材料力学弯曲内力

第四章第四章第四章第四章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力41 平面弯曲的概念平面弯曲的概念42 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩43 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图44 剪力、弯矩与荷载集度间的关系剪力、弯矩与荷载集度间的关系45 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 41 平面弯曲的概念平面弯曲的概念一、弯曲的概念一、弯曲的概念 1.弯曲弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。3.工程实例工程实例纵向对称面纵向对称面MF1F2q二、平面弯曲二、平面弯曲 杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲。在后几章中，。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。三、简单静定梁三、简单静定梁悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁火车轮轴简化火车轮轴简化梁的载荷与支座梁的载荷与支座车削工件车削工件吊车大梁简化吊车大梁简化受均布载荷受均布载荷42 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB 荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。PABal 将梁从将梁从位置截开，取左侧。位置截开，取左侧。xAFAyFsMx 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的偶。该力与截面平行，称为截面的剪力剪力剪力剪力，用，用Fs 表示之；该力表示之；该力偶的力偶矩称为截面的偶的力偶矩称为截面的弯矩弯矩弯矩弯矩，用，用M 表示之。表示之。剪力正负的规定：剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；正，反之为负；弯矩正负的规定：弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。弯矩为正，反之为负。FsFs FsFs MMMM剪力正负的规定剪力正负的规定弯矩正负的规定弯矩正负的规定 内力通过平衡方程计算。内力通过平衡方程计算。AFAyFsMx 计算梁内力的步骤：计算梁内力的步骤：取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；列平衡方程列平衡方程 Fx=0，求剪力求剪力FS；m=0，求求弯矩。弯矩。例例1 求图示梁求图示梁1、2、3、4截面的内力。截面的内力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：解：取整体，取整体，FAFB11截面截面FA11Fs1M1A 由由1 1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩紧挨杆端截面的弯矩M=0。CP=12kN22截面截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M3A33截面截面ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBD2233PFs3M3Fs2M2 由由2、3 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论：集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBC44M4Fs444 截面截面 由由44 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论：自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB例例2 求图示梁求图示梁1、2、3 截面的内力。截面的内力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：解：取整体，取整体，11截面截面FA11Fs1AM1m1FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm122截面截面33截面截面FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m 由由2、3 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论：集中力偶两侧截面的的剪力相等；集中力偶两侧截面的的剪力相等；集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m例例3 求图示梁求图示梁1、2、3 截面的内力。截面的内力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m3311 2FAFB23m解：取整体解：取整体11截面截面FA11Fs1M1ABFA22Fs2M2Am22截面截面33Fs3M3FBq33截面截面BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m3311 2FAFB23m43 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图qxql-xlFs(x)M(x)图示梁任一截面的内力。图示梁任一截面的内力。截面剪力是截面坐标的函数，称截面剪力是截面坐标的函数，称为为剪力方程剪力方程剪力方程剪力方程。截面弯矩也是截面坐标的函数，称为截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程。qxl 剪力方程剪力方程 的的函数图象称为函数图象称为剪力图剪力图剪力图剪力图。正的剪力画。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。在基线上侧，负的画在下侧。剪力图剪力图qlxFs 弯矩方程弯矩方程 的函数图象称为的函数图象称为弯矩图弯矩图弯矩图弯矩图。-ql2/2弯矩图弯矩图xMq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：任任选选一一截截面面x x，写写出出剪剪力力和弯矩和弯矩 方程方程x依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxl由由剪剪力力图图、弯弯矩矩图图可可见见。最最大大剪剪力和弯矩分别为力和弯矩分别为4例题例题5 5qxBAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力FAyF b/l FByF a/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.3.依方程画出剪力图和弯矩图依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例题例题6 6BAlF FAYAYF FBYBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力FAyM/l FBy-M/l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2x1AC3.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。CMab例题例题7 7BAlF FAYAYq qF FBYBY简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力FAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx例题例题8 844 剪力、弯矩与荷载集度间的关系剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxo 取微段取微段dx，受力如图。受力如图。ABdxx略去高阶微量得：略去高阶微量得：q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)dxo 当当q=0，Fs=常数，常数，Fs 图为平直线；图为平直线；M 为一次函数，为一次函数，M 图为斜直线；图为斜直线；当当q=常数常数，Fs为一次函数，为一次函数，Fs 图为斜直线；图为斜直线；M 为二次函数，为二次函数，M 图为抛物线；图为抛物线；当当M 图为抛物线时，画图为抛物线时，画M 图需确定抛物线顶点图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。的位置和顶点的弯矩值。由由：可知可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。1 1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变化，成为一个转折点。化，成为一个转折点。2 2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶矩数值。矩数值。3 3、的绝对值可能发生在剪力等于的绝对值可能发生在剪力等于0 0处，也可能发处，也可能发生在集中力作用处，还有集中力偶处。生在集中力作用处，还有集中力偶处。根据根据M、Fs与与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。方程，即可画出剪力图和弯矩图。另外：另外：根据根据M、Fs与与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点，分布荷载，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；两端，支座处都应取作分段点；用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由，由Fs=0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；矩值；用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩弯矩 连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。例例9 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FAFB34m11解：取整体解：取整体Fs图图M图图FsM1234=00BAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18kN34m11Fs图图M图图FsM12345=00FA22Fs2M2A66612BFs图图M图图FsM1234=0066-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB6FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kN34m11BAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18kN34m11Fs图图M图图FsM12345=0066-181224B66kN18kN 3m5555Fs5M5FBq02712kN.m24kN.m27kN.mB例例10 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FAFB32m11解：取整体解：取整体Fs图图M图图FsM12345=002mB44 55D6=AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs图图M图图Fs M12345=002mB44 55D6=5-75FA33Fs3M3AF-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.mAC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs 图图M图图FsM12345=002mB44 55D6=5-75RA44Fs 4M4AP-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.m8kN.m88例例11 画图示梁的内力图。画图示梁的内力图。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：解：取整体，取整体，FBmAFs图图M图图Fs M1234=00844ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs图图M图图Fs M1234=00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2-8-8-8 4kN8kN 8kN.m8kN.mCB例例12 画图示梁的内力图。画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：解：取整体，取整体，FAFC4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs 图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2 二、按叠加原理作弯矩图二、按叠加原理作弯矩图qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/l FA=ql/2FB=ql/2Fs图图M图图 m/lm ql/2ql/2ql2/8m/l+ql/2m/l-ql/2 mql2/8=+=MmaxPmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/l RA=P/2FB=P/2Fs图图M图图 m/lmP/2P/2Pl/4m/l+P/2m/l-P/2 mPl/4=+=l/2l/2l/2l/2l/2P 应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：l/2l/2ABMAMBPl/2l/2ABMAMBqPl/4 MAMBMBMA ql2/8M图图(b)M图图(a)AB段梁中间作用一集中力段梁中间作用一集中力P，两端弯矩为两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（该段梁的弯矩图如图（a）所示；所示；AB段梁作用于均布荷载段梁作用于均布荷载，两端弯矩为两端弯矩为MA、MB，该该段梁的弯矩图如图（段梁的弯矩图如图（b）所示。所示。例例13 用叠加法画图示梁的弯矩图。用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN6m2m11223344BCM 图图解：解：将梁分为将梁分为AB，BC两段。两段。8kN.m9kN.m 不必求支座反力。不必求支座反力。例例14 用叠加法画图示梁的弯矩图。用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM 图图2m8kN.m解：解：将梁分为将梁分为AC，BC两段。两段。先求支座反力。先求支座反力。FAFBq=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM 图图16kN.m4kN.m2m8kN.m4kN.m8kN.mFA=6kNFB=6kN 例例15 用叠加法画图示梁的弯矩图。用叠加法画图示梁的弯矩图。3kN10kN2kN/m11223344 5566ABCD2m2m2m2mM 图图解：解：将梁分为将梁分为AB、BC、CD三段。三段。不必求支座反力。不必求支座反力。6kN.m4kN.m10kN.m1kN.m5kN.m平面刚架平面刚架：某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。4.5 4.5 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力Bqly 已知平面刚架上的均布载荷集度已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度长度l。试：画出刚架的内力图。试：画出刚架的内力图。例题例题4-8解：解：1 1、确定约束力、确定约束力2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆竖杆ABAB：A A点向上为点向上为y yBqlyql/2ql/2ql/2Bqlyql/2ql/2横杆横杆CB：C点向左为点向左为xBFN(x)M(x)xFS(x)xql/2竖杆竖杆ABAB：3 3、根据各段的内力方程画内力图、根据各段的内力方程画内力图横杆横杆CBCB：MFNFSqlBqlql/2ql/2