95空间向量及其运算课件

第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)9.5空间向量及其运算知识诠释思维发散第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)1.空间向量的概念:如同平面向量一样,在空间中,我们把具有大小和方向的量叫做向量.也用有向线段表示空间向量,方向相同,且长度相等的有向线段表示同一向量或相等的向量.2.共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b0),ab的充要条件是存在唯一实数,使a=b.3.共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与a、b共面的充要条件是存在唯一一组实数x,y,使p=xa+yb.一、空间向量的基本知识第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)4.空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对于空间任一向量p,存在唯一一组实数x,y,z,使p=xa+yb+zc.由空间向量基本定理可知,任意空间不共面的三个向量构成空间的一个基底,此定理是空间向量分解的基础.5.空间两向量的夹角:已知两个非零向量a、b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则AOB叫做向量a与b的夹角,记作,且规定0.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)6.向量的数量积:已知空间两个非零向量a、b,则|a|b|叫做向量a、b的数量积,记作ab,即ab=|a|b|cos.规定:零向量与任何向量的数量积为0.对于非零向量a、b,有:(1)cos=,(2)|a|2=aa=a2,第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(3)abab=0.向量的数量积适合如下运算律:(1)交换律:ab=ba,(2)结合律:(a)b=(ab),(3)分配律:a(b+c)=ab+ac.二、空间直角坐标系及空间两点间的距离第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)1.空间直角坐标系:以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴,y轴,z轴.这时建立了空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫做坐标原点,x轴,y轴,z轴统称坐标轴.由坐标轴确定的平面叫做坐标平面.建系时,一般建立右手直角坐标系,右手直角坐标系的含义是:当右手拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向时,中指一定指向z轴的正方向;第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)空间一点M的坐标为有序实数组(x,y,z),记作M(x,y,z),其中x叫做M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.2.空间两点间的距离公式:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=.特别地,点A(x,y,z)与原点间的距离公式为|OA|=.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)1.若点A(x2+4,4-y,1+2z)关于y轴的对称点是B(-4x,9,7-z),则x,y,z的值依次为()(A)1,-4,9.(B)2,-5,-8.(C)2,5,8.(D)-2,-5,8.【解析】【答案】B第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()(A)1.(B).(C).(D).【解析】ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),由题意可得,(k-1,k,2)(3,2,-2)=3k-3+2k-4=0,即k=.【答案】D第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)3.如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一直线上,则()(A)a=3,b=-3.(B)a=6,b=-1.(C)a=3,b=2.(D)a=-2,b=1.【解析】设=(a-1,-2,b+4)=(1,-1,3)【答案】C第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)核心突围技能聚合题型1空间向量的表示与运算第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例1在底面是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点,试用a、b、c表示以下各向量:(1);(2);(3)+.【分析】要表示出所求各向量,必须把所求各向量放在图形中,合理利用向量加法和减法法则,与已知三个向量之间建立关系才能进行求解.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】(1)P是C1D1的中点,=+=a+=a+c+=a+c+b.(2)N是BC的中点,=+=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.(3)M是AA1的中点,=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)又=+=+=+=c+a,+=(a+b+c)+(c+a)=a+b+c.【点评】用已知向量(通常为一组基底)表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导,正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练1在平行四边形ABCD中,已知AB=AC=2,ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成30角,则B、D两点间的距离为.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】如图,因为ACD=90,所以=0,=0,又AB与CD成30,设向量与的夹角为,=30或150.又=+,=(+)2=+2+2+2=+2=22+22+22+222cos,当=30时,|=2,当=150时,|=2.【答案】2或2第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例2在底面是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.求证:平面E-FG平面AB1C.【分析】对于面面平行的证明,可以转化为两平面内有两条相交直线分别平行,对于观察能力强的同学可以充分利用三角形的中位线得到线线平行;对于观察能力稍弱的同学,可以借助向量运算,避免添加辅助线.题型2利用空间向量证明立体几何题第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】设=a,=b,=c,则=+=(a+b),=a+b=2,EGAC.又=+=(b-c),=+=b-c=2,EFB1C.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)又EG与EF相交,AC与B1C相交,平面EFG平面AB1C.【点评】合理选择基底,利用向量共线证明直线平行,从而进一步证明平面与平面平行.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点.(1)证明:D1FEG;(2)证明:D1F平面AEG.【解析】以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体AC1的棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),E(a,a,),F(a,0),G(,a,0).第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(1)=(a,-a),=(-,0,-).=a(-)+0+(-a)(-)=0,D1FEG.(2)=(0,a,),=a0+a-a=0,D1FAE.由(1)知D1FEG且EGAE=E,D1F平面AEG.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例3设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算3a-2b,ab,a与b所成角的余弦值,并确定,的关系,使a+b与z轴垂直.【分析】准确把握向量运算规则,仔细运算即可.【解析】由已知3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),ab=(3,5,-4)(2,1,8)=32+51+(-4)8=-21,|a|=5,题型3空间向量的坐标运算第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)|b|=,cos=-.由(a+b)(0,0,1)=-4+8=0知,只要满足=2,a+b与z轴垂直.【点评】本题旨在考查向量的线性运算,数量积运算,向量的夹角余弦公式.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练3已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.【解析】(1)x=2,y=-4,z=2.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),c=(3,-2,2).(2)由(1)知,a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为=-.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例4在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解下列问题:(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值;(2)作O1DAC于D,求点O1到点D的距离.【分析】根据向量的夹角余弦公式,求出点的坐标,然后逐步仔细运算.题型4坐标运算的应用第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.(1)由题意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).=(-2,0,2),=(-1,0,-2),cos=-,AO1与B1E所成角的余弦值为.(2)由题意得,C(0,3,0),设D(x,y,0),第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)=(x,y,-2),=(x-2,y,0),=(-2,3,0),解得D(,0),|O1D|=.【点评】本题重点考查向量夹角余弦公式,两点间的距离公式,应熟练运用这两个公式,计算时,也应认真仔细,防止“一着不慎,满盘皆输”.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练4如图,在空间四边形ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,E是AC的中点,向量与的夹角的余弦值为-,求BD的长度.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由题意有B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),则E(1,1,0).设D(0,0,z)(z0),则=(1,1,0),=(0,-2,z),第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)=|cos=cos=-2,cos=,又向量和夹角的余弦值为-,=-,解之得z=3,即BD=3,所以BD的长度为3.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)1.空间向量的表示与运算,一方面继承了平面向量的相关概念,另一方面也有利于解决立体几何相关的问题,应扎实掌握.2.利用空间向量证明立体几何题,充分体现了向量这个工具的作用.3.把向量在坐标系中坐标化,进一步规范了运算,计算更加简单.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例已知正四面体A-BCD的棱长为1,E为BD的中点,F为AC的中点,试求出线段EF的长.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)轴的正半轴建立空间直角坐标系.则由已知得:=+=-+=-(+)+=-+,=(-,-,),【错解】如图,以C为原点,、分别为x轴、y轴、z第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)|=.【剖析】平面上,只有当基底两两垂直时,才好这样表示,并且要弄清=(-,-,)=-+,而这三者之间的夹角是60,而非90,这也是导致|=的错误原因.【正解】|=.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)基础角度思路一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)1.(基础再现)空间的任意三个向量a,b,3a-2b,它们一定是()(A)共线向量.(B)共面向量.(C)不共面向量.(D)既不共线也不共面向量.【解析】如果a,b是不共线的两个向量,由共面向量定理知,a,b,3a-2b共面;若a,b共线,则a,b,3a-2b共线,当然也共面,故选B.【答案】B第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)2.(基础再现)有4个命题:若p=xa+yb,则p与a、b共面;若p与a、b共面,则p=xa+yb;若=x+y,则P、M、A、B共面;若P、M、A、B共面,则=x +y .其中真命题的个数是()第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【解析】命题正确,命题不正确.因命题中若ab,则p不能用a,b表示,命题中,若M、A、B三点共线,则也不能用、表示.故选B.【答案】B第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)3.(视角拓展)如图所示,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC等于()(A)6.(B)6.(C)12.(D)144.【解析】因为=+,所以=+2=36+36+36+236cos60=144.所以|=12.故选C.【答案】C第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)4.(视角拓展)若四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为()(A)(,4,-1).(B)(2,3,1).(C)(-3,1,5).(D)(5,13,-3).【解析】由=,可求得D(5,13,-3),故答案选D.【答案】D第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)5.(高度提升)设两向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),x1,y1,z1与x2,y2,z2均不为零,如果(x1+x2)2+(y1+y2)2+(z1+z2)2=+成立,那么向量a与b的关系是()(A)相交.(B)平行.(C)垂直.(D)都有可能.【解析】从所给条件可以看出左边是(a+b)2,右边表示的是a2+b2,即(a+b)2=a2+b2,由向量的运算知,2ab=0,a与b是垂直的.【答案】C第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)6.(视角拓展)在ABC中,已知=(2,4,0),=(-1,3,0),则ABC=.【解析】因为=(-2,-4,0),=(-1,3,0),所以=2-12+0=-10,|=2,|=,第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)所以cos=-.所以ABC=135.【答案】135第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)7.(视角拓展)已知P,A,B,C四点共面且对于空间任一点O都有=2+,则=.【解析】因为P、A、B、C四点共面,所以=x+y +z ,且x+y+z=1,所以2+=1,得=-.【答案】-第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)8.(视角拓展)在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=(用a,b,c表示).【解析】如图,由三角形法则,易得=-=b-a,第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)=-=c-b,=(c-b),=+=b+c-a,=b+c-a,=+=a+b+c-a=a+b+c.【答案】a+b+c第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)9.(高度提升)设O是坐标原点,已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为.【解析】设Q(a,a,2a),则=(1-a,2-a,3-2a),=(2-a,1-a,2-2a),即=(1-a)(2-a)+(2-a)(1-a)+(3-2a)(2-2a)=6a2-16a+10=6(a-)2-,当a=时,有最小值,故Q(,).【答案】(,)第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)10.(高度提升)一个多面体的三视图及直观图如图所示,M,N分别是A1B,B1C1的中点.试建立空间直角坐标系,写出直观图中各点的坐标,并求直线MN与A1C1所成角的余弦值.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】根据三视图及所给的数值可得AB=BC=a,AC=a,所以ABC=90,即ABBC.又B1B平面ABC,分别以,为x轴,y轴,z轴建立空间第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)直角坐标系如图所示,则B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,a,0),A1(0,a,a),B1(0,0,a),C1(a,0,a),M(0,),N(,0,a),=(,-,),=(a,0,a)-(0,a,a)=(a,-a,0).设直线MN与A1C1所成角为,第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)cos=,直线MN与A1C1所成角的余弦值为.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)11.(高度提升)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以、为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=且a分别与、垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),cosA=,第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)sinA=,S=|sinA=7.即以、为边的平行四边形的面积为7.(2)设a=(x,y,z),由|a|=,a,a可得第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)或a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)12.(能力综合)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为D1D、BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,应用空间向量方法求解下列问题.(1)求证:EFB1C;(2)求EF与C1G所成的角的余弦值;(3)求FH的长.第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,D为坐标原点,则有E(0,0,)、F(,0)、C(0,1,0)、C1(0,1,1)、B1(1,1,1)、G(0,0).(1)=(,0)-(0,0,)=(,-),=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1).第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)=(-1)+0+(-)(-1)=0,即EFB1C.(2)=(0,0)-(0,1,1)=(0,-,-1).|=.又=0+(-)+(-)(-1)=,|=,第九章第九章 9.5 空间向量及其运算空间向量及其运算高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)cos=,即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.(3)F(,0)、H(0,),=(-,),|=.