6，求，求AD的长。的长。作作ABC的外接圆，如下的外接圆，如下图，易得图，易得AD=7+5=12。简简析析：2.应用：作ABC的外接圆，如下图，易得AD=151.依据：依据：对角互补对角互补（或（或一边所对的两个角相等一边所对的两个角相等）的四）的四边形四个顶点共圆边形四个顶点共圆。四、四点共圆1.依据：四、四点共圆162.应用：应用：如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=6，AD=8，P、E分分别是线段别是线段AC、BC上的点，四边形上的点，四边形PEFD为矩形，为矩形，若若AP=2，求，求CF的长。的长。因因DCE=DFE=DPE=90，知知D、F、C、E、P共圆，如下图，共圆，如下图，由由1=2、4=5，易得，易得APDDCF，CF：APCD：AD，得，得CF1.5。简简析析：123452.应用：因DCE=DFE=DPE=90，17练习：如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，EAF=45EAF=45，AEAE，AFAF分别交射线分别交射线CBCB，DCDC于点于点E E，F F，交直线，交直线BDBD于于M M，N.N.（1 1）如图）如图1 1，当点，当点E E，F F在边在边BCBC，CDCD上时，求证：上时，求证：AMNDFN.AMNDFN.（2 2）在（）在（1 1）的条件下，求证：）的条件下，求证：AE=AN.AE=AN.（3 3）如图）如图2 2，当，当E E，F F在边在边CBCB，DCDC的延长线上，的延长线上，AM=3AM=3时，求时，求AFAF的长的长.练习：如图，在正方形ABCD中，EAF=45，AE，A18小试牛刀：学了这么多，该你试一试了！1.如图如图,ABC中中,ABC90,AB6,BC8,O为为AC的中点的中点,过过O作作OEOF,OE、OF分别交射分别交射线线AB、BC于于E、F,则则EF的最小值为的最小值为_.小试牛刀：学了这么多，该你试一试了！1.如图,ABC中,19 图中显然图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦共圆，圆是动的，但弦BO5，当，当BO为直径时最小，所以为直径时最小，所以EF最小为最小为5.简简析析：图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO202.如图如图,RtABC中中,C90,ABC30,AB6,点点D在在AB边上边上,点点E是是BC边上一点边上一点(不与点不与点B、C重合重合),且且DADE,则则AD的取值范围是的取值范围是_ 。小试牛刀：因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得2AD3。简简析析：2.如图,RtABC中,C90,ABC3021 如图，RtABC中，ACB90，点D为边AC上一点，DEAB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CMEM；(2)若BAC50，求EMF的大小；(3)如图，若DAECEM，点N为CM的中点，求证：ANEM.图 图 如图，RtABC中，ACB90，点D为边AC22
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