机械动力学总结

1 1-1 1-1 利用利用动态静静力法力法进行行动力分析力分析 一、思路一、思路动静法：动静法：第一章第一章 单自由度单自由度机械系统的动力学分析机械系统的动力学分析根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡 方程，来求解未知力（如原动件上施加的力、方程，来求解未知力（如原动件上施加的力、约束反力等）。约束反力等）。用静力平衡方程解决动力学问题用静力平衡方程解决动力学问题基本方程为：基本方程为：2二、典型实例二、典型实例例例1 1：已知：已知：求：角加速度求：角加速度解：利用动静法拆开机构解：利用动静法拆开机构 轮轮1 1：有反力：有反力R R，惯性力矩惯性力矩 ,M,M1 1 轮轮2 2：有反力：有反力R R，惯性力矩，惯性力矩 ,M,M2 2则有方程：则有方程：得得:结论：结论：1 1、加惯性力（力矩）、加惯性力（力矩）核心核心2 2、约束反力、约束反力 纽带纽带3 3、一个构件列一个受力平衡方程、一个构件列一个受力平衡方程基础基础3例例2 2：已知从动件推程方程已知从动件推程方程:求：凸轮角加速度求：凸轮角加速度解：忽略摩擦时反力解：忽略摩擦时反力R R，沿法线方向，沿法线方向 凸轮：有反力凸轮：有反力R R ，惯性力矩，惯性力矩，M M1 1 推杆：有反力推杆：有反力R R，惯性力矩，惯性力矩，F F2 2则有方程：则有方程：得：得：结论：结论：例例1 1的角加速度是用传动比的角加速度是用传动比例例2 2的角加速度是用推杆位移方程的角加速度是用推杆位移方程4例例3 3：已知：已知：求：求：建立运动方程建立运动方程解：解：设设杆杆1 1转角转角 杆杆3 3位移位移则有方程：则有方程：5 1-2 1-2 利用等效力利用等效力学学模型法模型法进行行动力力学学分析分析 一、等效力学模型概念一、等效力学模型概念 1 1、思路、思路动能定理：动能定理：合外力所做功的增量合外力所做功的增量=系统动能的增量系统动能的增量 质点：质点：61 12 2、实例：、实例：已知如图，构建动力学方程已知如图，构建动力学方程等效力矩等效力矩 Mv等效转动惯量等效转动惯量JvM等效力学模型等效力学模型7力矩与转速同力矩与转速同向取正，反向向取正，反向取负取负1.1.等效力矩等效力矩2.2.等效转动惯量等效转动惯量3.3.等效质量等效质量4.4.等效力等效力以上可以看出，这些等效参数仅与传动比有关，而与真实以上可以看出，这些等效参数仅与传动比有关，而与真实 速度无关。速度无关。为力与速为力与速度夹角度夹角二、等效参数二、等效参数81.1.瞬心法瞬心法2.2.解析法解析法3.3.特例特例 齿轮传动，凸轮传动等齿轮传动，凸轮传动等求传动比方法：求传动比方法：9根据动能定理根据动能定理 有：有：1.1.微分形式微分形式2.2.积分形式积分形式 的函数的函数 的函数的函数三、方程形式三、方程形式10例例1 1.已知已知求：角加速度求：角加速度解：解：以构件以构件1 1为等效件为等效件四、典型四、典型实例例11例例2.2.已知从动件的推程方程已知从动件的推程方程 求：凸轮的角加速度求：凸轮的角加速度（略杆的重力）（略杆的重力）解：选凸轮为等效件解：选凸轮为等效件，12例例3.3.已知已知 求：求：建立系统运动方程建立系统运动方程（略（略mm2 2，mm2 2g g）解：选解：选1 1为等效件为等效件13例例4.4.已知：已知：，略重力及质量略重力及质量求：求：1 1）启动力矩）启动力矩M M1 1最小值；最小值；2 2）如启动）如启动3 3秒后秒后n n1 1=600rpm=600rpm，求，求M M1 1。解：解：1)1)选中心轮选中心轮1 1为等效件为等效件14若不忽略齿轮若不忽略齿轮2 2，3 3的质量？的质量？2 2）a.a.若匀速转动若匀速转动MM1 1=？b b.若去掉若去掉M1，多长时间停车？多长时间停车？15五、运动方程的求解五、运动方程的求解 1.=1.=常数常数3 3）为角速度的函数：为角速度的函数：1 1）为常数（用微分形式）：为常数（用微分形式）：2 2）为转角的函数：为转角的函数：162.2.不为常数不为常数1 1）=常数常数2 2）：利用积分方程：利用积分方程3 3）：利用微分方程：利用微分方程17例例1.1.已知：已知：求：求：1 1）由静止启动）由静止启动5 5秒时蜗杆秒时蜗杆1 1的角速度；的角速度；2 2）若）若 ，其它条件不变，其它条件不变，求蜗杆求蜗杆1 1的角速度。的角速度。解：解：1 1）182 2）分析分析1 119例例2.2.已知：弹簧压缩产生的力矩已知：弹簧压缩产生的力矩 求：断电后角速度为求：断电后角速度为0 0时杆的转角时杆的转角利用积分形式得：利用积分形式得：20例例3.3.已知：从动件推程方程已知：从动件推程方程 求：凸轮运动参数的变化规律求：凸轮运动参数的变化规律解：选凸轮为等效件解：选凸轮为等效件1 121练习练习：已知：已知：求：运动方程求：运动方程分析：选分析：选1 1为等效件为等效件22 1-3 1-3 利用拉格朗日法利用拉格朗日法进行行动力力学学分析分析 一、分析力学的基础知识一、分析力学的基础知识 1.1.分析力学分析力学牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学经典力学经典力学分析力学分析力学研究对象研究对象牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件经典力学经典力学分析力学分析力学系统系统研究对象研究对象理论基础理论基础牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件力平衡力平衡经典力学经典力学分析力学分析力学系统系统动能定理动能定理研究对象研究对象理论基础理论基础区别区别牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件力平衡力平衡有约束力有约束力经典力学经典力学分析力学分析力学系统系统动能定理动能定理无约束力无约束力研究对象研究对象理论基础理论基础区别区别方法方法牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件力平衡力平衡有约束力有约束力解析法解析法图解法图解法经典力学经典力学分析力学分析力学系统系统动能定理动能定理无约束力无约束力解析法解析法232.2.约束及分类、约束方程约束及分类、约束方程 约束：约束：分类：分类：双面约束（刚杆的约束）双面约束（刚杆的约束）单面约束（绳子的约束）单面约束（绳子的约束）完整约束（几何约束）完整约束（几何约束）非完整约束（运动约束）非完整约束（运动约束）稳定约束（定常约束）稳定约束（定常约束）非稳定约束（非定常约束）非稳定约束（非定常约束）对位置进行限制的约束对位置进行限制的约束-对速度、加速度进行限制对速度、加速度进行限制对构件的位置或运动进行限制对构件的位置或运动进行限制根据约束对限制的不同情况：根据约束对限制的不同情况：-不随时间变化而变化不随时间变化而变化-随时间变化而变化随时间变化而变化-用等式方程表示的约束用等式方程表示的约束-用不等式方程表示的约束用不等式方程表示的约束u 约束方程：约束方程：将约束条件用数学形式表示出来的方程将约束条件用数学形式表示出来的方程245.5.理想约束：理想约束：6.6.广义坐标广义坐标 ：这里的广义坐标是杆这里的广义坐标是杆1 1转角还是转角还是B B点直角坐标点直角坐标,为什么？为什么？在任意虚位移上系统约束反力所作元功在任意虚位移上系统约束反力所作元功之和为零（略摩擦）之和为零（略摩擦）用以确定机构位置的一组独立参数用以确定机构位置的一组独立参数257.7.自由度：自由度：8.8.广义速度：广义坐标广义速度：广义坐标q q 对时间对时间t t 的一阶导数的一阶导数 广义坐标的独立变分数目广义坐标的独立变分数目自由度数自由度数在完整系统中，广义坐标数在完整系统中，广义坐标数=独立变分数独立变分数=自由度数自由度数26例：例：如图平面机械手如图平面机械手广义坐标：广义坐标：m m点坐标：点坐标：偏导数中广义坐标是相偏导数中广义坐标是相互独立的，均为时间互独立的，均为时间t t的的函数函数279.9.广义加速度广义加速度 ：10.10.虚位移原理：虚位移原理：证明证明稳定理想约束系统处于平衡的充分必稳定理想约束系统处于平衡的充分必要条件是在任一给定虚位移上，主动要条件是在任一给定虚位移上，主动力所做元功之和为零。力所做元功之和为零。28虚位移原理的表达形式：虚位移原理的表达形式：形式形式1 1：形式形式2 2：形式形式3 3：广义坐标表达式广义坐标表达式广义力广义力29例例1 1：已知如图，已知如图，广义力：广义力：求广义力。求广义力。解：解：30问题：如有力矩问题：如有力矩M M是否影响广义力？是否影响广义力？广义力应用的是虚位移原广义力应用的是虚位移原理，所以有影响。理，所以有影响。31例例2 2：已知已知求：广义力求：广义力解解：自由度数：自由度数=广义坐标数广义坐标数取取32例例3 3：解：解：设设A A点虚位移点虚位移BCBC杆虚位移杆虚位移CECE杆位移杆位移已知六杆机构中的力已知六杆机构中的力F F，求平，求平衡时的驱动力矩衡时的驱动力矩M M。虚位移原理应用虚位移原理应用用于解决静力学问题用于解决静力学问题则：则：33例例4 4：已知已知求：平衡时，求：平衡时，解解：分析：分析取取因广义坐标为独立参数，不互相影响因广义坐标为独立参数，不互相影响轮轮4 4不动，轮不动，轮1 1有虚位移，得：有虚位移，得：轮轮1 1不动，轮不动，轮4 4有虚位移，得：有虚位移，得：1/98/934惯性力为惯性力为 ，11.11.动力学普遍方程（第一类拉格朗日方程）：动力学普遍方程（第一类拉格朗日方程）：动力学普遍方程：具有理想约束的质点系运动时，动力学普遍方程：具有理想约束的质点系运动时，在任一瞬时作用在质点系上的所在任一瞬时作用在质点系上的所 有有主动力和惯性力主动力和惯性力在在任意虚位移任意虚位移 上所做的上所做的元功之和等于零元功之和等于零。若系统具有理想约束，并由若系统具有理想约束，并由n n个质点组成，个质点组成，任一质点为任一质点为 ，主动力为主动力为 ，根据虚位移原理在任一瞬时有：根据虚位移原理在任一瞬时有：35例：例：用功率表示功用功率表示功又又已知标准齿轮标准安装，系统在已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动，水平面内运动，求：运动与受力关系求：运动与受力关系分析：分析：3612.12.第二类拉格朗日方程：第二类拉格朗日方程：设理想、完整约束系统由设理想、完整约束系统由n n个质点组成，个质点组成，上式变分得上式变分得（变分运算如同微分运算，进行微分运算后，变分运算如同微分运算，进行微分运算后，将微分符号改为变分符号将微分符号改为变分符号）矢径对时间求导矢径对时间求导有有N N个自由度，个自由度，系统中任一质点的矢径可表示为：系统中任一质点的矢径可表示为：37将上式对将上式对 求偏导有：求偏导有：将上式对将上式对t t求全导数：求全导数：将第一类拉氏方程打开，有：将第一类拉氏方程打开，有：惯性力所做元功之和：惯性力所做元功之和：38和和带入有：带入有：引入系统动能：引入系统动能：得得39由于广义坐标的变分都是独立的，因此上式中必有：由于广义坐标的变分都是独立的，因此上式中必有：说明：说明：1 1、拉氏方程是一个由、拉氏方程是一个由N N个方程组成的二阶方程个方程组成的二阶方程 组，其特点是不含约束反力。组，其特点是不含约束反力。2 2、拉氏方程是以能量的角度研究问题，、拉氏方程是以能量的角度研究问题，因此避免了加速度的分析。因此避免了加速度的分析。3 3、方程表明了动能变化和主动力之间的关系。、方程表明了动能变化和主动力之间的关系。拉氏方程：拉氏方程：40例例1 1：已知标准齿轮标准安装，系已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动统在水平面内运动求：运动与受力关系求：运动与受力关系分析：系统具有一个自由度分析：系统具有一个自由度又又二、利用拉式方程进行动力学分析二、利用拉式方程进行动力学分析取取B B41例例2.2.已知：已知：求：用拉格朗日方程动力学求：用拉格朗日方程动力学方程方程解：解：系统一个自由度，取系统一个自由度，取系统动能：系统动能：则则42从虚功率角度求广义力从虚功率角度求广义力此机构的虚功率：此机构的虚功率：由拉氏方程：由拉氏方程：得得:也可由虚功来求也可由虚功来求Q Q1 143课堂练习课堂练习已知：已知：441 1、等效法：、等效法：选选H H为等效件为等效件等效力矩：等效力矩：因为因为 为常数，选微分方程为常数，选微分方程452 2、动力学普遍方程（拉氏一法）：、动力学普遍方程（拉氏一法）：给定：给定：463 3、拉氏二法：、拉氏二法：取：取：47广义力的求法一般有两种方法广义力的求法一般有两种方法:1 1、按广义力定义求解、按广义力定义求解2 2、采用虚功方法进行求解、采用虚功方法进行求解由于采用虚功方法进行求解相比较而言容易由于采用虚功方法进行求解相比较而言容易一些，因此本课程中涉及到广义力的求解都一些，因此本课程中涉及到广义力的求解都是采用虚功方法。是采用虚功方法。48例例：如图示机构，求平衡时：如图示机构，求平衡时机构自由度数为机构自由度数为3 3，构件，构件1 1、4 4、7 7运动定义为广义坐标，即运动定义为广义坐标，即平衡时，在平衡位置的虚功为零，平衡时，在平衡位置的虚功为零，又广义力为零又广义力为零可以求出三个未知数可以求出三个未知数分析：分析：49例例：五杆机构，取：五杆机构，取构件构件1 1由由 控制，控制，构件构件4 4由由 控制，控制，件件2 2、3 3由由 共同控制。共同控制。第二章第二章 两自由度机构动力学分析两自由度机构动力学分析2-1 2-1 两自由度机构的运动分析两自由度机构的运动分析1.1.构件上某点速度：构件上某点速度：上式也可以表示为：上式也可以表示为：分析：分析：称为类线速称为类线速度（矢量）度（矢量）50的物理意义：的物理意义：当当 时，时，的大小、方向即为的大小、方向即为 的大小方向的大小方向量纲由广义坐标决定量纲由广义坐标决定2.2.构件角速度构件角速度注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量如研究杆如研究杆2 2、杆、杆3 3：不是传动比不是传动比第第i i个件对广义坐标个件对广义坐标1 1，2 2的的类角速度类角速度（标量）（标量）的物理意义？的物理意义？512-2 2-2 利用拉格朗日方程建立两自由度机构利用拉格朗日方程建立两自由度机构 的动力学方程的动力学方程拉格朗日方程：拉格朗日方程：一、惯性系数一、惯性系数求求1 1个构件动能：个构件动能：52对于对于 ：与与 和和 均相关件的质量和转动惯量才能计入，均相关件的质量和转动惯量才能计入，则系统动能：则系统动能：说明：说明：对于对于 ：件件i 的运动必须与的运动必须与 有关，有关，即与即与 相关件的质量和转动惯量才能计入，相关件的质量和转动惯量才能计入，惯性系数惯性系数为正；为正；可为正、为负、为零。可为正、为负、为零。53例例1 1：已知：已知：求：求：分析：广义坐标可以设为：分析：广义坐标可以设为：则：则：则：则：5455例例2 2：已知差动轮系已知差动轮系轮轮2 2、3 3质量略，质量略，H转动惯量略。转动惯量略。求：求：分析：广义坐标可以设为：分析：广义坐标可以设为：则：则：5657二、计算动能二、计算动能用惯性系数表示的动能：用惯性系数表示的动能：58则拉氏方程为：则拉氏方程为：两个自由度的两个自由度的拉氏方程拉氏方程59例例3 3：已知：已知：求：建立运动方程求：建立运动方程分析：选广义坐标分析：选广义坐标:则：则：u 求类线速度求类线速度:60常数常数61求广义力：求广义力：方程：方程：此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。62例例4 4：已知差动轮系中：已知差动轮系中：，各轮质量略。，各轮质量略。分析：取广义坐标：分析：取广义坐标：则：则：求：求：63方法方法1 1：方法方法2 2：同理同理求：求：即即H H不动，则：不动，则：即即1 1轮不动，则：轮不动，则：求：求：64计算广义力：计算广义力：动力学方程：动力学方程：差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。65例例5 5：已知：已知：重力略，建立运动方程。重力略，建立运动方程。分析：分析：选广义坐标：选广义坐标：则：则：66计算广义力：计算广义力：动力学方程：动力学方程：67例例第三章第三章 多自由度机构的动力学分析多自由度机构的动力学分析3-1 拉格朗日方程拉格朗日方程68693-2 多自由度机构的动力分析多自由度机构的动力分析一、运动关系一、运动关系1 1、某构件运动与一个广义坐标相关、某构件运动与一个广义坐标相关2 2、某构件运动与几个广义坐标相关、某构件运动与几个广义坐标相关3 3、各构件在广义坐标下的表示、各构件在广义坐标下的表示4 4、构件速度、角速度表示、构件速度、角速度表示5 5、构件质心的坐标、速度表示、构件质心的坐标、速度表示类线速度类线速度类角速度类角速度70二、系统动能二、系统动能71以平面以平面4 4自由度为例自由度为例(表格形式表格形式)：7273 的下标的含义：与的下标的含义：与i i、j j广义坐标同时有关的构件广义坐标同时有关的构件的等效质量或惯量。的等效质量或惯量。如如以以3 3自由度第自由度第3 3个方程为例：个方程为例：74空间任一运动的刚体空间任一运动的刚体证明证明75如果质心速度如果质心速度为零，刚体动为零，刚体动量也为零量也为零根据转动惯根据转动惯量计算公式量计算公式76系统动能：系统动能：三、系统势能三、系统势能势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉格朗日方程中用格朗日方程中用“U U”表示。表示。四、广义力四、广义力广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势有势力力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系统）。统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力引入拉氏函数后广义力不包括有势力常见势能有常见势能有哪些？哪些？77例例1 1：如图，已知各转动惯量、力矩如图，已知各转动惯量、力矩其余略，求动力学方程其余略，求动力学方程分析：系统自由度为：分析：系统自由度为：设：设：78广义力用虚功广义力用虚功原理求解原理求解动能均为角速度动能均为角速度(广义速度广义速度)的函数，的函数，79注：注：轮系中，一般类角速度是轮系中，一般类角速度是定值。所以有惯性系数为定值。定值。所以有惯性系数为定值。80例例2 2：如图，杆长已知，质心位如图，杆长已知，质心位置已知，各杆受力矩、转动惯置已知，各杆受力矩、转动惯量已知。建立系统动力学方程。量已知。建立系统动力学方程。分析分析1 1：系统为平面：系统为平面N N自由度开自由度开链机构，广义力为重力、外力链机构，广义力为重力、外力矩和手爪部外力。矩和手爪部外力。分析分析2 2：动能函数为质心速度、：动能函数为质心速度、角速度函数，势能为广义坐标角速度函数，势能为广义坐标函数。函数。问题问题1 1：广义力如何求？：广义力如何求？问题问题2 2：T T或或L L函数的表达？函数的表达？思考：动能、势能思考：动能、势能的广义力表达式的广义力表达式81各杆转动部分仅与各各杆转动部分仅与各自的广义坐标有关。自的广义坐标有关。82广义力广义力:通式通式:83例例3 3：如图已知：如图已知：其余略，求动力学方程。其余略，求动力学方程。84分析分析1 1：系统自由度数：系统自由度数？分析分析2 2：各构件与广义坐标关系：各构件与广义坐标关系动力学方程：动力学方程：85分析分析3 3：计算类角速度。：计算类角速度。86系数如下：系数如下：87分析分析4 4：系统广义力：系统广义力？88广义力求法：广义力求法：轮系类问题：轮系类问题：1 1、以、以 为广义坐为广义坐标求广义力标求广义力2 2、以、以 为广义坐为广义坐标求广义力标求广义力3 3、以、以 为广义坐为广义坐标求广义力标求广义力89开式链杆系统类问题：开式链杆系统类问题：90闭式多杆系统类问题：闭式多杆系统类问题：求解方法：根据速度瞬心求解求解方法：根据速度瞬心求解虚位移虚位移微小时间段微小时间段速比速比瞬心瞬心91第四章第四章 考虑摩擦时的动力学分析考虑摩擦时的动力学分析4-1 4-1 利用机械效率进行动力学分析利用机械效率进行动力学分析一、典型实例：一、典型实例：已知各轮转动惯量、已知各轮转动惯量、力矩，动力分析力矩，动力分析?分析：当无摩擦时，利分析：当无摩擦时，利用等效力学模型有：用等效力学模型有：则，微分方程为：则，微分方程为：92有摩擦时：以能量角度进行分析有摩擦时：以能量角度进行分析,即功率传到轮即功率传到轮2 2损损失一部分，进一步传递到轮失一部分，进一步传递到轮3 3又损失一部分，后抵消又损失一部分，后抵消阻力矩做功。阻力矩做功。定义为有摩擦定义为有摩擦的等效力矩的等效力矩定义为有摩擦的定义为有摩擦的等效转动惯量等效转动惯量二、功率流二、功率流 当力的传递路线与功率流一致时乘以效率；当力当力的传递路线与功率流一致时乘以效率；当力的传递路线与功率流相反时除以效率。的传递路线与功率流相反时除以效率。93注意：注意：首先确定功率流；首先确定功率流；注意效率乘除关系；注意效率乘除关系；注意正反行程可能效率不同；注意正反行程可能效率不同；有些没有效率可用但考虑摩擦的问题有些没有效率可用但考虑摩擦的问题不适用本方法。不适用本方法。94例例1 1：已知如图已知如图分析：分析：无摩擦无摩擦分析：分析：有摩擦有摩擦若等效力矩大于零功率若等效力矩大于零功率流由流由1 1到到2 2，否则反之。，否则反之。注意：注意：正向、逆向时等效惯量也不同。正向、逆向时等效惯量也不同。95例例2 2：已知力矩如图均为驱动力矩已知力矩如图均为驱动力矩分析：分析：无摩擦无摩擦分析：分析：首先判断功率流向，即当首先判断功率流向，即当1 1、2 2独立时，若独立时，若1 1的的角加速度大则功率由角加速度大则功率由1 1流向流向2 2，否则反之。，否则反之。分析：假设分析：假设功率由功率由1 1流向流向2 2，有：，有：96例例3 3：已知力矩如图均为驱动力矩已知力矩如图均为驱动力矩分析：分析：首先判断功率流向，方法同上。最终流向可能首先判断功率流向，方法同上。最终流向可能是到是到1 1、2 2、3 3、4 4、5 5，共，共5 5种可能。种可能。97练习练习1 1：已知：已知：分析：分析：首先判断功率流向。取首先判断功率流向。取3 3为等效件：为等效件：求有、无摩擦时轮求有、无摩擦时轮3 3角加速度。角加速度。98图示机构中，图示机构中，转动惯量为，转动惯量为 ,若传动效率若传动效率求由静止启动到求由静止启动到10秒时轮秒时轮2的角速度？的角速度？练习练习2 2：99分析：分析：无摩擦时无摩擦时1 1、2 2拆开后：拆开后：能量由能量由2 2流向流向1 1 摩擦时摩擦时如果力矩如果力矩1 1反向，结果？反向，结果？100第五章第五章 考虑构件弹性时的动力学分析考虑构件弹性时的动力学分析 前面在进行动力学分析时，都是认为目标系统前面在进行动力学分析时，都是认为目标系统的够构件是刚性的（的够构件是刚性的（弹簧除外，一般对弹簧的研究一般弹簧除外，一般对弹簧的研究一般都是仅计弹性不计质量都是仅计弹性不计质量），对于大多数情况下这种假设），对于大多数情况下这种假设是合理的。是合理的。随着机械向轻量化方面的发展，有一部分机构，随着机械向轻量化方面的发展，有一部分机构，构件的刚度降低弹性增加，即在运动过程中有必要构件的刚度降低弹性增加，即在运动过程中有必要对对“柔性柔性”加以考虑，研究加以考虑，研究“柔性柔性”变化系统运动变化系统运动学、动力学的影响。（有精度要求，同时铰链等间学、动力学的影响。（有精度要求，同时铰链等间隙也不得不考虑在内）隙也不得不考虑在内）齿轮轮齿啮合过程中变形；齿轮轮齿啮合过程中变形；凸轮机构中从动件受力变形；凸轮机构中从动件受力变形；轴变形（振动）；轴变形（振动）；空间并联柔性机器人变形；空间并联柔性机器人变形；5-1 问题的提出问题的提出101思路：思路：一般境况下，系统中具有弹性变化的构件，一般境况下，系统中具有弹性变化的构件，如果不考虑构件内部的如果不考虑构件内部的阻尼阻尼，即构件的弹性能可以，即构件的弹性能可以类似于弹簧势能（质量除外），这时可以对系统引类似于弹簧势能（质量除外），这时可以对系统引入一个弹性势能进行动力学研究。入一个弹性势能进行动力学研究。根据以上思想可以采用如下拉格朗日方程形似：根据以上思想可以采用如下拉格朗日方程形似：5-2 求解思路求解思路102 5-3 5-3 横向变形单元杆的动力学分析横向变形单元杆的动力学分析一、单元杆一、单元杆均质，单位长质量为均质，单位长质量为、长为、长为l 的杆，截面积的杆，截面积A A，弹弹性模量为性模量为E，有纵向分布力，有纵向分布力f（x，t）和其上）和其上C点集中点集中力力FC，节点力，节点力 ，其变形分别为，其变形分别为 。分析：分析：广义坐标可以设为广义坐标可以设为 根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能和广义力。这些量的计算与节点变形、杆变形有关，和广义力。这些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。103考察系统（单元杆）考察系统（单元杆）的边界条件如下：的边界条件如下：单元杆在节点上有两个边界条件，因此这里可以单元杆在节点上有两个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示用一线性方程表示104二、二、单元杆的动能单元杆的动能 T三、三、单元杆的弹性势能单元杆的弹性势能 U105四、四、拉格朗日方程拉格朗日方程矩阵形式：矩阵形式：106五、五、广义力广义力虚功：虚功：107 5-4 5-4 纵向变形的单元杆的动力学分析纵向变形的单元杆的动力学分析一、杆的参数一、杆的参数均质，单位长质量为均质，单位长质量为、长为、长为l 的杆，弹性模量为的杆，弹性模量为E，有，有横向分布力横向分布力f（x，t）和其上）和其上C点集中力点集中力FC，节点力，节点力 ，其变形分别为，其变形分别为 。分析：分析：广义坐标可以设为广义坐标可以设为根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能，这根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能，这些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。出系统（单元杆）的变形方程。108考察系统（单元杆）的边界条件如下：考察系统（单元杆）的边界条件如下：单元杆在节点上有四个边界条件，因此这里可以单元杆在节点上有四个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示用一线性方程表示109二、二、单元杆的动能单元杆的动能 T二、二、单元杆的弹性势能单元杆的弹性势能 U单元杆的横向变形是由剪切变形和弯曲变形共同单元杆的横向变形是由剪切变形和弯曲变形共同作用。由于剪切变形相对较小故而忽略，这里的作用。由于剪切变形相对较小故而忽略，这里的推导仅考虑弯曲变形的作用。推导仅考虑弯曲变形的作用。110弯曲应变能：弯曲应变能：111四、四、拉格朗日方程拉格朗日方程矩阵形式：矩阵形式：112五、五、广义力广义力虚功：虚功：113 5-5 5-5 具有横向和纵向变形单元杆的动力分析具有横向和纵向变形单元杆的动力分析考察一具有横向和纵向变形的均质杆，如图：考察一具有横向和纵向变形的均质杆，如图：分析：分析：杆具有六个广义坐标，即横向和纵向叠加。杆具有六个广义坐标，即横向和纵向叠加。根据前面的方法，可以用矩阵形式表示杆的动力学根据前面的方法，可以用矩阵形式表示杆的动力学方程：方程：114根据横向和纵向方程，质量矩阵分别为：根据横向和纵向方程，质量矩阵分别为：横向和纵向合并后质量矩阵为：横向和纵向合并后质量矩阵为：115根据横向和纵向方程，刚度矩阵分别为：根据横向和纵向方程，刚度矩阵分别为：横向和纵向合并后刚度矩阵为：横向和纵向合并后刚度矩阵为：116横向变形方程：横向变形方程：纵向变形方程：纵向变形方程：转角方程：转角方程：根据以上方程可以求出集中力、分布力和力矩的功，根据以上方程可以求出集中力、分布力和力矩的功，进而得到广义力。进而得到广义力。117例：例：如图四杆机构，如图四杆机构，考虑弹性变形考虑弹性变形分析：分析：一个独立的单元杆考虑弹性变形的时候有六一个独立的单元杆考虑弹性变形的时候有六个广义坐标，但是在系统中，有些广义坐标是非独个广义坐标，但是在系统中，有些广义坐标是非独立的。考察上面的四杆机构：立的。考察上面的四杆机构：ABAB杆：由于杆：由于A A点不动且为原动件（点不动且为原动件（A A处转角已知，因此认为处转角已知，因此认为没有转角相关的广义坐标没有转角相关的广义坐标），因此），因此ABAB杆有三个广义坐标，杆有三个广义坐标，即即B B点处三个广义坐标。点处三个广义坐标。BCBC杆：四（杆：四（6-26-2）个广义坐标。）个广义坐标。CDCD杆：杆：D D点不动，二（点不动，二（4-24-2）个广义坐标，即）个广义坐标，即D D点一个点一个转角，转角，D D点三个广义坐标。点三个广义坐标。5-6 5-6 系统弹性运动分析系统弹性运动分析118广义坐标如下：广义坐标如下：A A点无点无B B点点x x，y y向坐标向坐标 ABAB杆杆B B点转角点转角 BC BC杆杆B B点转角点转角C C点点x x，y y向坐标向坐标 BC BC杆杆C C点转角点转角 CD CD杆杆C C点转角点转角D D点点 CD CD杆杆D D点转角点转角以各杆为参考件广义以各杆为参考件广义坐标如下：坐标如下：ABAB杆：杆：B B点变形点变形 B B点转角点转角BCBC杆杆:B:B点变形点变形 B B点转角点转角 C C点变形点变形 D D点转角点转角CDCD杆杆:C:C点变形点变形 C C点转角点转角 D D点转角点转角119系统节点上变形与单元杆节点变形变化关系：系统节点上变形与单元杆节点变形变化关系：（坐标变换）（坐标变换）分析：单元杆上变形是以横向和纵向给出的，系统分析：单元杆上变形是以横向和纵向给出的，系统广义坐标是根据系统特点定义的，如直角坐标，因广义坐标是根据系统特点定义的，如直角坐标，因此需要一对应关系。此需要一对应关系。如图则有：如图则有：杆杆1 1：120将上式将上式组合有组合有如下形如下形式：式：121广义力：广义力：1 1、已知外力、外力矩；、已知外力、外力矩；2 2、B B、C C点处的约束反力；（点处的约束反力；（B B、C C处对应的广义处对应的广义坐标的广义力）坐标的广义力）问题：问题：如果如果ABAB杆有驱动力矩作用，那么对哪个杆有驱动力矩作用，那么对哪个 广义力有影响？广义力有影响？以上题为例，有变形动力学方程以上题为例，有变形动力学方程1313个，变形关个，变形关联联4 4个（个（2-22-2），约束反力），约束反力4 4个（个（B B、C C点）点）