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返回返回上页上页下页下页目录目录第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 第九章第九章（Surface integral of coordinate)一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算二、对坐标的曲面积分的计算三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系四、小结与思考练习四、小结与思考练习5/4/20241返回返回上页上页下页下页目录目录曲面的侧曲面的侧 设设连通曲面连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面上到处都有连续变动的切平面 (或法或法 线线),曲面在其上每一点处的法线有曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时定其中一个指向为正方向时,另一个另一个指向就是负方指向就是负方 向向.又又设设 为为 S 上任一点上任一点,L为为 S上上任一经过点任一经过点且不超出且不超出 S 边界的闭边界的闭曲线曲线.当当 S 上的动点上的动点 M 从从 出发沿出发沿 L 连续移动一周而回到连续移动一周而回到 时时,5/4/20242返回返回上页上页下页下页目录目录否则否则,若若 由某一点由某一点 出发出发,沿沿 S 上某一封闭曲线上某一封闭曲线 回到回到 时时,其法其法线方向与出发时的方向相反线方向与出发时的方向相反,则称则称 S 是单侧曲面是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯一个典型例子是默比乌斯(M bius)带带.它的构造方它的构造方 法如下法如下:取一矩形长纸条取一矩形长纸条ABCD(如图如图22-4(a),将其将其 一端扭转一端扭转 后与另一端粘合在一起后与另一端粘合在一起(即让即让 A 与与 C 重合重合,B 与与 D 重合重合,如图如图22-4(b)所示所示).出发时出发时 M 与与 取相同的法线方向取相同的法线方向,而回来时仍而回来时仍 保持原来的法线方向不变保持原来的法线方向不变,则称该则称该曲面曲面 S 是双侧的是双侧的.如果有如下特如果有如下特征征:5/4/20243返回返回上页上页下页下页目录目录默比乌斯默比乌斯(Mbius,A.F.17901868,德国德国)5/4/20244返回返回上页上页下页下页目录目录通常由通常由 所表示的曲面都是所表示的曲面都是双侧曲面双侧曲面,其法其法 线方向与线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧上侧,另一侧称为另一侧称为下侧下侧.当当 S 为封闭曲面时为封闭曲面时,法线方向朝外法线方向朝外 的一侧称为的一侧称为外侧，外侧，另一侧称为另一侧称为内侧内侧.习惯上把习惯上把上侧上侧 作为正侧作为正侧,下侧作为负侧下侧作为负侧;又把封闭曲面的又把封闭曲面的外侧作为外侧作为 正侧正侧,内侧作为负侧内侧作为负侧.曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.5/4/20245返回返回上页上页下页下页目录目录 曲面分类曲面分类 双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外曲面分内侧和外侧侧曲面分左侧和右曲面分左侧和右侧侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型)5/4/20246返回返回上页上页下页下页目录目录曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面5/4/20247返回返回上页上页下页下页目录目录莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放5/4/20248返回返回上页上页下页下页目录目录曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:一、一、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质1.有向曲面及其在坐标面上的投影概念有向曲面及其在坐标面上的投影概念以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的.5/4/202425返回返回上页上页下页下页目录目录的投影区域的面积的投影区域的面积,它们的符号由它们的符号由 的方向来确定的方向来确定:分别表示分别表示 在三个坐标面上在三个坐标面上 5/4/202426返回返回上页上页下页下页目录目录2.流向曲面一侧的流量计算流向曲面一侧的流量计算5/4/202427返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202428返回返回上页上页下页下页目录目录1.分割分割则该点流速为则该点流速为 .法向量为法向量为 .5/4/202429返回返回上页上页下页下页目录目录2.求和求和5/4/202430返回返回上页上页下页下页目录目录3.取极限取极限5/4/202431返回返回上页上页下页下页目录目录3.对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念5/4/202432返回返回上页上页下页下页目录目录被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义5/4/202433返回返回上页上页下页下页目录目录存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:5/4/202434返回返回上页上页下页下页目录目录4.对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质5/4/202435返回返回上页上页下页下页目录目录二、对坐标的曲面积分的计算二、对坐标的曲面积分的计算5/4/202436返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202437返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202438返回返回上页上页下页下页目录目录注意注意:第二型的曲面积分第二型的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.“一投一投,二代二代,三定号三定号”5/4/202439返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202440返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202441返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202442返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202443返回返回上页上页下页下页目录目录例例3.计算计算 其中其中 S 是由平面是由平面 x=0,y=0,z=0 和和 x+y+z=1所围的四面体表面的外侧所围的四面体表面的外侧.解解设设 S1 是是取上侧取上侧 S2 是是S 的底部的底部取下侧取下侧在在 xy 坐标面上的投影区域为坐标面上的投影区域为 Dxy 先计算积分先计算积分5/4/202444返回返回上页上页下页下页目录目录由对称性由对称性5/4/202445返回返回上页上页下页下页目录目录三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系5/4/202446返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202447返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202448返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202449返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202450返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202451返回返回上页上页下页下页目录目录解解5/4/202452返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202453返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.曲面的侧曲面的侧b.“一投，二代，三定号一投，二代，三定号”5/4/202454返回返回上页上页下页下页目录目录作业作业习习 题题 9-4 P204 2(2)(3);35/4/202455返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习5/4/202456返回返回上页上页下页下页目录目录5/4/202457
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