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上页下页结束返回首页第八章第八章 数列与无穷级数数列与无穷级数 8.1 数列极限数列极限 数列数列收敛数列收敛数列有界数列和单调数列有界数列和单调数列1上页下页结束返回首页8.1.3 有界数列和单调数列有界数列和单调数列例如例如,有界有界无界无界2上页下页结束返回首页定理定理6 6 收敛数列必是有界数列收敛数列必是有界数列.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.3上页下页结束返回首页定义定义 若对于任意正整数若对于任意正整数 均有均有则称则称 是单调增加的数列是单调增加的数列(或单调不减的数列或单调不减的数列);若对于任意正整数若对于任意正整数 均有均有则称则称 是单调减少的数列是单调减少的数列(或单调不增的数列或单调不增的数列).单调增加数列和单调减少数列统称单调增加数列和单调减少数列统称单调数列单调数列.定理定理7(单调有界准则单调有界准则)单调有界数列必定是收敛数列单调有界数列必定是收敛数列.4上页下页结束返回首页定理定理(单调数列收敛准则单调数列收敛准则)(1)如果单调增数列如果单调增数列 an 有上界有上界,即即 则极限则极限 存在存在 (2)如果单调减数列如果单调减数列 an 有下界有下界,即即 则极限则极限 存在存在 5上页下页结束返回首页例例1证明重要极限证明重要极限:解解设设 ,则则6上页下页结束返回首页比较比较 xn 与与 xn+1 的对应项可知的对应项可知:即即 是单调增数列是单调增数列 7上页下页结束返回首页利用上式可得利用上式可得所以所以 是单调增有上界数列是单调增有上界数列,根据收敛准则根据收敛准则知知 收敛收敛,记其极限值为记其极限值为 e,于是有于是有8上页下页结束返回首页9上页下页结束返回首页10上页下页结束返回首页11上页下页结束返回首页12上页下页结束返回首页定理定理8 若数列若数列 的子数列的子数列 及及 均收敛均收敛,且且则数列则数列 收敛收敛,并且并且不作要求13上页下页结束返回首页小结：数列极限的求法数列极限的求法1.化为定积分化为定积分 若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,则根据定则根据定积分的定义有积分的定义有例例4解解:错错无穷多项相加(一般只考虑一般只考虑0,1区间上定积分区间上定积分)14上页下页结束返回首页解解:当然当然，原式，原式n等分取端点15上页下页结束返回首页例例5解解:16上页下页结束返回首页例例617上页下页结束返回首页18上页下页结束返回首页例例7计算计算解解记记则则由于由于所以所以19上页下页结束返回首页2.化为函数的极限化为函数的极限例例8 求下列数列的极限求下列数列的极限.解解(1)设设 则则由于由于所以所以20上页下页结束返回首页(2)设设 则则由于由于21上页下页结束返回首页所以所以注注:数列极限的求法不能直接用洛必达法则数列极限的求法不能直接用洛必达法则.22上页下页结束返回首页3.拆项相消拆项相消例例9解解:23上页下页结束返回首页例例10解解:注注:有时从最高次添项补项，如有时从最高次添项补项，如P431 例例9。24上页下页结束返回首页例例11解解:25上页下页结束返回首页4.利用四则运算法则或夹逼准则利用四则运算法则或夹逼准则例例12 求极限求极限26上页下页结束返回首页解解(1)(2)27上页下页结束返回首页5.利用单调有界准则利用单调有界准则例例13解解28上页下页结束返回首页解解例例14已知已知计算计算考虑单调性考虑单调性 假设假设 xn xn-1 ,由由 xn 0,有有29上页下页结束返回首页根据数学归纳法知根据数学归纳法知 xn 单调增单调增.又又单调增有上界单调增有上界收收 敛敛 设设在在 两边取极限两边取极限,有有解得解得所以所以30上页下页结束返回首页解解例例15设设 a 0,x1 0,定义定义计算计算因为因为即对一切即对一切 n N,31上页下页结束返回首页又又所以所以 单调减单调减,据收敛准则知据收敛准则知 收敛收敛,设设取极限有取极限有(负根舍去负根舍去)所以所以32上页下页结束返回首页33上页下页结束返回首页3435写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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