走进“后课标时代”（一）（推荐学习）

走进“后课标时代”漫谈漫谈“几何直观几何直观”与与“建模教学建模教学”江苏省海安县实验小学江苏省海安县实验小学 许卫兵许卫兵义务教育数学课程标准（修订稿）义务教育数学课程标准（修订稿）九大变化九大变化变化一：变化一：基本理念基本理念“三句三句”变变“两句两句”，“6 6条条”改改“5 5条条”人人学有价值的数学人人学有价值的数学人人都能获得必需的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展不同的人在数学上得到不同的发展人人都能获得良好的数学教育人人都能获得良好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展不同的人在数学上得到不同的发展数学课程数学课程数学数学数学学习数学学习数学教学数学教学评价评价信息技术信息技术 数学课程数学课程课程内容课程内容教学活动教学活动 学习评价学习评价信息技术信息技术 有更深的意义和更广的内涵，落脚点是数学教有更深的意义和更广的内涵，落脚点是数学教育而不是数学内容，有更强的时代精神和要求育而不是数学内容，有更强的时代精神和要求。（前移）（前移）（新增）（新增）（合并）（合并）v要处理好四个关系要处理好四个关系v有效的教学活动是什么有效的教学活动是什么v数学课程基本理念（两句话）数学课程基本理念（两句话）v数学教学活动的本质要求数学教学活动的本质要求v培养良好的数学学习习惯培养良好的数学学习习惯v注重启发式注重启发式v正确看待教师的主导作用正确看待教师的主导作用v处理好评价中的关系处理好评价中的关系v注意信息技术与课程内容的整合注意信息技术与课程内容的整合 变化二：变化二：理念中新增加的提法理念中新增加的提法 变化三：变化三：关于数学观关于数学观。数学是研究数量关数学是研究数量关系和空间形式的科学。系和空间形式的科学。树立正确的树立正确的数学教学观数学教学观：教学活动是师生积极参与、交往：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。作者。数学教学中数学教学中最需要最需要考虑的是什么？数学教学活动应激发学考虑的是什么？数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。握恰当的数学学习方法。数学是人们对客观世界定性把握和数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程理论，并进行广泛应用的过程。变化四：变化四：“双基双基”变变“四基四基”基础知识、基本技能基础知识、基本技能、基本思想基本思想方法方法、基本活动经验、基本活动经验 常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。体思想方法等等。（掌握）（掌握）（训练）（训练）（领悟）（领悟）（积累）（积累）v学段划分保持不变；学段划分保持不变；v对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变，对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变，增加了目标动词的同义词；增加了目标动词的同义词；v对四个学习领域的名称作适当调整；对四个学习领域的名称作适当调整；v对学习内容中的若干关键词作适当调整对其意义对学习内容中的若干关键词作适当调整对其意义作更明确的阐释。作更明确的阐释。变化五：变化五：设计思路设计思路 变化六：变化六：四个领域名称四个领域名称 数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用 数与代数、数与代数、图形与几何图形与几何、统计与概率、统计与概率、综合与实践综合与实践 变化七：变化七：关于课程目标关于课程目标 总目标中总目标中突出了突出了“培养学生创新精神和实践能力培养学生创新精神和实践能力”的的改革方向和目标价值取向改革方向和目标价值取向。课程目标提法上课程目标提法上除了除了“四基四基”外，还有外，还有“四个能力四个能力”：培养培养学生学生发现问题、提出问题发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力、分析问题和解决问题能力 变化八：变化八：关于关于内容标准内容标准 增加增加常见的数量关系常见的数量关系 图形平移、画对称图形、平均数、千米、公顷上移第二学段图形平移、画对称图形、平均数、千米、公顷上移第二学段中位数、众数、可能性大小中位数、众数、可能性大小 上移第三学段上移第三学段加强体会数据的随机性加强体会数据的随机性 变化九：变化九：主要的关键词主要的关键词 数感数感符号感符号感空间观念空间观念统计观念统计观念应用意识应用意识推理能力推理能力数感数感符号意识符号意识（调整）（调整）空间观念空间观念几何直观几何直观（新增）（新增）数据分析观念数据分析观念（调整）（调整）运算能力运算能力（新增）（新增）应用意识应用意识推理能力推理能力模型思想模型思想（新增）（新增）创新意识创新意识（新增）（新增）关于“几何直观”历史演变历史演变19521952年年 中小学数学教学大纲中小学数学教学大纲 ：小学：小学“算术教学应该培养算术教学应该培养和发展儿童的和发展儿童的逻辑思维逻辑思维”，中学数学应，中学数学应“发展学生生动的发展学生生动的空空间想像力间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力发展学生逻辑的思维力和判断力”19631963年年 根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为学的能力培养任务修改为“计算能力计算能力、逻辑推理能力逻辑推理能力和和空间空间想像力想像力”(传统的三大能力传统的三大能力)19781978年年 中小学数学教学大纲中，又增加了中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分培养学生分析问题和解决问题的能力析问题和解决问题的能力”。19881988年年 九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念空间观念”20012001年年 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）全日制义务教育数学课程标准（实验稿）：丰：丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念空间观念，发展形，发展形象思维。象思维。20032003年年 普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准：几何学是研究现实世：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。认识空间图界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及图形语言进行交流的能力、以及几何直观几何直观能力，是高中阶段能力，是高中阶段数学课程的基本要求。数学课程的基本要求。空间观念空间观念空间想象能力空间想象能力 几何直观几何直观数学课程标准数学课程标准（实验稿）（实验稿）空间观念空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。地描述问题，利用直观来进行思考。数学课程标准数学课程标准（修订稿）（修订稿）空间观念空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。几何直观几何直观主要是指主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。都发挥着重要作用。一、什么是一、什么是“直观直观”？三、小学数学教学中如何培养学三、小学数学教学中如何培养学生的几何直观能力？生的几何直观能力？二、什么是二、什么是“几何直观几何直观”？【直观】用感官直接接受的；直接观察的；用感官直接接受的；直接观察的；教具教具教学。教学。现代汉语词典现代汉语词典20022002年增补本，商务印书馆年增补本，商务印书馆【克莱因】数学的直观就是对概念、证明的直接把握。数学的直观就是对概念、证明的直接把握。【心理学家】直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力【徐利治】直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知形的形象关系产生对数量关系的直接感知 。【直观】一种能透过现象（或通过形象）看到本质、一种能透过现象（或通过形象）看到本质、一眼看出不同事物之间关联的洞察能力一眼看出不同事物之间关联的洞察能力。【几何学】研究现实世界中物体的形状、研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的数学学科。大小和位置关系的数学学科。普通高中数学课程标准（实验）普通高中数学课程标准（实验）2003 2003年年【徐利治】几何直观几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知象关系产生对数量关系的直接感知 。【弗莱登塔尔】几何直观几何直观能能告诉我们什么是可能重要、可能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。之中免于陷入歧途之苦。课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有机地融合、机地融合、依赖几何直观的依赖几何直观的“直观型直观型”课程成为数学课程设课程成为数学课程设计的主流之一计的主流之一。我国新课程已经把我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数的单位从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。也学会数学的一种思考方式和学习方式。几何直观能力主要包括：几何直观能力主要包括：空间想像能力空间想像能力直观洞察能力直观洞察能力用用“图形语言图形语言”来思考问题能力来思考问题能力 小学几何教学更多地关注的是实验几何、经验几何和直小学几何教学更多地关注的是实验几何、经验几何和直观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观能力。能力。通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多的是要求学生相信自己的眼睛，经过不完全归纳之后，就可的是要求学生相信自己的眼睛，经过不完全归纳之后，就可以得出一些正确的结论。以得出一些正确的结论。（“数数”“形形”结合思想）结合思想）低高一上一上认识物体认识物体(长方体、正方体、圆柱、长方体、正方体、圆柱、球）球）P26P26一下一下认识图形认识图形(长方形、正方形、圆、三长方形、正方形、圆、三角形、平行四边形）角形、平行四边形）P16P16二上二上认识多边形（三角形等）认识多边形（三角形等）P26P26二下二下认识角认识角P64P64四上四上角（线段、射线、直线）、平行与角（线段、射线、直线）、平行与相交（垂直）相交（垂直）P16P16、P39P39四下四下三角形、平行四边形和三角形、平行四边形和梯形梯形P22P22、P43P43六上六上长方体、正方体长方体、正方体P10P10“投影与视图投影与视图”用一组假想光线将物体的形状投射到一个面上去，用一组假想光线将物体的形状投射到一个面上去，称为称为“投影投影”。这个面上得到的图形，也称。这个面上得到的图形，也称“投影投影”。投。投射线从一点出发的称射线从一点出发的称“中心投影中心投影”（如图（如图21），投射线），投射线相互平行的称相互平行的称“平行投影平行投影”（如图（如图22、图、图23）。平行）。平行投影中，投射线与投影面倾斜的称投影中，投射线与投影面倾斜的称“斜投影斜投影”（如图（如图22），垂直的称），垂直的称“正投影正投影”（如图（如图23）。用）。用“正投影正投影”法法将所见物体的轮廓绘制出来的图形称为将所见物体的轮廓绘制出来的图形称为“视图视图”。从物体。从物体的前、后、左、右、上、下方观察得到的正投影图分别叫的前、后、左、右、上、下方观察得到的正投影图分别叫做主视图、后视图、左视图、右视图、俯视图、仰视图。做主视图、后视图、左视图、右视图、俯视图、仰视图。中心投影（北师大）中心投影（北师大）正投影正投影（苏教）（苏教）除了除了“投影与视图投影与视图”原理外，还比较多原理外，还比较多地运用了美术绘画中地运用了美术绘画中的的“透视透视”原理，比原理，比如如“平行透视平行透视”（也（也叫做叫做“焦点透视焦点透视”，见右图）。各大版本见右图）。各大版本的新教材在一二年级的新教材在一二年级学到的观察物体内容，学到的观察物体内容，大多是用照相机拍摄大多是用照相机拍摄图片，照相机成像的图片，照相机成像的基本原理就是基本原理就是“透视透视”，它与使用平行光，它与使用平行光线线“正投影正投影”形成的形成的视图有明显的不同。视图有明显的不同。空间想像能力空间想像能力识图识图 画图画图 制作模型制作模型 观察物体观察物体 直观洞察能力直观洞察能力三点半三点半,时针和分针的夹角是多少度时针和分针的夹角是多少度?两边之和大于第三边两边之和大于第三边用用“图形语言图形语言”来思考问题能力来思考问题能力 两个长方形完全相同。第一个长方形的长减两个长方形完全相同。第一个长方形的长减少少3 3分米分米,宽不变；第二个长方形的宽减少宽不变；第二个长方形的宽减少3 3分米分米,长不变。变化后两个长方形的面积怎样长不变。变化后两个长方形的面积怎样?直观地抽象1米米 01米米 00.10.1米米1米米 00.90.9米米1米米 01米米 01米米 01米米 01.31.3米米01米米 02米米 0120123自然数 整数0123自然数 整数小数0.10.51.21.72.32.9北师大版三角形的内角和北师大版青岛版人教版苏教版浙教版1.1.结论已知，学生无学习兴趣。结论已知，学生无学习兴趣。3.3.科学性与严密性的问题。科学性与严密性的问题。（直观背后的数学理性）（直观背后的数学理性）2.2.误差的干扰。误差的干扰。长方形内角和是长方形内角和是90904=3604=360 直角三角形的内角和是直角三角形的内角和是3603602=1802=180 每个三角形都可以分成每个三角形都可以分成两个直角三角形两个直角三角形 每个三角形的内角和是每个三角形的内角和是360360-90-90-90-90=180=180 旋转法（帕斯卡）台湾教材 直观是前提 抽象是本质 适度是关键 几何直观是数学中生动的、不断增长的几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。相上远远超出对几何图形本身的研究意义。相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。心问题。秦德生、孔凡哲秦德生、孔凡哲 关于几何直观的思考关于几何直观的思考，刊刊中学数学教学参考中学数学教学参考2005年第年第10期期