132“杨辉三角”与二项式系数的性质课件

第一章 计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数 的性质一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:一、新课引入一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过们先通过杨辉三角杨辉三角观察观察n为特殊值时，二项式系数为特殊值时，二项式系数有什么特点？有什么特点？杨辉三角杨辉三角九九章章算算术术杨杨辉辉杨辉三角杨辉三角详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表1“杨辉三角杨辉三角”的来历及规的来历及规律律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 第第5行行 1 5 5 1第第0行行1杨杨辉辉杨杨辉辉三三角角三三角角第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列。类似上面的表类似上面的表,早在我国南宋数学家早在我国南宋数学家杨辉杨辉12611261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里明了表里“一一”以外的每一个数都等于它肩上以外的每一个数都等于它肩上两个数的和两个数的和，杨辉指出这个方法出于，杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家算书，且我国北宋数学家贾宪贾宪（约公元（约公元1111世纪）世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于1111世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕帕斯卡斯卡（1623-16621623-1662）首先发现的，他们把这个表）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可见我国古代数，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的学的成就是非常值得中华民族自豪的.二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性质二项式系数的性质（1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 由由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。得最大值。可知，当可知，当 时，时，二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：这是组合总数公式这是组合总数公式 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，例题分析例题分析:例例1证明：证明：（1）(a+b)n 的展开式中的展开式中,各二项式系数各二项式系数 的和的和 启示：启示：在二项式定理中在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此可以取任意实数，因此我们可以通过我们可以通过对对a,b赋予一些特定的值，是解决二项赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法式有关问题的一种重要方法赋值法赋值法。令令a=b=1，则，则继续思考继续思考1:1:（2 2）试证明在试证明在(a+b)n的展开式中，奇数的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：即证：证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得 小结小结：赋值法赋值法在二项式定理中，在二项式定理中，常常对对a,b赋予一些特赋予一些特定的值定的值1，-1等来整体得到所求等来整体得到所求。例2 （赋值法）例2小结：小结：求奇次项求奇次项系数之和与系数之和与偶次项系数的和偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解可以先赋值，然后解方程组整体求解 1.1.当当n n 1010时常用杨辉三角处理二项式时常用杨辉三角处理二项式系数问题系数问题;2.2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值系数的对称性、增减性和最大值;3.3.常用赋值法解决二项式系数问题常用赋值法解决二项式系数问题.思思考考1 1求求证证:略证：由略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展，两边展开后比较开后比较xn的系数得：的系数得：再由再由 得得思考思考:求证：求证：证明：证明：倒序相加法倒序相加法思思考考2.在在(3x-2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项二项式系数最大的项式系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项;解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项.则则 即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为（3）因为系数为正的项为奇数项，故可）因为系数为正的项为奇数项，故可设第设第2r-1项系数最大。（以下同项系数最大。（以下同2）r=5.即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为 二项展开式中的二项式系数都是一些特二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意好，同时要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法，它是解决法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结小结