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第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答要点要点 用逆解法、用逆解法、半逆解法半逆解法求求解平面弹性力学问题。解平面弹性力学问题。3-1 3-1 多项式解答多项式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力3-5 3-5 级数式解答级数式解答3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷主主 要要 内内 容容3-1 3-1 多项式解答多项式解答适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的力学问题。能解决什么样的力学问题。逆解法逆解法其中：其中：a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：显然显然(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.一次多项式一次多项式（2）3-1 3-1 多项式解答多项式解答（3）对应的应力分量：对应的应力分量：若体力：若体力：X=Y=0，则有：，则有：结论结论1：（1）（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。对应力无影响。2.二次多项式二次多项式（1）其中：其中：a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数可作为应力函数)(假定：假定：X=Y =0;a 0,b 0,c 0)（3）由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。xy2c2c2a2axy试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：3.三次多项式三次多项式（1）其中其中:a、b、c、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数可作为应力函数)(假定：假定：X=Y =0)（3）由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：结论结论3：三次多项式对应于三次多项式对应于线性应力分布。线性应力分布。讨论：讨论：可算得：可算得：图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件：可见：可见：对应于矩形截面梁的对应于矩形截面梁的纯弯曲问题纯弯曲问题应力分布。应力分布。xy1llMM常数常数 d 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：(2)可见：可见：此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力的面力须线性分布须线性分布，且中心处为零，结果，且中心处为零，结果才是才是精确的精确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。4.四次多项式四次多项式（1）检验检验(x,y)是否满足双调和方程是否满足双调和方程（2）代入：代入：得得可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3）应力分量：应力分量：应力分量为应力分量为 x、y 的二次函数。的二次函数。（4）特例：特例：（须满足：（须满足：a+e=0）总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质）（1）多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。多项式多项式次数次数 n 4 时，则系数时，则系数须满足须满足一定条件，才能满足一定条件，才能满足 。多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于一次多项式，对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；任意应力函数任意应力函数(x,y)上加上或减去一个上加上或减去一个一次多项式一次多项式，对应力无影响。，对应力无影响。总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质）二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，即全部应力为常量；三三次多项式次多项式，对应于，对应于线性分布应力线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数(x,y)的方法的方法 逆解法（只能逆解法（只能解决简单解决简单直线应力边界直线应力边界问题）。问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节，本节说明如何由说明如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？问题：问题：3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyl1hMM1.形变分量与位移分量形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量）形变分量(a)将式（将式（a）代入得：）代入得：(b)（2）位移分量）位移分量将式（将式（b）代入几何方程得：）代入几何方程得：(c)（2）位移分量）位移分量(c)将式（将式（c）前两式积分，得：）前两式积分，得：(d)将式将式(d)代入代入(c)中第三式，得：中第三式，得：式中：式中：为待定函数。为待定函数。整理得：整理得：（仅为（仅为 x 的函数）的函数）（仅为（仅为 y 的函数）的函数）要使上式成立，须有要使上式成立，须有(e)式中：式中：为常数。为常数。积分上式，得积分上式，得将上式代入式（将上式代入式（d），得），得(f)（1）(f)讨论：讨论：式中：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。当当 x=x0=常数常数（2）位移分量）位移分量xyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：说明：同一截面上的各铅垂同一截面上的各铅垂线段转角相同线段转角相同。横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成的假设成立立。（2）将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即率相同。即 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程2.位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支(f)其边界条件：其边界条件：将其代入将其代入(f)式，有式，有将其代回将其代回(f)式，有式，有(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：与材力中结果相同与材力中结果相同（2）悬臂梁）悬臂梁(f)边界条件边界条件h/2h/2由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：边界条件改写为：（中点不动）（中点不动）（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）代入式（代入式（f），有），有可求得：可求得：(3-4)h/2h/2挠曲线方程：挠曲线方程：与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同说明：说明：（1）求位移的过程：求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：若取固定端边界条件为：h/2h/2（中点不动）（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）得到：得到：求得：求得：此结果与前面情形相同。此结果与前面情形相同。（为什么？为什么？）（2）然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：（1）先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。问题）。(2-27)按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的方法：按应力求解平面问题的方法：逆逆解解法法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（假设各种满足相容方程（2-27）的）的(x,y)的形式；的形式；（2）然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系数）；定系数）；（3）再利用应力边界条件式（再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数），来考察这些应力函数(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数数(x,y)可以求解什么问题。可以求解什么问题。（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y)的形式；的形式；（3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法数理方程中分离变量法。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）将已求得的应力分量将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量代入物理方程，求得应变分量将应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷要点要点 用用半逆解法半逆解法求解梁、长板类平面问题。求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数的确定应力函数的确定(1)分析：分析：主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；主要由剪力引起；主要由剪力引起；由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q=常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。推得：推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数(3)由由 确定：确定：代入相容方程：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：对前两个方程积分：(c)此处略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项对第三个方程得：对第三个方程得：积分得：积分得：(d)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将将(c)(d)代入代入(b)，有，有(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常数项中的一次项和常数项式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。(e)2.应力分量的确定应力分量的确定(f)(g)(h)3.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用(f)(g)(h)3.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：x 的偶函数的偶函数 x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：xyllqlql1yzh/2h/2q（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）：由此解得：由此解得：代入应力公式代入应力公式xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 N=0；弯矩弯矩 M=0；剪力剪力 Q=ql；(i)(j)(k)可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：截面上的应力分布：三次抛物线三次抛物线4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1,截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：弯矩：弯矩：剪力：剪力：将其代入式将其代入式(p)，有，有（3-6）xyllqlql1yzh/2h/2q4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较xyllqlql1yzh/2h/2q比较，得：比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h/l1，该，该项误差很小，可略；当项误差很小，可略；当 h/l较大时，较大时，须修正。须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。中不考虑。（3）与材力中相同。与材力中相同。注意：注意：按式（按式（3-6），梁的左右），梁的左右边界存在水平面力：边界存在水平面力：说明式（说明式（3-6）在两端不）在两端不适用。适用。xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）解题步骤小结：解题步骤小结：（1）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计（特点（面力分布规律、对称性等），估计（）的变化形式。）的变化形式。（2）由由 与应力函数与应力函数 的关系的关系式（式（2-26），求得应力函数），求得应力函数 的具体形的具体形式（具有待定函数）。式（具有待定函数）。用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形长板梁、矩形长板类弹性力学平面类弹性力学平面问题的问题的基本步骤基本步骤：解题步骤小结：解题步骤小结：（3）将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容代入相容方程：方程：确定确定 中的待定函数形中的待定函数形式。式。（4）由由 与应力函数与应力函数 的关系的关系式（式（2-26），求得应力分量），求得应力分量 。（5）由边界条件确定由边界条件确定 中的待定常中的待定常数。数。用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形长板梁、矩形长板类弹性力学平面类弹性力学平面问题的问题的基本步骤基本步骤：应力函数法求解平面问题的基本步骤：应力函数法求解平面问题的基本步骤：（1）(2-27)（2）然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。求解方法：求解方法：逆逆解解法法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（假设各种满足相容方程（2-27）的）的(x,y)的形式；的形式；（2）然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系数）；定系数）；（3）再利用应力边界条件式（再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数），来考察这些应力函数(x,y)对对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求可以求解什么问题。解什么问题。半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。数理方程中分离变量法。（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的的关系及关系及 ，求，求出出(x,y)的形式；的形式；（3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）将已求得的应力分量将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量代入物理方程，求得应变分量将应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。1.应力函数的确定应力函数的确定(1)分析：分析：主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；主要由剪力引起；主要由剪力引起；由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q=常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。推得：推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q(e)xyllqlql1yzh/2h/2q2.应力分量的确定应力分量的确定(f)(g(g)(h)3.由边界条件确定待定常数由边界条件确定待定常数xyllqlql1yzh/2h/2q附：附：应力函数确定的应力函数确定的“材料力学方法材料力学方法”要点：要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。应力分量的函数形式。适用性：适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：应力函数常可表示为：设法由边界面力先确定设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其其中之一，然后将其代入代入 确定另外一个函数。确定另外一个函数。材力中，应力分量与梁内力的关系为：材力中，应力分量与梁内力的关系为：式中：式中：M(x)弯矩方程；弯矩方程；Q(x)剪力方程。剪力方程。当有横向分布力当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，同时，横向分布力同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力的挤压作用时，对轴向应力 也也产生影响。产生影响。应力分量与梁内力的关系可表示为：应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致考虑挤压应力影响导致然后由：然后由：确定应力函数确定应力函数 的具体形式。的具体形式。例：例：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：常数。求：应力函数应力函数 及梁内应力。及梁内应力。解：解：(1)应力函数的确定应力函数的确定xyOblxQM取任意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图：取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假设：（a）f(y)为待定函数为待定函数由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有：（b）对对 x 积分一次，有：积分一次，有：对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有：其中：其中：（c）（c）由由 确定待定函数：确定待定函数：（d）要使上式对任意的要使上式对任意的x，y成立，有成立，有（e）（f）由式（由式（e）求得）求得（g）由式（由式（f）得）得（h）（i）积分式（积分式（h）和（）和（i）得）得（j）（k）xyOblxQM(l)包含包含9个待定常数，由边界条件确定。个待定常数，由边界条件确定。(2)应力分量的确定应力分量的确定(m)(3)利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数xyOblxQM(3)利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数(o)代入可确定常数为：代入可确定常数为：代入式（代入式（m）得）得xyOblxQM注：注：也可利用也可利用 M（x）=0，考虑，考虑进行分析。此时有：进行分析。此时有：为待定函数，由相容方程确定。为待定函数，由相容方程确定。xyOblxQMllqlql1yzh/2h/2q剪力：剪力：可假设剪应力：可假设剪应力：3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力要点要点半逆解法半逆解法（因次或量纲分析法）（因次或量纲分析法）xyO问题的提法：问题的提法：楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：（水的容重）；（水的容重）；自重作用：自重作用：（楔形体的容重）；（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 。1.应力函数及应力分量应力函数及应力分量(1)分析：分析：(a)的量纲为：的量纲为：的形式应为：的形式应为：的线性组合。的线性组合。的量纲为：的量纲为：(b)由由 推理得：推理得：应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：xyO(2)应力分量应力分量考虑到：考虑到：X=0，Y=（常体力）（常体力）(a)显然，上述应力函数满足相容方程。显然，上述应力函数满足相容方程。2.边界条件的利用边界条件的利用(1)x=0 （应力边界）：（应力边界）：代入式（代入式（a），则应力分量为：），则应力分量为：xyON(b)(2)（应力边界）：（应力边界）：其中：其中：将将(b)代入，有代入，有代入，可求得：代入，可求得：xyO(b)代入式（代入式（b），有：），有：(3-7)李维（李维（Levy）解答）解答沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布与材力结果比较：与材力结果比较：沿水平方向不变，在材力中无法求得。沿水平方向不变，在材力中无法求得。沿水平方向线性分布，与材力中沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公偏心受压公式式算得结果相同。算得结果相同。沿水平方向沿水平方向线性分布线性分布，材力中为，材力中为抛物线分布抛物线分布。(3-7)李维（李维（Levy）解答）解答xyO沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布结果的适用性：结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再当坝的横截面变化时，不再为为平面应变问题平面应变问题，其结果误，其结果误差较大。差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际变形。而实际坝高有限坝高有限，底部，底部与基础相连，有与基础相连，有地基约束地基约束，故，故底部处结果误差较大底部处结果误差较大。（3）实际坝顶实际坝顶非尖顶非尖顶，坝顶处有其它，坝顶处有其它载荷，故载荷，故坝顶处结果误差较大坝顶处结果误差较大。三角形重力坝的精确分析，常借助于三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法有限元数值方法求解。求解。工程应用：工程应用：求使坝稳定时的角度求使坝稳定时的角度 ，称为，称为安息角安息角。因次分析法（量纲分析法）：因次分析法（量纲分析法）：xyO楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：（水的溶重）；（水的溶重）；自重作用：自重作用：（楔形体的溶重）；（楔形体的溶重）；求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 。分析思路：分析思路：(a)的量纲为：的量纲为：的形式应为：的形式应为：的线性组合。的线性组合。的量纲为：的量纲为：(b)由由 推理得：推理得：应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答一、多项式解答一、多项式解答逆解法逆解法二、梁、长板类弹性体应力函数方法二、梁、长板类弹性体应力函数方法应力分量与梁内力的关系可表示为：应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致考虑挤压应力影响导致然后由：然后由：确定应力函数确定应力函数 的具体形式。的具体形式。三、三角形板、楔形体的求解方法三、三角形板、楔形体的求解方法因次分析法（量纲分析法）：因次分析法（量纲分析法）：xyO楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：（水的溶重）；（水的溶重）；自重作用：自重作用：（楔形体的溶重）；（楔形体的溶重）；分析思路：分析思路：(a)的量纲为：的量纲为：的形式应为：的形式应为：的线性组合。的线性组合。的量纲为：的量纲为：(b)由由 推理得：推理得：应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：例：例：图示矩形板，长为图示矩形板，长为 l，高为，高为 h，体力不计，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中么问题。式中k、q为常数。为常数。xyOlh解：解：(1)应力分量：应力分量：边界条件：边界条件：显然，上下边界无面力作用。显然，上下边界无面力作用。上下边界上下边界(2)xyOlh左边界左边界k右边界右边界kkl结论：结论：可解决悬臂梁左端可解决悬臂梁左端受集中力问题。受集中力问题。例：例：图示矩形截面简支梁，长为图示矩形截面简支梁，长为 l，高为，高为 h，受，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。应力分布。解：解：（1）应力函数形式的确定）应力函数形式的确定梁截面上弯矩和剪力为：梁截面上弯矩和剪力为：由材料力学方法可确定应力分量的由材料力学方法可确定应力分量的分离变量分离变量形式：形式：取应力分量取应力分量 分析，分析，取应力分量取应力分量 与应力函数的关系：与应力函数的关系：对此式积分：对此式积分：对此式积分：对此式积分：为待定函数为待定函数（2）由相容方程确定待定函数）由相容方程确定待定函数代入代入要使上述方程对任意的要使上述方程对任意的 x 成立，有成立，有(a)(b)(c)积分式（积分式（a），得），得将上式代入（将上式代入（b）积分，得）积分，得积分式（积分式（c），得），得(d)(e)(f)将求得的将求得的代入应力函数，有代入应力函数，有（3）计算应力分量）计算应力分量(g)(h)（3）利用边界条件确定待定常数）利用边界条件确定待定常数上边界：上边界：(i)(j)(k)下边界：下边界：(l)(m)(n)左边界：左边界：左边界：左边界：(o)(p)(q)(r)(s)(t)联立求解式（联立求解式（i）（t）,可得具体的可得具体的应力分量。应力分量。注：注：位移边界条件转化为应力边界条件。位移边界条件转化为应力边界条件。（1）（2）试按材料力学中确定应力的方法，写出试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）数）课堂练习：课堂练习：3-5 3-5 级数式解答级数式解答问题的提出问题的提出多项式解答：多项式解答：只能求解载荷只能求解载荷简单简单，且，且连续分布连续分布的问题。的问题。不能求解载荷不能求解载荷复杂复杂，且，且间断分布间断分布的问题。的问题。级数式解答：级数式解答：其基本思路是将应力函数其基本思路是将应力函数 分解成关于分解成关于 xy 的的两个单变量函数的乘积。两个单变量函数的乘积。分离分离变量法。量法。（属逆解法）（属逆解法）1.级数形式的应力函数级数形式的应力函数假设：假设：(a)式中：式中：为任意常数，其量纲为为任意常数，其量纲为 ,为为 y 的任意（待定）函数。的任意（待定）函数。将其代入将其代入 ：载荷载荷复杂复杂，且，且间断分布间断分布的问题，可由的问题，可由级数式级数式解答解决。解答解决。有：有：(b)解上述方程，得解上述方程，得其中：其中：A、B、C、D 都是任意常数，都是任意常数，将其代入应力函数将其代入应力函数 ，得，得(c)再取如下应力函数：再取如下应力函数：式中：式中：也为任意常数也为任意常数,为为 y 的任意（待定）函数。的任意（待定）函数。类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：(d)显然，将式显然，将式(c)与与(d)相加，仍为可作为应力函数：相加，仍为可作为应力函数：(e)取取 和和 的一系列值，即取：的一系列值，即取：将由此构成的将由此构成的 加起来，有加起来，有(3-8)显然，式显然，式(3-8)满足相容方程，可作为应力函数。且在其上满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加若干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。再加若干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。2.级数形式的应力分量级数形式的应力分量将上述应力函数将上述应力函数 代入应力分量表达式（代入应力分量表达式（2-26），有），有(3-9)式（式（3-9）满足相容方程、平衡方程，）满足相容方程、平衡方程，只要适当选取：只要适当选取：使其满足边界条件，即为某问题的解。使其满足边界条件，即为某问题的解。3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷边界条件边界条件1.边界条件的级数表示边界条件的级数表示上下边界：上下边界：左右边界：左右边界：（a）（b）（c）（d）由边界条件（由边界条件（c），得），得此时应力分量式（此时应力分量式（3-9）简化为）简化为（3-10）将此应力分量式（将此应力分量式（3-10）代入边界条件（）代入边界条件（b），有），有（e）（f）（b）（i）（j）（g）（a）（h）将此应力分量式（将此应力分量式（3-10）代入边界条件（）代入边界条件（a），有），有将将在区间（在区间（0，l）上展为和等式左边相同的级数，即）上展为和等式左边相同的级数，即的级数，由的级数，由Fourier级数的展开法则，有级数的展开法则，有（3-11）比较式（比较式（3-11）与式（）与式（g）和（）和（h）两边的系数，有）两边的系数，有（k）（l）由式由式 (i)、(j)、(k)、(l)可求得全部和系数：可求得全部和系数：，代入式，代入式（3-10）求得应力分量。）求得应力分量。说明：说明：（1）边界条件（边界条件（d）在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。）在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。（2）级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。等。（3）结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结果误差也较大。果误差也较大。弹性力学平面问题的基本理论弹性力学平面问题的基本理论小结小结一、两类平面问题及其特征一、两类平面问题及其特征名 称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位 移应 变应 力外 力几何形状体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不变化。向不变化。z 方向的尺寸远方向的尺寸远小小于板面内的尺于板面内的尺寸（等厚度薄平板）寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远方向的尺寸远大大于于xoy平面平面内的尺寸（等截面长柱体）内的尺寸（等截面长柱体）二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2-2）（假定：假定：小变形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（2）几何方程）几何方程（2-9）（假定：假定：小变形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（3）物理方程）物理方程(2-15)（平面应力）（平面应力）(2-16)（平面应变）（平面应变）（假定：假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）三、平面问题的基本求解方法及基本方程三、平面问题的基本求解方法及基本方程思路：思路：（1）按位移求解）按位移求解以位移以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。物理方程求出其余未知量。基本方程：基本方程：（2-20）位移表示的平位移表示的平衡方程衡方程（2-21）（2-17）位移表示的应位移表示的应力边界条件力边界条件位移边界条件位移边界条件（2）按应力求解）按应力求解思路：思路：以应力以应力 为基本未知量，将基本方程用只有为基本未知量，将基本方程用只有 的的3个方程，从中求出个方程，从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。其余未知量。基本方程：基本方程：（2-2）平衡方程平衡方程（2-23）相容方程相容方程基本控制方程基本控制方程（平面应力情形）（平面应力情形）（2-17）（2-18）位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件边值条件边值条件（3）两类平面问题物理方程的互相转换：）两类平面问题物理方程的互相转换：平面平面应力应力问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应力应力问题问题（4）边界条件）边界条件（2-17）（2-18）位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件（5）按应力求解的）按应力求解的应力函数应力函数法基本方程：法基本方程：(2-27)(2-26)（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。）对多连体问题，还须满足位移单值条件。（2-17）（2-18）位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应力分量的应力分量（对常体力情形）（对常体力情形）说明：说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（2-24）(平面应力情形平面应力情形)(平面应变情形平面应变情形)（2-25）(2-27)形变表示的形变表示的相容方程相容方程应力表示的应力表示的相容方程相容方程应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程(基本形式基本形式)(常体力情形常体力情形)适用情形：适用情形：小变形、任意小变形、任意弹塑弹塑性材料性材料。(常体力情形常体力情形)五、边界条件与圣维南原理五、边界条件与圣维南原理位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件圣维南原理的要点：圣维南原理的要点：（1）小部分边界（次要边界）；）小部分边界（次要边界）；（2）静力等效；）静力等效；（3）结果影响范围：）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。近处有影响，远处影响不大。圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：（1）面力分布复杂的边界（）面力分布复杂的边界（次要边界次要边界）如：）如：集中力，集中力偶等；集中力，集中力偶等；（2）位移边界（）位移边界（次要边界次要边界）；）；六、其它六、其它（1）常体力情况下简化）常体力情况下简化将将体力体力转化为等效的转化为等效的面力面力：（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。最小剪应力计算。（3）任意方向的正应变计算。）任意方向的正应变计算。(1)图示矩形板，长为图示矩形板，长为 l，高为，高为 h，体力不计，试证以下函数可作为应力函，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中数，并指出能解决什么问题。式中q为常数。为常数。xyOlh作作 业业作作 业业习题：习题：3-1，3 2，3 3，3-4例：例：试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。上边界：上边界：下边界：下边界：N代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有右边界：右边界：由圣维南原理，有由圣维南原理，有
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