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第二节第二节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、一、区域区域1.1.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为：记为：也可以写成：也可以写成：二元函数的定义域二元函数的定义域2.区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E,若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E=,则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点;若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P)既含既含 E中的内点中的内点则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 .也含也含E的外点的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于的边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对任意给定的若对任意给定的 ,点点P 的去心领域的去心领域内总有内总有E 中的点中的点,则称则称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E,也可以不属于也可以不属于 E(因为聚点可以为 E 的边界点）所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为 E 的的导集导集.D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的的 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是是连通连通的的;连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;。E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;折线相连折线相连,例如，在平面上在平面上开区域闭区域 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域.o 对区域对区域 D,的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界域有界域,否则称为否则称为无界域无界域.若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 3.n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的一个点，称为空间中的一个点，称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标.记作记作:即即:数数当所有坐标当所有坐标 时，时，称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作：记作：O.的的距离距离记作记作中点 a 的 邻域邻域为规定为规定为 与零元 O 的距离为二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式定义：定义：设非空点集设非空点集点集点集 D D 称为函数的称为函数的定义域定义域；数集：数集：称为函数的称为函数的值域值域 .映射映射称为定义在称为定义在D上的一元函数上的一元函数记作：记作：设非空点集设非空点集f 为某一对应规则为某一对应规则,则称对应规则则称对应规则 f 为定义在为定义在D上的上的二元函数二元函数，记作：记作：使对于每一个有序数组使对于每一个有序数组(x,y)都有唯一确定的实数都有唯一确定的实数z z与之对应，与之对应，定义：定义：其中，变量其中，变量 x,y 称为自变量；称为自变量；z 称为因变量；称为因变量；点集点集D称为函数的定义域，称为函数的定义域，也可以记为也可以记为D(f),设非空点集设非空点集f 为某一对应规则为某一对应规则,对于对于(x0,y0)所对应的所对应的z z值，记为：值，记为：定义：定义：或或称为当称为当 时，时，函数函数 的函数值的函数值 对于对于(x0,y0)所对应的所对应的z z值，记为：值，记为：或或称为当称为当 时，时，函数函数 的函数值的函数值.全体函数值的集合全体函数值的集合称为函数的值域，称为函数的值域，记为：记为：Z 或或 Z(f).例如例如,二元函数二元函数:定义域为定义域为:圆域图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.说明说明:二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .例：求函数的定义域例：求函数的定义域解：要是函数有意义，必须满足：解：要是函数有意义，必须满足：3-32-2例：求函数的定义域例：求函数的定义域解：要是函数有意义，必须满足：解：要是函数有意义，必须满足：用两种不等式表示平面区域用两种不等式表示平面区域用两种不等式表示平面区域xyo用两种不等式表示平面区域D：直线 y=x，y=1，x=2 围成。用两种不等式表示平面区域用两种不等式表示平面区域D：三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设设 n 元函数元函数P0 是是 D 的聚点，的聚点，若存在常数若存在常数 A,对一切对一切记作记作:则称则称 A 为函数为函数 f 当当 时的极限时的极限.都有都有:对任意正数对任意正数 ,总存在正数总存在正数 ,当当 n=2 时时,记记二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：例1.设设求证：求证：证证:故总有要证 例2.设设求证：求证：证：证：故故总有要证 若当点若当点函数趋于不同值或有的极限不存在，函数趋于不同值或有的极限不存在，解解:设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于点(0,0),在点在点(0,0)的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.以以不同方式不同方式趋于趋于 时，时，例例3.讨论函数讨论函数例例4.求求解解:因而此函数定义域不包括 x,y 轴则故四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设设 n 元函数元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上连续上连续.如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 n 元函数元函数连续连续,例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)解解:原式原式例例5.求求例例6.求函数求函数的连续域的连续域.解解:内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P72 题 3;4思考与练习思考与练习解答提示:P11 题 2.称为二次齐次函数.P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域P12 题 8.间断点集P72 题 3.定义域P72 题 4.令 y=k x，若令,则 可见极限不存在备用题1.设求解法解法1 令1.设求解法解法2 令即2.是否存在？解：解：所以极限不存在.3.证明证明在全平面连续.证证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得 Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗 拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗
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