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20.2 20.2 矩形的判定矩形的判定20.2矩形的判定矩形的判定复习回顾复习回顾四边形四边形平行平行四边形四边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合矩形集合矩形集合定义：有一个角是定义：有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做矩形。叫做矩形。复复习习回回顾顾四四边边形平行两形平行两组对边组对边一个角一个角矩形四矩形四边边形集合平行四形集合平行四边边形集形集边边对角线对角线角角ABCDO矩形对边矩形对边平行平行且且相等相等；矩形的四个角都是矩形的四个角都是直角直角；矩形的对角线矩形的对角线相等相等且且平分平分；直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半边对边对角角线线角角ABCDO矩形的性矩形的性质质：矩形：矩形对边对边平行且相等；矩形的四平行且相等；矩形的四四边形四边形ABCD是矩形是矩形1若已知若已知AB=8，AD=6，则则ACOB=2若已知若已知CAB=40，则，则OCB=OBA=AOB=AOD=3若已知若已知AC10，BC=6，则矩形的周长，则矩形的周长矩形的面积矩形的面积24若已知若已知DOC=120，AD6，则，则AC=ODCBA550101004012482880试一试试一试四四边边形形ABCD是矩形是矩形ODCBA550101004012试一试DCBA已知已知ABC是是Rt，ABC=Rt，BD是斜边是斜边AC上的中线上的中线1若若BD=3则则AC2若若C=30，AB5，则，则AC，BD，BDC6510120试试一一试试DCBA已知已知 ABC是是Rt，ABC=Rt，若，若B矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.你还有其它的判定方法吗？你还有其它的判定方法吗？ABCD A=900四边形四边形ABCD是矩形是矩形你知道如何判定一个平行四你知道如何判定一个平行四边边形是矩形形是矩形吗吗？矩形的定？矩形的定义义：有一个角是：有一个角是情境一情境一：工人师傅为了检：工人师傅为了检验验两组对边相等两组对边相等的四边形窗的四边形窗框是否成矩形，一种方法是框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对量一量这个四边形的两条对角线长度，如果角线长度，如果对角线长相对角线长相等等，则窗框一定是矩形，你，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？知道为什么吗？猜想猜想：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形.情境一：工人情境一：工人师师傅傅为为了了检验检验两两组对边组对边相等的四相等的四边边形窗框是否成矩形，形窗框是否成矩形，命题命题：对角线相等的平行四边形是矩形。：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD，AC=BD.求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形.ABCD证明证明:AB=CD,BC=BC,AC=BD ABC DCB（SSS）AB/CD ABC+DCB=180 ABC=DCB=90又又四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCD是矩形是矩形 ABC=DCB命命题题：对对角角线线相等的平行四相等的平行四边边形是矩形。已知：平行四形是矩形。已知：平行四边边形形ABCD对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.矩形的判定方法：矩形的判定方法：几何语言：几何语言：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形AC=BD 四边形四边形ABCD是矩形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）ABCDO（或（或OA=OC=OB=OD）对对角角线线相等的平行四相等的平行四边边形是矩形形是矩形.矩形的判定方法：几何矩形的判定方法：几何语语言：言：例例3：已知，如图矩形：已知，如图矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且E、F、G、H分分别是别是AO、BO、CO、DO的中点，的中点，求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形证明证明四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ACBD（矩形的对角相等），（矩形的对角相等），AOBOCODO（矩形的对角线互相（矩形的对角线互相平分）平分）.E、F、G、H分别是分别是AO、BO、CO、DO的中点，的中点，OEOFOGOH，四边形四边形EFGH是平行四边形（对角线互是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）相平分的四边形是平行四边形）EOOGFOOH，即即EGFH，四边形四边形EFGH是矩形（对角线相等的平是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）行四边形是矩形）例例3：已知，如：已知，如图图矩形矩形ABCD的的对对角角线线AC、BD相交于点相交于点O，情境一情境一：李芳同学有：李芳同学有“边边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边”这样四步，这样四步，画出了一个四边形，她说这画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？吗？为什么？猜想猜想：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？提示：用提示：用“有一个角是有一个角是直角的平行四边形是矩直角的平行四边形是矩形形”去证去证情境一：李芳同学有情境一：李芳同学有“边边直角、直角、边边直角、直角、边边直角、直角、边边”矩形的判定方法：矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.ABCD A=B=C=90 四边形四边形ABCD是矩形是矩形几何语言：几何语言：矩形的判定方法：有三个角是直角的四矩形的判定方法：有三个角是直角的四边边形是矩形形是矩形.ABCD你能你能归纳矩形的几种判定方法吗？归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.方法方法1：方法方法2：方法方法3：你能你能归纳归纳矩形的几种判定方法矩形的几种判定方法吗吗？有一个角是直角的平行四？有一个角是直角的平行四边边形是矩形是矩P110练习1 如图，AB、CD是O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论证明：证明：AO=BO,CO=DO（圆的相等半径）（圆的相等半径）四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是（对角线互相平分的四边形是平行四边形）平行四边形）AB=CD(圆的直径相等）圆的直径相等）四边形四边形ABCD是矩形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）P110练习证练习证明：明：AO=BO,CO=DO2 如图，ABCD中，1=2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？解：解：AO=CO,BO=DO（平行四边形对角线互相平分）（平行四边形对角线互相平分）1=2 AO=BO（等角对等边（等角对等边）AC=BD 四边形四边形ABCD是矩形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）（对角线相等的平行四边形是矩形）ABCD2如如图图，ABCD中，中，1=2.此此时时四四边边形形ABCD是矩是矩下列各句判定矩形的说法是否正确？下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4 4）有三个角都相等的四）有三个角都相等的四）有三个角都相等的四）有三个角都相等的四边边形是矩形形是矩形形是矩形形是矩形;XXXX下列各句判定矩形的下列各句判定矩形的说说法是否正确？（法是否正确？（1）对对角角线线相等的四相等的四边边形是矩形是矩例例4：如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形么这个四边形是矩形已知：如图，已知：如图，ABCD的四个内角的平的四个内角的平分线分别相交于分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形求证：四边形EFGH为矩形为矩形BGC=90同理可证同理可证AFB=AED=90 四边形四边形EFGH是矩形是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形)证明：证明：AB CDABCBCD=180BG平分平分ABC，CG平分平分BCD例例4：如果平行四如果平行四边边形四个内角的平分形四个内角的平分线线能能够围够围成一个四成一个四边边形，那形，那有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.方法方法1：方法方法2：方法方法3：小小结结：矩形的判定方法有一个角是直角的平行四：矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边边形是矩形形是矩形.对对角角线线自我诊断1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A 对角线相等 B 对角线垂直C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 cm3、如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是 EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定 C5C自我自我诊诊断断1、能、能够够判断一个四判断一个四边边形是矩形的条件是（形是矩形的条件是（）C5CP110习题2021 如图，ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.求证四边形ABCD是矩形.证明：证明：AB=6,BC=8,AC=10且且62+82=102 AB2+BC2=AC2 B=900（勾股定理逆定理（勾股定理逆定理）ABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCD是矩形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形)P110习题习题202证证明：明：AB=6,BC=8,AC=102.如图，ABC中，AB=AC,AD、AE分别是A与A的外角的平分线，BEAE.求证：AB=DE.证明：证明：AB=AC,AD平分平分BAC AD BC,1=BAC/2(等腰三角形三线合一）等腰三角形三线合一）AE平分平分BAF 2=BAF/2 BAC+BAF=1800 1+2=(BAC+BAF)/2=900 BE AE BDA=DAE=BEA=900 四边形四边形BDAE是矩形（是矩形（有三个角有三个角是直角的四边形是矩形是直角的四边形是矩形）1 2F2.如如图图，ABC中，中，AB=AC,AD、AE分分别别是是 A与与3 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和提示：过点提示：过点P分别作分别作PE AC,PF BD,分别交分别交AC,BD于点于点E,F.设设AC与与BD相交于相交于O,连结连结PO,利用利用PAO与与PDO的面积之和的面积之和是矩形面积的四分之一，求是矩形面积的四分之一，求得结果为得结果为120/17.3如如图图，点，点P是矩形是矩形ABCD的的边边AD上的一个上的一个动动点，矩形的两点，矩形的两
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