第6章图形变换01—一般变换

第第6章章 图形变换图形变换之一之一一般变换一般变换2006年7月5日1r1.图形变换的基本描述图形变换的基本描述r2.图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示 r3.投影与投影变换投影与投影变换r6.透视变换透视变换r5.投射变换投射变换r6.总结总结26.1 图形变换的基本描述图形变换的基本描述r1.概述概述r2.齐次坐标齐次坐标r3.齐次坐标变换距阵齐次坐标变换距阵r4.矩阵级联矩阵级联r5.图形变换的现状图形变换的现状36.1.1概概述述r一个图示系统需要运用各种图形变换。一个图示系统需要运用各种图形变换。r例例如如可可以以放放大大一一个个图图形形以以便便使使某某一一部部分分能能更更清清楚楚地显示，缩小图形以便看到图形更多的部分。地显示，缩小图形以便看到图形更多的部分。r在在几几何何造造型型中中，可可用用图图形形变变换换改改变变物物体体间间的的相相对对位位置置，可可用用透透视视变变换换和和投投影影变变换换产产生生同同一一三三维维景景物物在在各各种种不不同同视视点点位位置置和和视视线线方方向向下下的的不不同同影影像像，在在视视点点改改变变非非常常快快或或物物体体相相对对运运动动的的应应用用场场合合，变换必须反复运用。变换必须反复运用。r因因此此，找找到到一一个个有有效效的的方方法法去去实实现现图图形形变变换换是是十十分必要的。分必要的。46.1.1概概述述r所所有有的的变变换换均均基基于于点点的的变变换换。例例如如，一一条条线线段段的的变换只要考虑它的两个端点的变换就行了变换只要考虑它的两个端点的变换就行了r采采用用向向量量、矩矩阵阵和和齐齐次次坐坐标标的的形形式式来来描描述述图图形形的的变换十分方便。变换十分方便。r一一个个变变换换是是一一个个单单一一的的数数学学实实体体，能能够够用用一一个个单单一的名或符号标识。一的名或符号标识。r两两个个变变换换能能够够被被结结合合而而产产生生一一个个具具有有二二者者功功效效的的单单一一变变换换。例例如如变变换换T是是平平移移，而而变变换换R是是旋旋转转，则则变变换换的的结结合合允允许许决决定定一一个个变变换换A=TR，其其功功效效是先平移然后旋转变换。是先平移然后旋转变换。5r为为了了能能用用矩矩阵阵的的形形式式统统一一描描述述图图形形变变换换，在在计计算算机机图图形形学学中中常常采采用用齐齐次次坐坐标标的的形形式式来描述空间的点。来描述空间的点。r在在n维维空空间间中中的的一一个个问问题题，在在n+1维维空空间间中中相相应应地地也也有有一一个个问问题题，而而在在n+1维维空空间间中中却却常常比常常比n维空间中较易获得结果。维空间中较易获得结果。r二二维维点点(x,y)的的齐齐次次表表示示是是(hx,hy,h)，这这里里h是是任何一个非零因子，有时叫做比例因子。任何一个非零因子，有时叫做比例因子。r齐齐次次点点(a,b,c)被被投投射射回回复复到到二二维维时时简简单单地地就就是是(a/c,b/c),由比例因子由比例因子c去除。去除。6.1.2齐次坐标齐次坐标6r在在计计算算机机中中处处理理一一个个三三维维空空间间的的“无无穷穷远远点点”是是困困难难的的，但但是是可可以以容容易易地地处处理理一一个个四四维维齐齐次次空空间间的的解解析点，例如可以用向量：析点，例如可以用向量：qq（1 0 0 01 0 0 0）表示表示表示表示x x轴方向无穷远点轴方向无穷远点轴方向无穷远点轴方向无穷远点qq（0 1 0 00 1 0 0）表示表示表示表示y y轴方向无穷远点轴方向无穷远点轴方向无穷远点轴方向无穷远点 qq（0 0 1 00 0 1 0）表示表示表示表示z z轴方向无穷远点轴方向无穷远点轴方向无穷远点轴方向无穷远点qq（0 0 0 10 0 0 1）表示坐标原点表示坐标原点表示坐标原点表示坐标原点qq这这这这4 4个向量将构成四维齐次空间的单位矩阵个向量将构成四维齐次空间的单位矩阵个向量将构成四维齐次空间的单位矩阵个向量将构成四维齐次空间的单位矩阵6.1.2 齐次坐标齐次坐标76.1.3 齐次坐标变换距阵齐次坐标变换距阵透视变换透视变换比例变换比例变换旋转、错切等旋转、错切等平移变换平移变换r齐齐次次变变换换矩矩阵阵提提供供一一个个三三维维空空间间中中包包括括平平移移、旋旋转转、透透视视、投投影影、反反射射、错错切切和和比比例例等等变变换换在在内内的的统统一一表表达式，使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。达式，使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。86.1.4 矩阵级联矩阵级联r一一个个变变换换是是一一个个单单一一的的数数学学实实体体 矩矩阵阵描述和标识。描述和标识。r两两个个变变换换的的结结合合用用矩矩阵阵的的级级联联而而产产生生一一个个具有两者功效的单一变换。具有两者功效的单一变换。q例例如如变变换换T是是平平移移，而而变变换换R是是旋旋转转，则则变变换换的的结结合合允允许许决决定定一一个个变变换换A=TR，其功效是先平移然后旋转变换。其功效是先平移然后旋转变换。96.1.5图形变换的现状图形变换的现状106.2 图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示 r1.几何化表示的基本理论几何化表示的基本理论r2.图形变换的几何表示图形变换的几何表示r3.图形变换几何表示的实施图形变换几何表示的实施r4.图形变换几何表示的应用图形变换几何表示的应用r5.图形变换几何表示与基本几何图形变换几何表示与基本几何116.2.1基本理论基本理论仿射变换仿射变换仿射变换仿射变换r仿射变换（仿射变换（Affine transformation），），一种线性变换一种线性变换q“线性线性”(linearity)。线性是仿射变换下的不變性线性是仿射变换下的不變性（直线变换后还是直线）。（直线变换后还是直线）。q“关联性关联性(incidence)是不变性是不变性)。（共线三点間的距離的分比不变，共线三点間距離的（共线三点間的距離的分比不变，共线三点間距離的分比是不变量，分比是不变量，平行线还是平行线）。平行线还是平行线）。r仿射变换可以通过一系列原子变换的复合来实现：仿射变换可以通过一系列原子变换的复合来实现：平移（平移（Translation）、）、缩放（缩放（Scale）翻转（翻转（Flip）、）、旋转（旋转（Rotation）剪切（剪切（Shear）等。等。126.2.1基本理论基本理论仿射变换仿射变换仿射变换仿射变换r仿射变换（二维线性变换）的最一般形式为：仿射变换（二维线性变换）的最一般形式为：u=a1x+b1y+c1v=a2x+b2y+c2 令令u=0 和和v=0r即可得到两条直线即可得到两条直线 L1：a1x+b1y+c1=0 L2：a2x+b2y+c2=0136.2.1基本理论基本理论基本几何基本几何基本几何基本几何r直直线线（直直线线段段/向向量量）由由其其规规范范化化的的标标准准式式方程：方程：ax+by+c=0 定义，其中定义，其中a2+b2=1r直直线线的的方方向向选选取取这这样样一一个个方方向向：当当人人沿沿着着这这个个方方向向行行走走时时，他他的的左左手手方方向向为为负负区区域域(内内部部)，右手方向为正区域，右手方向为正区域(外部外部)。146.2.2 图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示r由由于于平平面面上上任任两两条条相相交交有有向向直直线线均均可可构构成成新新的的坐坐标标系系统统UV，这样这样u=a1x+b1y+c1v=a2x+b2y+c2r又又可可视视为为将将坐坐标标轴轴UV上上的的点点全全部部相相应应地地变变换换到到坐坐标标轴轴X和和Y上上156.2.2 图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示r这这两两个个坐坐标标系系间间的的坐坐标标变变换换公公式式可可由由直直线线方方程程系系数数构构成成的的齐齐次次变换矩阵形式表出：变换矩阵形式表出：r于是，可将于是，可将q直线直线L1设为设为V轴轴q直线直线L2设为设为U轴轴q构成新的坐标系。构成新的坐标系。166.2.2图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示三维三维三维三维r若将上述结果推广到三维形式，则有：若将上述结果推广到三维形式，则有：x*=a1x+b1y+c1z+d1y*=a2x+b2y+c2z+d2z*=a3x+b3y+c3z+d3r它将在原坐标系下的三个平面：它将在原坐标系下的三个平面：P1：a1x+b1y+c1z+d1=0P2：a2x+b2y+c2z+d2=0P3：a3x+b3y+c3z+d3=0r变换到原坐标系所在的变换到原坐标系所在的3个平面上。个平面上。r这这3个平面构成的新坐标系。个平面构成的新坐标系。176.2.2图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示三维三维三维三维r矩阵形式为矩阵形式为：r当且仅当：当且仅当：a1a2+b1b2+c1c2=0a1a3+b1b3+c1c3=0a2a3+b2b3+c2c3=0r时，新坐标系统仍为直角坐标系。时，新坐标系统仍为直角坐标系。186.2.2图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示结论结论结论结论r平平面面上上任任意意2条条相相交交（不不共共线线）的的向向量量构构成成一一个个新新坐坐标标系系，新新旧旧坐坐标标系系的的坐坐标标变变换换可可由由两两条条相相交交向向量量在原坐标系下的直线方程系数标出。在原坐标系下的直线方程系数标出。几何变换几何变换r它它统统一一描描述述平平移移、旋旋转转、剪剪切切、对称和比例等变换。对称和比例等变换。r空空间间3个个任任意意相相交交的的（不不共共面面）平平面面构构成成一一个个新新坐坐标标系系,两两者者的的坐坐标标变变换换可可由由3个个相相交交平平面面在在原原坐坐标标系系下下的的平平面面方方程程系系数数标出。标出。196.2.3图形变换几何化表示的实施图形变换几何化表示的实施r直直线线L1（设设为为V轴轴）的的方方向向按按正正常常的的直直线线方方向向选选取取：当当人人沿沿着着这这个个方方向向行行走走时时，他他的的左左手手方方向向为为负区域。负区域。r直直线线L2（设设为为U轴轴）的的方方向向由由直直线线L1绕绕原原点点（两两条条直直线线的的交交点点）顺顺时时针针方方向向旋旋转转得得到到（一一般般情情况况下旋转角度下旋转角度90）。206.2.3 实施实施直线方程建立直线方程建立r建建立立直直线线程程序序：过过两两个个已已知知点点P1P2建建立立直直线线，使使直直线线的右侧为正，左侧为负的右侧为正，左侧为负。int lpp(x1,y1,x2,y2,*a,*b,*c)输入：输入：float x1,y1,x2,y2 /直线起点，终点坐标直线起点，终点坐标输出：输出：float*a,*b,*c /所求直线的法线式方程系数所求直线的法线式方程系数（a2+b2=1）返回值：返回值：1 正确返回正确返回 0 P1=P2，(a,b,c)值无效值无效216.2.3 实施实施直线方程建立原理直线方程建立原理r过过P1和和P2两点的直线方程是：两点的直线方程是：(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0令：令：a=(y2-y1)/Db=-(x2-x1)/Dc=-(ax1+by1)r若两点连线与若两点连线与X轴的夹角为轴的夹角为，则有：，则有：a=sin，b=-cos，且，且a2+b21r过过P1P2两点的直线方程可记为：两点的直线方程可记为：ax+by+c=0或或-(ax+by+c)=0r为保证向量为保证向量P1P2的左侧为负区域，需要在上的左侧为负区域，需要在上述两式中选取一式。述两式中选取一式。226.2.3 实施实施直线方程建立原理直线方程建立原理q构造一点位于向量构造一点位于向量P1P2左侧的点左侧的点P(xp,yp)：由：由P2绕绕P1逆时针旋转逆时针旋转90得到，有得到，有xpx1+Dcos(+90)x1-Dsin=x1-Daypy1+Dsin(+90)y1+Dcos=y1-Db点点P(xp,yp)到直线的距离到直线的距离dp分别为：分别为：dp=a(x1-Da)+b(y1-Db)+c=(a x1+b y1+c)-D(a2+b2)=0-D1=-D 0q显然，为了保证直线的左侧为负，直线方程必须显然，为了保证直线的左侧为负，直线方程必须选取选取：ax+by+c=0236.2.3 实施实施定义另一种直线定义另一种直线r建立点斜式直线方程：建立点斜式直线方程：q过一给定点过一给定点P(xp,yp)且与且与X轴的夹角为轴的夹角为的直线，它的左侧为负区域。的直线，它的左侧为负区域。int lpax(float xp,float yp,float alpha,float*a,float*b,float*c)246.2.4 应用之一应用之一坐标系的旋转变换坐标系的旋转变换坐标系的旋转变换坐标系的旋转变换r设通过坐标原点的两条正交直线与设通过坐标原点的两条正交直线与X轴的夹角分别轴的夹角分别为为和和(+90)，以前一条为，以前一条为X*轴，后一条为轴，后一条为Y*轴轴（注意（注意X*的角度）：的角度）：rlpax(0.0,0.0,alpha+HalfPI,&a1,&b1,&c1);/Y*rlpax(0.0,0.0,alpha+PI,&a2,&b2,&c2);/X*256.2.4应用之二应用之二一向量为一向量为一向量为一向量为U U轴，其中垂线为轴，其中垂线为轴，其中垂线为轴，其中垂线为V V轴轴轴轴r以以向向量量P1P2为为U轴轴，它它的的中中垂垂线线为为V轴轴的的右右手手坐坐标标系系变变换矩阵换矩阵q由点由点P2向向P1作直线作直线L1为为U轴；轴；lpp(x2,y2,x1,y1,&a2,&b2,&c2)；q过点过点P1，P2的中点作直线的中点作直线L1的垂直线的垂直线L2为为V轴：轴：a1=b2;b1=-a2;c1=-(a1(x1+x2)+b1(y1+y2)/2.0;266.2.4 应用之三应用之三剪切变换变换矩阵剪切变换变换矩阵剪切变换变换矩阵剪切变换变换矩阵y：lpax(0.0,0.0,HalfPI+alphaY,&a1,&b1,&c1);x：lpax(0.0,0.0,PI+alphaX,&a2,&b2,&c2);276.2.4 应用之四应用之四绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换r绕绕Y轴旋转轴旋转角的标准旋转变换矩阵为：角的标准旋转变换矩阵为：Ry=r三维空间中绕任意轴的旋转变换可由下列三步达到：三维空间中绕任意轴的旋转变换可由下列三步达到：q先先平平移移、再再2次次绕绕新新坐坐标标轴轴旋旋转转等等3步步建建立立以以该该任任意意轴轴为为Y轴的新坐标系；轴的新坐标系；q在新坐标系下执行绕在新坐标系下执行绕Y轴旋转轴旋转角的标准绕轴旋转变换；角的标准绕轴旋转变换；q将将该该结结果果经经过过相相对对于于第第1步步逆逆序序的的3次次逆逆变变换换得得到到初初始始坐坐标标轴下的变换结果。轴下的变换结果。r整个操作将由整个操作将由7个（不考虑平移时个（不考虑平移时5个）矩阵相乘得到。个）矩阵相乘得到。286.2.4 应用之四应用之四绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换rStep1：将坐标系：将坐标系OXYZ平移（平移（X0Y0Z0）形）形成新坐标系成新坐标系P0X1Y1Z1，其坐标系变换为：，其坐标系变换为：B01=296.2.4 应用之四应用之四绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换rStep2：将将将将坐坐标标系系P0X1Y1Z1绕绕Y1旋旋转转y角角形形成成新新坐坐标标系系P0X2Y2Z2。其其坐坐标标系系变变阵阵为：为：B12=306.2.4 应用之四应用之四绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换rStep3：将将坐坐标标系系P0X2Y2Z2绕绕X2轴轴旋旋转转X角角，形形成成新新坐坐标标系系P0X3Y3Z3，其其坐坐标标系系变变换阵为：换阵为：B23=316.2.4 应用之四应用之四绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换326.2.4 应用之四应用之四绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换336.2.4 应用之四应用之四绕任意轴三维旋转变换几何化表示绕任意轴三维旋转变换几何化表示绕任意轴三维旋转变换几何化表示绕任意轴三维旋转变换几何化表示1)构筑向量构筑向量P1P2的单位向量的单位向量(a1，b1，c1)a1=(x2-x1)/D，b1=(y2-y1)/D，c1=(z2-z1)/D D=2)构筑与构筑与P1P2垂直的单位向量垂直的单位向量(a2，b2，c2)a2=，b2=，c2=03)构筑第三个单位向量构筑第三个单位向量(a3，b3，c3)(a3，b3，c3)(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)34r绕任意轴绕任意轴P1P2旋转的线性变换矩阵旋转的线性变换矩阵R=Txyz_x*y*z*RxT-1xyz_x*y*z*=其中：其中：d1=-(a1x1+b1y+c1z1)D1=-(a1d1+a2d2+a3d3)d2=-(a2x1+b2y1+0z2)D2=-(b1d1+b2d2+b3d3)d3=-(a3x1+b3y1+c3z1)D3=-(c1d1 +c3d3)r绕任意轴的旋转变换由绕任意轴的旋转变换由7个（不包含平移时则为个（不包含平移时则为5个）矩阵相乘减少到个）矩阵相乘减少到3个矩阵相乘个矩阵相乘。6.2.4 应用之四应用之四绕任意轴三维旋转变换几何化表示绕任意轴三维旋转变换几何化表示绕任意轴三维旋转变换几何化表示绕任意轴三维旋转变换几何化表示356.2.5图形变换几何化表示与基本几何图形变换几何化表示与基本几何r用用构构成成坐坐标标系系的的向向量量的的方方程程系系数数统统一一表表示示两两坐坐标标系系间间的的齐齐次次坐坐标标交交换换矩矩阵阵元元素素，而而不不理理会会“旋旋转转变变换换的的角角度度、平平移移变变换换的的增增量量”等等等等变变换换参数的特别涵义。参数的特别涵义。r将将图图形形变变换换与与基基本本几几何何有有机机地地联联系系在在一一起起，使使图形变换与基本几何的定义与求解函数统一。图形变换与基本几何的定义与求解函数统一。r便便于于记记忆忆、便便于于教教学学、便便于于应应用用、便便于于软软件件系系统的统一编制，提高系统的稳定性。统的统一编制，提高系统的稳定性。r实实际际应应用用中中，只只要要用用有有向向直直线线（平平面面）求求解解系系列函数即可构筑图形变换齐次矩阵的元素列函数即可构筑图形变换齐次矩阵的元素。366.3 投影与投影变换投影与投影变换r1.投影变换与深度坐标投影变换与深度坐标q现状现状q讨论讨论q建议建议r2.投影示意图的讨论投影示意图的讨论 q典型的正投影错误图示典型的正投影错误图示q错误的透视投影示意图错误的透视投影示意图q正确图示正确图示q图示原理图示原理376.3.1投影变换与深度坐标投影变换与深度坐标现状现状现状现状T斜等测斜等测 前前2个个矩矩阵阵是是三三维空间内的变换维空间内的变换此此变变换换必必须须有有深深度坐标。度坐标。第第 3个个 矩矩阵阵用用作作投投影变换影变换系系三三维维到到二二维的变换维的变换T斜等测斜等测定定义为义为轴轴测投影测投影变换矩变换矩 阵阵386.3.1投影变换与深度坐标投影变换与深度坐标现状现状现状现状r投影变换的目的是显示图形，可以不考虑第三投影变换的目的是显示图形，可以不考虑第三维（深度）坐标，因此几乎所有已出版的此类维（深度）坐标，因此几乎所有已出版的此类书籍均采用了以下投影变换矩阵。书籍均采用了以下投影变换矩阵。r但投影变换往往和三维图形处理（例如隐藏线但投影变换往往和三维图形处理（例如隐藏线消除等）联系在一起，而这些图形处理必须有消除等）联系在一起，而这些图形处理必须有完整的深度信息。完整的深度信息。396.3.1投影变换与深度坐标投影变换与深度坐标讨论讨论讨论讨论r三三维维观观测测流流水水线线的的处处理理过过程程均均须须特特别别注注意意投投影影要要放放在在隐隐藏藏线线消消除除的的处处理理之之后后，即即深深度度信信息息必必须须在在投投影影前前利利用用完完毕毕，投投影后不能再用。影后不能再用。r其实际处理过程是：其实际处理过程是：q先实行先实行“三维空间到自身的变换三维空间到自身的变换”（这个变换必须有深度坐标）（这个变换必须有深度坐标）q图形处理（例如隐藏线消除）图形处理（例如隐藏线消除）q实行实行“从三维到二维的变换从三维到二维的变换”，即无，即无深度的深度的“投影变换投影变换”q显示。显示。406.3.1投影变换与深度坐标投影变换与深度坐标讨论讨论讨论讨论r如果使用如果使用“轴测投影轴测投影变换矩阵变换矩阵”或或“透视投影透视投影变换变换矩阵矩阵”，则意味着将三维观测流水线的次序变成：，则意味着将三维观测流水线的次序变成：r三维观测流水线的处理过程：三维观测流水线的处理过程：三维空间变换三维空间变换图形处理图形处理无深度的无深度的“投影变换投影变换”显示显示三维空间变换三维空间变换 无深度的无深度的“投影变换投影变换”图形处理图形处理显示显示416.3.1投影变换与深度坐标投影变换与深度坐标建议建议建议建议r这这种种把把第第三三维维置置为为0的的办办法法在在三三维维处处理理中中就就失失去去了了深深度度坐坐标标，损损失失了了1/3的的有有效效信信息息。因因此此，建议仍采用下列完整的变换公式：建议仍采用下列完整的变换公式：(U V W H)=(x y z 1)r得得到到的的(U V W H)齐齐次次坐坐标标信信息息可可根根据据需需要要向向某一方向作正投影，第三维信息也是完整的。某一方向作正投影，第三维信息也是完整的。426.3.1 投影变换与深度坐标投影变换与深度坐标建议建议建议建议r取消所谓取消所谓q“轴测投影变换矩阵轴测投影变换矩阵”q“透视投影变换矩阵透视投影变换矩阵”等的提法。等的提法。r“投影变换投影变换”将只用于将只用于q理论推导理论推导q三三维维观观测测流流水水线线处处理理中中不不需需要要深深度度信信息息的场合的场合q等等。等等。436.3.2 投影示意图的讨论投影示意图的讨论现状现状现状现状r正正确确的的图图示示有有助助于于读读者者理理解解所所述述理理论论的的确确切切含含义义，作作为为教教科科书书或或图图书书，更更需需要要正正确确的图示。的图示。r但但是是，几几乎乎所所有有已已出出版版的的计计算算机机绘绘图图、计计算算机机图图形形学学等等一一类类书书籍籍所所给给的的三三维维投投影影示示意图均未有确切的表达。意图均未有确切的表达。446.3.2 投影示意图的讨论投影示意图的讨论典型错误之一典型错误之一典型错误之一典型错误之一r可见面的对应关系可见面的对应关系“示意示意”错了；错了；r要要“图图示示”出出“透透视视”效效果果来来（应应是是一一个个有有一一灭灭点点的的透透视视图图），而而不不应应该该“示示意意”成成一一个个有有“平平行行”边边界界的的“平行投影图平行投影图”来。来。456.3.2 投影示意图的讨论投影示意图的讨论典型错误典型错误典型错误典型错误之二之二之二之二S是是一一个个空空间立方体间立方体lS 是是S在空间某一平面在空间某一平面 上的平行（正）投影图上的平行（正）投影图lS 实际上是一个实际上是一个 空间空间 的的 平面图形平面图形466.3.2 投影示意图的讨论投影示意图的讨论正确图示正确图示正确图示正确图示S 的显示坐标：的显示坐标：（x y z 1）T三维变换三维变换 T轴测变换轴测变换，取取x和和y坐标坐标S的显示坐标：的显示坐标：（x y z 1）T三维变换三维变换 T投影变换投影变换 T轴测变换轴测变换，取，取x和和y坐标坐标476.3.2 投影示意图的讨论投影示意图的讨论图示原理图示原理图示原理图示原理SxSySzSSx的显示坐标：（的显示坐标：（x y z 1）T三维三维 Tx向投影向投影 T轴测轴测，取，取x和和y坐标显示；坐标显示；Sy的显示坐标：（的显示坐标：（x y z 1）T三维三维 Ty向投影向投影 T轴测轴测，取，取x和和y坐标显示；坐标显示；Sz的显示坐标：（的显示坐标：（x y z 1）T三维三维 Tz向投影向投影 T轴测轴测，取，取x和和y坐标显示；坐标显示；S 的显示坐标：（的显示坐标：（x y z 1）T三维三维 T轴测轴测，取，取x和和y坐标显示。坐标显示。48