24线段的垂直平分线

2.4 线段的垂直平分线 如图，如图，A,BA,B表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在A,BA,B一侧的河岸边建一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置什么位置?A AB BC C 我们把垂直且平分一条线段的直线叫我们把垂直且平分一条线段的直线叫作作这条这条线段的垂直平分线线段的垂直平分线.如图，在线段如图，在线段AB的垂直平分线的垂直平分线l 上任上任取一点取一点P，连接，连接PA，PB，线段，线段PA，PB之之间有什么关系间有什么关系？探究探究探究探究 作关于直线作关于直线l 的轴反射的轴反射（即沿直线即沿直线l 对折对折），由于，由于l 是线段是线段AB的垂直平分线，因此点的垂直平分线，因此点A与点与点B重合重合.从从而线段而线段PA与线段与线段PB重合，于是重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl结论结论 线段垂直平分线上的点到线段两端线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：由此得出线段垂直平分线的性质定理：动脑筋动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段到线段AB两端的距离两端的距离PA与与PB相等，那么点相等，那么点P在线段在线段AB的垂直平分线上吗的垂直平分线上吗？（1）当点当点P在线段在线段AB上时，上时，因为因为PA=PB，所以点所以点P为线段为线段AB的中点，的中点，显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.ABP（2）当点当点P在线段在线段AB外时，如下图所示外时，如下图所示.因为因为PA=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.过顶点过顶点P作作PCAB，垂足为点，垂足为点C，从而底边从而底边AB上的高上的高PC也是底边也是底边AB上的中线上的中线.即即 PCAB，且，且AC=BC.因此直线因此直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.结论结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：例例 1、已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直的垂直平分线相交于点平分线相交于点O，连接，连接OA，OB，OC.求证：点求证：点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.举举例例证明证明 点点O在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，OA=OB.同理同理OB=OC.OA=OC.点点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC=5AB=AC=5，BC=4BC=4，ABAB的垂直平分线的垂直平分线DEDE分分别交别交ABAB、ACAC于点于点E,D,E,D,求求BCDBCD的周长的周长.解：解：DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线BD=ADBD=AD例例2：1.1.如图如图,已知已知ABAB是线段是线段CDCD的垂直平分线的垂直平分线,E E是是ABAB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,EC=7cm,那么那么ED=ED=cm;cm;如果如果ECD=60ECD=60,那么那么EDC=EDC=.E ED DA AB BC C7 760A AB BC CD DP P2.2.（义乌（义乌中考）中考）如如图，直，直线CDCD是是线段段ABAB的垂直平分的垂直平分线，P P为直直线CDCD上的一点，已知上的一点，已知线段段PA=5PA=5，则线段段PBPB的的长度度为 （）A A6 B6 B5 C5 C4 D4 D3 3【解析解析】选选B.B.根据线段垂直平分线的性质得根据线段垂直平分线的性质得PB=PA=5.PB=PA=5.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1 1、线段是轴对称图形，它的一条对称轴是线段、线段是轴对称图形，它的一条对称轴是线段的垂直平分线的垂直平分线.2 2、线段的垂直平分线的性质、线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.