五年级奥数容斥原理

容斥原理容斥原理 主主讲：刘文峰：刘文峰集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便便组成一个数字集合。成一个数字集合。组成集合的每个事物称成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，成一个集合，每一个学生都是每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有个集合的元素，数字集合中有10个元素。个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就合并在一起，就组成了一个新的集合成了一个新的集合C。计算集合算集合C的元素的个数的思考方的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都的一切元素都“包含包含”进来加在一起，再来加在一起，再“排除排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：加了两次的元素，即：C=ABAB。在解包含与排除在解包含与排除问题时，要善于使用形象的，要善于使用形象的图示帮助理解示帮助理解题意，搞清数量关系的意，搞清数量关系的逻辑关系。有些关系。有些语言不易表达清楚的关言不易表达清楚的关系，用了适当的系，用了适当的图形就形就显得很直得很直观、很清楚，因而容易、很清楚，因而容易进行行计算。算。五年五年级96名学生都名学生都订了了报纸，有，有64人人订了少年了少年报，有，有48人人订了小学生了小学生报。两种。两种报纸都都订的有多少人？的有多少人？n用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：n6448=112人，n比总人数多11296=16人人，n这16人就是两种报刊都订的人数。分析与解答分析与解答实战演演练1n1，一个班的，一个班的52人都在做人都在做语文和数学作文和数学作业。有。有32人做完了人做完了语文作文作业，有，有35人做完了数学作人做完了数学作业。语文、数学作文、数学作业都做完的有多少人？都做完的有多少人？n2，五年，五年级有有122人参加人参加语文、数学考文、数学考试，每人至少有一，每人至少有一门功功课得得优。其中。其中语文得文得优的有的有65人，数学得人，数学得优的有的有87人。人。语文、数学都得文、数学都得优的有多少人？的有多少人？n3，某班有，某班有50名学生，在一次名学生，在一次测验中有中有26人人满分，在第二次分，在第二次测验中有中有21人人满分。如果两次分。如果两次测验都没得都没得过满分的分的学生有学生有17人，那么，两次人，那么，两次测验都得都得满分的有多少人？分的有多少人？某校教某校教师至少懂得英至少懂得英语和日和日语中的一种中的一种语言。已知有言。已知有35人懂英人懂英语，34人懂日人懂日语，两种，两种语言都懂的有言都懂的有21人。人。这个学校共有多少名教个学校共有多少名教师？n把懂英语和懂日语的人数加起来得n3534=69人，n但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：n6921=48人。实战演演练2n1，某校的每个学生至少，某校的每个学生至少爱体育和文体育和文娱中的一种活中的一种活动。已知有。已知有900人人爱好体育活好体育活动，有，有850人人爱好文好文娱活活动，其中，其中260人两种活人两种活动都都爱好。好。这个学校共有学生多少人？个学校共有学生多少人？n2，某班在一次，某班在一次测验中有中有26人人语文文获优，有，有30人数学人数学获优，其中，其中语文、数学双文、数学双优的有的有12人，另外人，另外还有有8人人语文、文、数学均未数学均未获优。这个班共有多少人？个班共有多少人？n3，第一小，第一小组的同学的同学们都在做两道数学思考都在做两道数学思考题，做，做对第一第一题的有的有15人，做人，做对第二第二题的有的有10人，两人，两题都做都做对的有的有7人，两人，两题都做都做错的有的有2人。第一小人。第一小组共有多少人？共有多少人？n学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？例3、分析与解答分析与解答n两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是：n848625=144人，n所以，这两个小组都不参加的人数是：n250144=106人。实战演演练3n1，五年，五年级有有250人，其中参加象棋人，其中参加象棋组的有的有83人，参加人，参加乒乓球球组的有的有86人，人，这两个小两个小组都参加的有都参加的有25人。两个小人。两个小组都不参加的有多少人？都不参加的有多少人？n2，五（，五（1）班有）班有50人，在一次人，在一次测试中，中，语文文90分以上的有分以上的有30人，数学人，数学90分以上的分以上的35人，人，语文和数学都在文和数学都在90分以分以上的有上的有20人。两科都在人。两科都在90分以下的有多少人？分以下的有多少人？n3，老，老师在在统计考考试成成绩，数学得，数学得90分以上的有分以上的有25人，人，语文得文得90分以上的有分以上的有21人，两科中至少有一科在人，两科中至少有一科在90分以分以上的有上的有38人。两科都在人。两科都在90分以上的有多少人？分以上的有多少人？n实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？n由由“16人不是四年人不是四年级的的”可知：可知：16人是五年人是五年级和其他年和其他年级的；由的；由“12人不是五年人不是五年级的的”可知：可知：12人是四年人是四年级和和其它年其它年级的。用的。用1612可算出四年可算出四年级加五年加五年级以及两个其它年以及两个其它年级的人数和，再减去的人数和，再减去20就得两个其他年就得两个其他年级的人的人数，数，这样其他年其他年级的人数是：的人数是：n（161220）2=4人，人，n该校参加校参加书法比法比赛获奖的的总人数是人数是:n420=24人。人。分析与解答n1，五一小学，五一小学举行小学生田径运行小学生田径运动会，其中会，其中24名运名运动员不是六年不是六年级的，的，28名运名运动员不是五年不是五年级的，已知五、六年的，已知五、六年级运运动员共有共有32名，求五、六年名，求五、六年级和中低年和中低年级运运动员各有多少名？各有多少名？n2，少年，少年乐团学生中有学生中有170人不是五年人不是五年级的，有的，有135人不是六年人不是六年级的，已知五、六年的，已知五、六年级的共有的共有205人，求少年人，求少年乐团中五、六年中五、六年级以外的学生共有多少人？以外的学生共有多少人？n3，六一儿童狼子野心同学，六一儿童狼子野心同学们做小花，有做小花，有24朵不是不是红色的，有色的，有20朵不是黄色的，已知不是黄色的，已知红花和黄花一共有花和黄花一共有18朵，其他其他颜色的花一共做了多少色的花一共做了多少朵？实战演演练4n在在100个外个外语教教师中，懂英中，懂英语的有的有75人，懂日人，懂日语的有的有45人，其中必然有既懂英人，其中必然有既懂英语又懂日又懂日语的老的老师。问：只懂英：只懂英语的老的老师有多少人？有多少人？分析与解答n显然，两种然，两种语言都懂的人在懂英言都懂的人在懂英语的的75人中人中统计过一次，在懂日一次，在懂日语的的45人中又人中又统计过一次。因此，一次。因此，7545=120人，比人，比100多出的多出的20人就是两种人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英言都懂的人数。然后，从懂英语的的75人中减去两种人中减去两种语言都懂的言都懂的20人，就是只懂英人，就是只懂英语的人数了：的人数了：7520=55人。人。实战演演练5n1，40人都在做加人都在做加试的两道的两道题，并且至少做，并且至少做对了其中的一了其中的一题。已知做。已知做对第一第一题的有的有30人，做人，做对第二第二题的有的有21人。人。只做只做对第一第一题的有多少人？的有多少人？n2，五年，五年级122名同学参加名同学参加语文、数学考文、数学考试，每人至少有一，每人至少有一门得得优。已知。已知语文文65人得人得优，数学，数学78人得人得优，求只有，求只有语文一文一门得得优的人数。的人数。n3，全班，全班46名同学，名同学，仅会打会打乒乓球的有球的有28人，会打人，会打乒乓球又会打羽毛球的有球又会打羽毛球的有10人，不会打人，不会打乒乓球又不会打羽毛球球又不会打羽毛球的有的有6人。人。仅会打羽毛球的有多少人？会打羽毛球的有多少人？书山有路勤为径 下下下下 课课 祝祝祝祝你你你你成成成成功功功功！