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反证法反证法5/6/2024 反证法8/1教学目的：教学目的：教学重点：教学重点：教学难点教学难点：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.反证法证题的步骤.理解反证法的推理依据及方法.5/6/2024教学目的：教学重点：教学难点：1.使学生初步掌握反证法的概念2二、重难点讲解二、重难点讲解 1.两个互为逆否的命题是等价等价命题。这种从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法 2.反证法反证法5/6/2024二、重难点讲解 1.两个互为逆否的命题是等价命题。3二、重难点讲解二、重难点讲解 4.反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：假设结论不成立，即假设结论的反面成立；假设结论不成立，即假设结论的反面成立；从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而结论正确。由矛盾判定假设不正确，从而结论正确。也就是：反设、归谬、结论也就是：反设、归谬、结论5/6/2024二、重难点讲解 4.反证法的一般步骤：假设结论不成立，即假4二、重难点讲解二、重难点讲解 5.反证法反证法适用范围：适用范围：（1）结论是否定形式的命题；）结论是否定形式的命题；（2）结论是以至多、至少、唯一等）结论是以至多、至少、唯一等形式给出的命题；形式给出的命题；（3）结论的反面是较明显或较易证明）结论的反面是较明显或较易证明的命题；的命题；（4）用直接法证明困难的命题）用直接法证明困难的命题.5/6/2024二、重难点讲解 5.反证法适用范围：（1）结论是否定形式的命5三、例题讲解三、例题讲解 例例1 用反证法证明：直线用反证法证明：直线a、b、c是平面上不重合的是平面上不重合的 三条直线，若三条直线，若ab，c与与a相交，则相交，则c与与b相交。相交。证明：证明：假设假设c与与b不相交，不相交，abac这与已知这与已知c与与a相交矛盾相交矛盾 c与与b相交。相交。acb则则cb前提条件：前提条件：a、b、c是平面上不重合的三条直线，是平面上不重合的三条直线，题设条件：题设条件：ab，c与与a相交，相交，命题结论：命题结论：c与与b相交相交分析：分析：5/6/2024三、例题讲解 例1 用反证法证明：直线a、b、c是平面上不重6三、例题讲解三、例题讲解 例例2 已知已知x、y、z是整数，且是整数，且x2+y2=z2证明：证明：设设x、y、z都是奇数，都是奇数，x2+y2为偶数为偶数 x2+y2z2这与已知矛盾这与已知矛盾 x、y、z不可能都是奇数。不可能都是奇数。则则x2、y2、z2都是奇数都是奇数求证：求证：x、y、z不可能都是奇数。不可能都是奇数。(条件条件)(结论结论)5/6/2024三、例题讲解 例2 已知x、y、z是整数，且x2+y2=z7例例3 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在圆已知：如图，在圆 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP，有有OPAB,OPCD根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，弦弦AB、CD不被不被P平分平分.5/6/2024例3 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已8-3 2-1例例4 若三个方程若三个方程x2+4mx-4m+3=0；x2+(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0至少有一个方程有实数根，求实数至少有一个方程有实数根，求实数m的的取值范围。取值范围。解：解：当三个方程都没有实根时，当三个方程都没有实根时，1=(4m)2-4(3-4m)02=(m-1)2-4m203=4m2+8m0有有即即4m2+4m-30m2+2m0得得-3/2m1/2m1/3-2m0-3/2m180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，B一定是锐角。一定是锐角。5/6/2024四、练习1.结论“至多有两个解”的否定形式是_2.用10四、练习四、练习3.已知已知a、bR，若，若a+b1，求证：求证：a、b之中至少有一个大于之中至少有一个大于证明：证明：假设假设a、b都小于等于都小于等于即即则则 a+b1这与条件这与条件a+b1矛盾矛盾 a、b之中至少有一个大于之中至少有一个大于5/6/2024四、练习3.已知a、bR，若a+b1，证明：假设a、b都11推出矛盾可能出现以下三种情况推出矛盾可能出现以下三种情况:1.与原命题中的条件矛盾与原命题中的条件矛盾(如例如例1)2.与假设矛盾与假设矛盾(如例如例3)3.与已知公理或定理矛盾与已知公理或定理矛盾(如例如例2)反证法证明的一般步骤反证法证明的一般步骤:(1)假设命题结论不成立假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立.(2)从这个假设出发从这个假设出发,经过推理论证经过推理论证,得出矛盾得出矛盾.(3)由矛盾判定假设不成立由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确从而肯定命题结论正确.小结小结:5/6/2024推出矛盾可能出现以下三种情况:反证法证明的一般步骤:小结:812
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