弹性力学PPT课件-第八章

第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答第五节第五节 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第四节第四节 按应力求解空间问题按应力求解空间问题第三节第三节 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力第二节第二节 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力第一节第一节 按位移求解空间问题按位移求解空间问题第六节第六节 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 第七节第七节 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 第八节第八节 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 例题例题第八章 空间问题的解答第五节 等截面直杆的扭转第四节 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 1.取u,v,w为基本未知函数。按位移求解按位移求解 2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即81 按位移求解空间问题按位移求解空间问题 将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：1.取u,v,w为基本未知函数。按位移第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中体积应变 按位移求解按位移求解 3.将式(a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：求解位移的基本方程：其中体积应变 按位移求解 3.将第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中拉普拉斯算子V V内基本方程内基本方程其中拉普拉斯算子V内基本方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 4.将式 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件应力边界条件：边界条件 位移边界条件位移边界条件仍为:4.将式 代入应力边界条件，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）上的应力边界条件(c)；（3）上的位移边界条件(d)。归结：按位移求解空间问题按位移求解空间问题，位移 必须满足：按位移求解按位移求解这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b)；（2）上的应力边界条件(c)；（3）上的位移边第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答优点 在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。优点 在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：3.第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 按位移求解空间轴对称问题按位移求解空间轴对称问题:在柱坐标 中，可以相似地导出：位移 应满足：轴对称问题（1）V内的平衡微分方程，按位移求解空间轴对称问题:轴对称问题（1）V内的平衡第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变轴对称问题（2）上的应力边界条件。（3）上的位移边界条件。轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变轴对称问第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答1、试导出空间问题中上的应力边界条件 （8-4）。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4），并将 上的应力边界条件 用位移来 表示。思考题1、试导出空间问题中上的应力边界条件思考题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 设有半空间体，受自重体力 及边界的均布压力q。82 半空间体受重力半空间体受重力 及均布压力及均布压力 问题 设有半空间体，受自重体力 及边界第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 采用按位移求解：考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设 位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。求解方法 采用按位移求解：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，求解方程积分两次,得（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式求解方程积分两次,第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答相应的应力为求解方程相应的应力为求解方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在z=0的负z面，应力边界条件为边界条件由式(d)求出A，得应力解为（2）在z=0的负z面，应力边界条件为边界条件由式(d)求出第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答位移解为其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由 可以确定 B。若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定 B；位移解为其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 侧面压力与铅直压力之比，称为侧压侧压力系数力系数。即侧压力系数 侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即侧第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 当 时，侧向变形最大，侧向压力也最大,说明物体的刚度极小，接近于流体。当 时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。讨论：讨论：讨论：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 2.若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 应变问题简化，将得到什么形式的表达 式？再转向平面应力问题，又将得到什 么形式的表达式？并与平面问题的位移 函数相比较（参见“弹性力学简明教程学 习指导”和第二章教学参考资料）。3.试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导 出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习 指导”）。2.若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 3.试用伽第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，位移 而 和 应满足:8-3半空间体在边界上受半空间体在边界上受 法向集中力法向集中力 问题设有半空间体,在o点受有法向集中力F。本题为空间轴对称问题。8-3第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）平衡微分方程（书中（8-4）求解条件其中（1）平衡微分方程（书中（8-4）求解条件其中第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在 z=0 的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为（3）由于 z=0 边界上o点有集中力F的作用，取出 z=0至 z=z的平板脱离体，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：（2）在 z=0 的边界上，除原点o以外的应力（3）由于 z第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为 由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中其中第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 应力特征：应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。（2）水平截面上的应力 与弹性常 数无关。（1）当 当边界面上任一点的沉陷：沉陷：应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 若单位力均匀分布在 的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为 ，对 积分，便得到书上公式。分布力 若单位力均匀分布在 的矩形面积第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答1.试由位移函数的表达式(8-11)，导出式 (8-12)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）2.试由拉甫位移函数的表达式(8-14)，导出式(8-15)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）思考题思考题试由位移函数的表达式(8-11)，导出式 (8-12)。（第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答84按应力求解空间问题按应力求解空间问题 按应力求解空间问题的方法：按应力求解空间问题的方法：按应力求解 形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取x yz为基本未知函数。84按应力求解空间问题 按应力求解第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解 全部为全部为 应力边界条件应力边界条件 的问题 因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答3.在V内导出求应力的方程:从几何方程消去位移，导出6个相容方程：（2）相容方程（6个）:（1）平衡微分方程（3个）。V内方程3.在V内导出求应力的方程:从几何方程消去位移，导出6个第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12）。4.假设全部为应力边界条件，在 上，应满足书中式（7-5）。应力边界条件 再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）V内的3个平衡微分方程；其中：(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为按应力求解归纳为,应力分量应满足：按应力求解归纳（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的3个应力边界条件（假设 全部为应力边界条件）；（2）V内的6个相容方程；（1）V内的3个平衡微分方程；其中：(1),(3)是静力平第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）形变满足相容方程,对应的位移存 在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程,对应的位移 不存在,物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件,导出形变和 位移之间的几何方程,导出相容方 程。对于相容方程相容方程说明如下：相容方程说明所以相容方程相容方程是位移的连续性条件位移的连续性条件。（2）形变满足相容方程,对应的位移存（1）物体满足连第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见 有关书籍。例如：（4）相容方程必须为6个。相容方程和平衡微 分方程的数目大于未知函数的数目，是 由于微分方程提高阶数所需要的。（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见例如：（4）相容第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答式 是由方程 提高阶数得出的，但式 增加的解 不是原式 的解。几何 方程中，形变为 0 阶导数；但在相容方程中形变以 2 阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。式 是由方程 提高阶数得出的，但式 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应力函数 应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题思考题1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以导出平 面应变问题的相容方程，却不能直接导出平面 应力问题的相容方程，为什么？(见例题4)2、在表面均受到法向压力 q 作用的任意形状的 空间体，其应力分量是 试证明这些应力分量是该 问题之解（对于多连体还应满足位移单值条 件）。思考题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题扭转问题也是空间问题的一个特例。8-58-5等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转根据扭转问题的特性来简化空间问题，就建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。扭转问题 扭转问题也是空间问题的一个特例。8-5等第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）等截面柱体；（2）无体力作用，（3）柱体侧面无面力作用，柱体上,下端面的面力，合成一对力 矩 M。扭转问题扭转问题的提出:（1）等截面柱体；扭转问题的提出:第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 引用按应力求解空间问题的方法应力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程及 上的应力边界条件。按应力求解 引用按应力求解空间问题的方法应力应满足3第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答因此,只有 ，代入3个平衡微分方程得 1.由扭转问题特性,因上下端面（）上无面力 可设 因侧面无任何面力，可设 因此,只有 ，代入3个平衡微分方程得 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由式(a)前两式，得出 仅为（x,y）的函数；第三式成为 又由偏导数的相容性，存在一个应力函数由式(a)前两式，得出 仅为（x,y）的函数；第三第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数 表示为对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此得出扭转应力函数扭转应力函数 应满足的方程：应满足的方程：2.将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式成为代入式（d），得C为待定常数。相容方程由此得出扭转应力函数 应满足的方程：2.将式（d）第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答而 得3.考察侧面边界条件前两式自然满足，第三式成为边界条件而 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答因 在S上为常数。又由于 中的常数不影响应力，所以得 的侧面边界条件侧面边界条件为 考察上端面上端面（z=0）的边界条件。在小边界z=0上，应用圣维南原理，有因 在S上为常数。又由于 中的常数不影响应力，所第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在z=0负面上，只有 。其中 条件自然满足，而其余3个条件为 在z=0负面上，只有 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 将式(d)代入，并应用条件(f)，经过运算（见书P.168），式(h)的前两式自然满足，而由后一式得出关于 的端端面边界条件面边界条件为(h)将式(d)代入，并应用条件(f)，经(h)第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）A内方程（2）侧面S上边界条件（3）端面上边界条件 扭转问题扭转问题归纳为求一个扭转应力函数 ，应满足应满足：归纳（1）A内方程 扭转问题归纳为求一个扭转应力函第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 注解：（3）扭转问题中 的变量为 x,y,仍属 于二维问题。（2）空间问题按应力求解的全部条件均已 考虑并满足。（1）另一端面上的边界条件自然满足。注解：（3）扭转问题中 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 求位移分量：求位移分量：根据上面的应力，代入物理方程，可以求出对应的形变；再代入几何方程，并进行积分，求出对应的位移为其中 ，为单位杆件长度的扭角。求位移 求位移分量：其中 ，为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答并且还得出对比式（e），得出常数 C 的物理意义，并且还得出对比式（e），得出常数 C 的物理意义，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题1.试考虑：上面建立的分析方法是精确2.的理论还是近似的理论，其中提出的 一些假设是否完全成立？思考题试考虑：上面建立的分析方法是精确第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答886 6扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 对于物理现象不同，但数学描述相同的问题，可以应用数学比拟应用数学比拟方法来求解。薄膜问题薄膜问题 设有一薄膜，张在水平边界上，并受到气体的压力q。86扭转问题的薄膜比拟 对于物理现象第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答薄膜斜率在 面分别为薄膜斜率在 面分别为 薄膜只能承受均匀拉力 ，不能承受弯矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元abcd,各边上的作用力均为 ，但薄膜的斜薄膜的斜率率不同：薄膜问题薄膜斜率在 面分别为薄膜斜率在 面分第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答平衡条件：平衡条件：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率为薄膜与边界平面（xy面）之间的2倍体积是薄膜的 边界条件：薄膜比拟 得出薄膜在x，y向斜率为薄膜与边界平面（xy面）之间的2倍第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题 薄膜问题未知函数A内方程从数学上看，薄膜问题和扭转问题的数学方程相同，比较如下：边界条件 扭转问题 薄膜问题从数学上第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答边界条件切应力/斜率扭转问题 薄膜问题于是求扭转应力函数 的问题，可以化为求薄膜垂度z的问题：只要使M对应于2V，则边界条件扭转问题 薄膜问题于是求扭转应力函数 的问第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 薄膜比拟的应用：薄膜比拟的应用：（3）通过薄膜比拟,提出扭转应力函数的 假设。（2）通过薄膜比拟,直接求解薄壁杆件的 扭转问题。（1）通过薄膜比拟试验,求解扭转问题。薄膜比拟的应用：（3）通过薄膜比拟,第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题已归结为求扭转应力函数 ，应满足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,887 7 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 求的条件 扭转问题已归结为求扭转应力函数 ，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 式 中的C为常数，其特解十分简单；而式 的通解为调和函数。C可以由式 求出。式 中的C为常数，其特解十分简单；而第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。1.为了满足式(b)，可取 在椭圆边界上椭圆截面杆 椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答2.将式(d)代入(a)，解出3.再将式(d)及(e)代入式(c)，求出从而得出2.将式(d)代入(a)，解出3.再将式(d)及(e第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答求出单位长度杆件的扭角：求出单位长度杆件的扭角：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 z 向的位移为 可见横截面不保持为平面。只有当a=b 的圆截面时，w=0，才保持为平面。z 向的位移为 可见横截面不保第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答对于 的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,(1)在边界条件中，长边上应严格满足888 8矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 而短边(x=a/2)是 次要的，可忽略。狭矩形截面杆1.狭矩形截面杆狭矩形截面杆 的扭转 对于 的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,在第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在方程中，应主要考虑 y 向的导数，而可忽略 x 向的导数，所以由式 和 ，可得可简化为（2）在方程中，应主要考虑 y 向的导数，由式 和 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）将 代入 求出 所以狭矩形杆的解答为（3）将 代入第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答矩形截面杆2.2.一般矩形截面杆一般矩形截面杆 的扭转 以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解：矩形截面杆2.一般矩形截面杆 的扭转第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 应满足条件是由上式可导出F应满足的条件:应满足条件是由上式可导出F应满足的条件:第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 从式（h）可解出F，再由式（g）得 ，然后求出应力等解答（用双曲函数和三角函数的级数表示）。书中列出了简化的结果，见式（8-34）和（8-35）。从式（h）可解出F，再由式（g）得 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答3.薄壁杆件薄壁杆件的扭转（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同 时，直线形和曲线形截面的薄膜是相 似的，它们的 相同。（1）薄壁杆件截面都是狭矩形 可以直接引用式 的解答。薄壁杆件3.薄壁杆件的扭转（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）对于若干个狭矩形组成的构件，b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，由此解出a.各个截面的扭角相同，b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，由此解出a.各个截面的扭第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（4）闭口薄壁杆件的扭转 设闭口薄壁杆的厚度为 ，中心线长为s，中心线包围的面积为A.应用薄膜比拟，取外边界 上，则内边界上的 不能再任意选择，应取 ，如图，相当于有一块无重钢板悬挂于边界上。由薄膜比拟：（4）闭口薄壁杆件的扭转第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答扭矩解出切应力yxozxzoyq hs(b)开口薄壁杆件(a)闭口薄壁杆件扭矩解出切应力yxozxzoyq hs(b)开口薄壁杆件(a第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此得出切应力其中 ，代入得 为了求扭角K,可考虑内边界 上无重钢板的平衡条件：由此得出切应力其中 ，代第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由薄膜比拟，代入上式，求出当薄壁杆厚度 为常量时，由薄膜比拟，代入上式，求出当第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题 试比较：矩形中心线的边长为ab，厚度为的矩形的闭口薄壁杆件,和矩形开口薄壁件的切应力和扭角。思考题 试比较：矩形中心线的边长为ab，厚度为的矩第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答例题1例题2例题3例题4例题第八章例题例题1例题2例题3例题4例题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答解：引用“弹性力学简明教程学习指导”8-2中关于空间位移势函数 的解法。应满足泊松方程 例题1 试证明位移势函数能解任意弹性体受均布压力 q 的问题。及边界条件。解：引用“弹性力学简明教程学习指导”应满第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 取 满足泊松方程。由式（8-8）从 求出应力分量,在边界面上，设法线的方向余弦为l,m,n,则面力分量是将应力代入3个边界条件，并求出 取 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此，得解答 对于多连体，还应从应力求出位移，并校核多连体中的位移单值条件是否满足。显然，位移单值条件是满足的。由此，得解答第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 设有无限大弹性体（空间体），在体内一小洞中受有集中力F 的作用，如图(a)，试用拉甫位移函数 求解应力分量，其中 例题2 设有无限大弹性体（空间体），在体内一小洞中受有集中力第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答及边界条件。将代入方程，显然是满足的。再将代入应力公式（8-16），求出应力分量。解：引用“弹性力学简明教程学习指导”8-3中关于拉甫位移函数 的 解法，应满足重调和方程 及边界条件。解：引用“弹性力学简明教程学习指导”第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 为了校核小洞中受集中力的边界条件，在点 o 附近切出 一薄板，图(b)，应用圣维南原理来考虑此薄板的平衡条件。由于应力分量都是轴对称的，且 对于z=0的面又是反对称的，只须考虑下列平衡条件：为了校核小洞中受集中力的边界条件，在点 o 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答而从而得出各应力分量为代入后得而从而得出各应力分量为代入后得第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答弹性力学PPT课件-第八章第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中 而 均为调和函数，满足 例题3 用代入法证明，下列的位移表达式是无体力时平衡微分方程的解答，其中 而 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由于 都是调和函数，代入无体力的平衡方程均能满足。H.Neuber 等曾用这一形式的解答求出一批回转体的解。解：当无体力时，平衡微分方程是其中体积应变由于 都是调和函数，代入无第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答例题4 平面应力解答的近似性试从空间问题按应力求解的方法，来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论。例题4 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答解：（1）对于平面应变问题平面应变问题，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的条件下，由于任一横截面（z面）均为对称面，可以推论出，解：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答从式 可以得出，在式 中，表示等式左边的物理量仅为 x,y 的函数。从式 可以得出，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 将式 代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式 代入空间问题的相容方程（书中式（8-10）、（8-11）得出而其余5式全部自然满足。将式 代入空间第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。（2）对于平面应力问题平面应力问题，在很薄的板中,只受 x,y 方向的体力、面力和约束，且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面上无任何面力的条件下，由板面的边界板面的边界条件条件 因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答及板很薄的条件，假设板很薄的条件，假设在弹性体内因此，只有平面应力 和 存在；并进一步假设这就是平面应力问题。由上两式，还可得出及板很薄的条件，假设在弹性体内第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答将式 代入空间问题的相容方程（书中式 ），除了得出式 外，还得出将式 代入空间问题的相容方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在一般的情况下，由式 得出的 显然不能满足相容方程 。由此可见，平面应力问题的假设平面应力问题的假设 不能保证不能保证所有的相容条件都得到满足所有的相容条件都得到满足。因此，平面应力问题的理论是近似的。在一般的情况下，由式 得出的 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 但是Clebsch,A.证明，在条件 下从空间问题理论得出满足所有相容方程的精确解答，是一般平面应力问题（假设 的解答，再补充一个沿板厚抛物线变化的修正解（与 成正比）。对于充分薄的板，但是Clebsch,A.证明，在条件 下第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 因此，平面应力问题的解答，显然不能满足所有的相容条件，但对薄板却仍是一个很好的近似解。读者可参阅 8-4的详细证明。修正解远小于第一部分平面应力问题的解，且只影响边界附近的局部区域。因此，平面应力问题的解答，显然不能满足所有的