空间直线与直线位置关系

复习引入：复习引入：1 1、同一平面内、同一平面内不重合不重合两条直线有几种位置两条直线有几种位置关系？关系？2 2、在同一平面内，同平行于一条直线的两、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？条直线有什么位置关系？(1)、相交：有且仅有一个公共点。、相交：有且仅有一个公共点。(2)、平行：在同一平面内没有公共点。、平行：在同一平面内没有公共点。互相平行互相平行提出问题：空间中提出问题：空间中的如果两的如果两条条直线都与直线都与第三条直线平行，那么这两条直线之间第三条直线平行，那么这两条直线之间的位置关系呢的位置关系呢？复习复习公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行。公理公理4 4实质上是说实质上是说平行具有传递性平行具有传递性，在平面、空间，在平面、空间这个性质都适用。这个性质都适用。公理公理4 4作用：作用：判断空间两条直线平行的依据。判断空间两条直线平行的依据。abcbac符号表示：符号表示：设空间中的三条直线分别为设空间中的三条直线分别为a,b,c,若若想一想想一想:空间中空间中,如果两条直线都与第三条直如果两条直线都与第三条直线垂直线垂直,是否也有类似的规律是否也有类似的规律?例题讲解例题讲解例1：如图，已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的面ABCD上一点，经过点P作棱AB的平行线，应该怎样作，并说明理由。例例3：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD 例题讲解例题讲解EHFGABCD分析：分析：在例题在例题2的基础上的基础上我们只需要证明平行四我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。边形的两条邻边相等。菱形菱形 变式练习变式练习在例在例3中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形那么四边形EFGH是什么图形是什么图形?空间四面体空间四面体A-BCD中中,E,H分别是分别是AB,AD的中点的中点,F,G分别是分别是CB,CD上的点上的点,且且 ，求证求证:四边形四边形ABCD为梯形为梯形.ABCDEHFG分析：需要证明四边形分析：需要证明四边形ABCD有有一组对边平行，但不相等。一组对边平行，但不相等。变式练习变式练习提出问题提出问题:在平面上在平面上,我们容易证明我们容易证明“如果一个角如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角相等或互补”。在空间中。在空间中,结论是否仍然成立呢结论是否仍然成立呢?观察思考：如图观察思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与BADBAD的两边分别对应平行，这两组角的大小的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？关系如何？复习复习2.2.等角定理等角定理定理定理1 1：空间中如果两个角的两边分别对应平行，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。新课讲授新课讲授定理定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，行，那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。定理的推论定理的推论:如果两条相交直线和另两条相如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐那么这两条直线所成的锐角角(或直角或直角)相等相等.新课讲授新课讲授3.3.空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系观察：观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线板的左右两侧所在的直线,想一想想一想:它它们相交吗们相交吗?平行吗平行吗?共面吗共面吗?观察长方体的棱所在观察长方体的棱所在直线直线,回答类似的问题回答类似的问题.思考：思考：我们把具有上述特征的两条我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？直线取个怎样的名字才好呢？要用数学的眼光看世界异面直线异面直线的定义：的定义：不同在不同在任何任何一个平面内的两条直线叫做异一个平面内的两条直线叫做异面直线面直线abaabb为了表示异面直线为了表示异面直线a a，b b不共面的特点，作图时，不共面的特点，作图时，通常用通常用一个或两个平面衬托。一个或两个平面衬托。如下图如下图:1、相交、相交2、平行、平行ml只有一个公共点只有一个公共点没有公共点没有公共点在同一平面在同一平面空间中两直线的三种位置关系空间中两直线的三种位置关系3、异面、异面mPl没有公共点没有公共点不同在任一平面不同在任一平面mlP 按平面基本性质分按平面基本性质分共面共面相交直线平行直线 不共面不共面异面直线 有一个公共点有一个公共点:按公共点个数分按公共点个数分相交直线无无 公公 共共 点点平行直线异面直线空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 发挥你的想象力发挥你的想象力:练习练习1：下列说法是否正确：下列说法是否正确（1）,则则与与是异面直线是异面直线（2）不同在平面不同在平面内，则内，则与与是异面直线是异面直线其中其中表示直线，表示直线，表示平面。表示平面。a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可：它们可能异面，可能相交，也可能平行。能平行。abab 不同在平面 内答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。：它们可能异面，可能相交，也可能平行。想一想想一想,做一做：做一做：1.1.已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C C1 1D D1 1与与CCCC1 1上的上的点，那么点，那么MNMN与与ABAB所在的直线所在的直线是异面直线是异面直线吗吗？例题：例题：2.已知：直线已知：直线l与平面与平面a相交于点相交于点A，直线，直线m在平面在平面a上，且不经过点上，且不经过点A，求证：直线，求证：直线l与与m是异面直线。是异面直线。注：常用反证法证明两条直线是异面直线。注：常用反证法证明两条直线是异面直线。练习提升练习提升“a，b是异面直线是异面直线”是指是指ab=,且且a不平行于不平行于b；a 平面平面，b 平面平面且且ab=a平面平面，b 平面平面不存在平面不存在平面，能使，能使a 且且b 成立成立1、上述结论中，正确的是上述结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有直线有（）（A）2对对（B）3对对（C）6对对（D）12对对CC3、两条直线、两条直线a,b分别和异面直线分别和异面直线c,d都相交，则都相交，则直线直线a，b的位置关系是（的位置关系是（）（A）一定是异面直线（）一定是异面直线（B）一定是相交直线）一定是相交直线（C）可能是平行直线）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线）可能是异面直线，也可能是相交直线4、一条直线和两条异面直线中的一条平行、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则则它和另一条的位置关系是它和另一条的位置关系是()（A）平行（）平行（B）相交（）相交（C）异面（）异面（D）相交或异面）相交或异面DD4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角如图，已知两条异面直线如图，已知两条异面直线a a，b b，aAb(1)怎样求两条异面直线所成的角呢？怎样求两条异面直线所成的角呢？解决设想解决设想abb aOa 概念形成概念形成异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义:如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过空间经过空间任一点任一点O作作直线直线a a,b b 则把则把a 与与b 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线a与与b所成的所成的角角abb aO思想方法思想方法:平移转化成相交直线所成的角平移转化成相交直线所成的角,即化即化空间图形空间图形问题为问题为平面图形平面图形问题问题a 思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位置不同时点位置不同时,这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?b aO1aab2答答:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置点的位置无关无关.理理论论支支持持:定定理理1结论结论:两异面直线所成角的范围为：两异面直线所成角的范围为：空间两直线所成角的范围：空间两直线所成角的范围：当异面直线当异面直线和和所成角为直角时，所成角为直角时，记为记为角的大小由异面直线的相对位置决角的大小由异面直线的相对位置决定，定，与点与点的选取无关的选取无关例例 1.如图如图,在正方体在正方体中中,棱长为棱长为1,求下列异面直线所成角的大小求下列异面直线所成角的大小 (1)与与(2)与与(3)与与求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤一找一找(作作)：作（或找）平行线：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求三求：在一恰当的三角形中求出角出角例例2：如图所示，空间四边形：如图所示，空间四边形中对中对角线角线，分别为分别为中点，中点，问：，问：与与是异面直是异面直线吗？若是，求它们所成的角线吗？若是，求它们所成的角。例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（1 1）由异面直线的判）由异面直线的判定方法可知，与直线定方法可知，与直线成异面直线的有直线成异面直线的有直线，例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）由 可知，可知，等于异面直线等于异面直线与与 的夹角的夹角,所以异面直线所以异面直线 与与 的夹角为的夹角为45450 0。(3)直线直线与直线与直线都垂直都垂直.练习反馈：练习反馈：1.1.判断判断:（1 1）平行于同一直线的两条直线平行）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行直线平行.（）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条有两条.（）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（行，那么这两个角相等（）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）4.4.垂直于同一直线的两条直线垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面答：三种：相交，平行，异面5 5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（线使它们成为（1 1）平行直线；（）平行直线；（2 2）相交直线；）相交直线；（3 3）异面直线）异面直线6 6选择题选择题（1 1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是系是（）（A A）异面）异面（B B）平行）平行（C C）相交）相交（D D）以上都有可能）以上都有可能（2 2）异面直线）异面直线a a,b b满足满足aaaa,bbbb,a ab b=l,l,则则l l与与a,b的位置关系一定是（的位置关系一定是（）(A A)l l至多与至多与a a，b b中的一条相交中的一条相交;(B B)l)l至少与至少与a，b中的一条相交中的一条相交;(C)C)l l与与a,ba,b都相交都相交;(D)lD)l至少与至少与a，b中的一条中的一条平行平行.D DB B（3 3）两异面直线所成的角的范围是）两异面直线所成的角的范围是（）（A A）（）（0,900,90）（B B）0,90)0,90)（C C）（）（0,900,90（D D）0,900,907 7判断下列命题的真假，真的打判断下列命题的真假，真的打“”“”，假的打，假的打“”“”（1 1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行直线平行（）（2 2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变所成的角不变（）（3 3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形形（）C C