高等测量平差-1

高等测量平差高等测量平差-1-1第一章 测量平差总论第一节 测量平差的基本概念一、测量平差问题 1、平差问题中的量例：如图，与三角形有关的量有 1）三个内角（3）2）三条边（3）3）三个点的坐标（6）4）三条边的正、反方位角（6）合计：18 个量 确定三角形形状、大小、位置需要6个量即18个量中只有6个函数独立的量起算数据观测值未知参数必要观测数多余观测数 武汉大学测绘学院 孙海燕2、平差的函数模型 平差的任务：1）求 消除矛盾（平差）2）评定精度（误差理论）：观测值个数 ，必要观测数 ，参数个数第一章 测量平差总论1、平差问题中的量：常量与 起算数据、（）武汉大学测绘学院 孙海燕内容：误差分布、精度指标、误差传播 方差-协方差阵，单位权方差因子，权，权阵 第一章 测量平差总论二、误差理论 武汉大学测绘学院 孙海燕 三、平差方法（求 的条件极值）1）条件平差（）2）附有参数的条件 平差（参数独立）3）间接平差（参数独立）4）附有限制条件的间接平差（）第一章 测量平差总论 武汉大学测绘学院 孙海燕 四、平差结果的精度评定 1）单位权方差因子 2）观测值函数的协因数阵第一章 测量平差总论 武汉大学测绘学院 孙海燕 一、附有限制条件的间接平差原理（）令 由 及函数模型得：第一章 测量平差总论第二节 参数平差原理总述 武汉大学测绘学院 孙海燕 二、间接平差原理（）令 ，考虑到误差方程，得：第一章 测量平差总论问题：1）函数模型是否正确？2）随机模型是否正确？3）是否永远成立？若 如何处理？高等测量平差高等测量平差广义测量平差广义测量平差 武汉大学测绘学院 孙海燕 三、序贯（逐次）平差原理（）设观测值为 ，且 利用 平差 第一章 测量平差总论利用 平差，法方程为 直到 的递推公式（动态问题的特例）武汉大学测绘学院 孙海燕 预备公式矩阵反演（或矩阵分块求逆）设第十二章 近代平差概论（平差基础）方法：求 武汉大学测绘学院 孙海燕第十二章 近代平差概论 武汉大学测绘学院 孙海燕第十二章 近代平差概论 武汉大学测绘学院 孙海燕第十二章 近代平差概论同理式中得矩阵反演公式，考虑到 武汉大学测绘学院 孙海燕第十二章 近代平差概论矩阵反演公式一般形式为：武汉大学测绘学院 孙海燕 三、序贯（逐次）平差原理（）设观测值为 ，且 考虑 ，利用 平差 第一章 测量平差总论利用 平差，误差方程、法方程为 武汉大学测绘学院 孙海燕 即 由 得 ，于是 且 所以 第一章 测量平差总论 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 武汉大学测绘学院 孙海燕 序贯平差的精度评定 第一章 测量平差总论 的计算 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 序贯平差的递推公式:武汉大学测绘学院 孙海燕 第三节 测量平差的若干进展 第一章 测量平差总论2、从仅处理静态数据扩展到处理动态数据 1、从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵亏秩 3、从无偏估计扩展到有偏估计4、从线性模型的参数估计扩展到非线性模型的参数估计5、从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量6、从观测值仅含偶然误差扩展到有含有系统误差和粗差7、从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 1、从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵秩亏、从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵秩亏 在经典平差中，任何一个平差问题总是具有足够的起算数据，或称为具有足够的基准条件。在这个前提下我们得到的法方程的系数矩阵总是满秩的。由于法方程的系数矩阵满秩，法方程具有唯一解。但在实际工作中，有时存在没有足够的起算数据的情况。例如，在水准测量中没有已知水准点但却以高程位参数就是这种情况。当一个平差问题没有足够的起算数据时，法方程的系数矩阵就会秩亏，致使法方程没有唯一解。为了解决这个问题，1962年迈塞尔（P.Meissl）提出了秩亏自由网平差的思想，将经典平差扩展到秩亏自由网平差。武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 2、从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量、从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量 在所介绍的经典平差中，尽管函数模型有所不同，但有个共同点，就是所含的待估参数是非随机量，即无先验统计性质（如期望和方差）。但在有些实际问题中，某些待估参数的先验统计性质是已知的，这种具有先验统计性质的参数是随机参数。这就导致带有随机参数的平差问题的出现。1969年，克拉鲁普（T.Krarup）把推估重力异常的方法，发展为用不同类型的数据，例如重力异常，垂线偏差，去估计异常引力场中的任一元素，例如扰动位，大地水准面差距等，提出的最小二乘配置。“配置”也称之为“拟合推估”，起源于根据最小二乘推估来内插和外推重力异常的课题，就将待估参数仅为非随机量推广到待估参数为随机量。莫里兹（HMoritz）对最小二乘配置进行了系统深入的研究，提出了带系统参数的最小二乘配置，并概述了这种方法在大地测量其他方面的应用，进而导致几何位置和重力场的最小二乘联合求定，为整体大地测量奠定了理论基础。武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 2、从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量、从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量 需求定最佳估值的参数一般有两种：第一种是非随机的和先验统计性质未知的，或先验统计性质虽然已知，但在求估值时不予考虑的参数；第二种则是已知其先验统计性质，并且在求定其估值时考虑这种性质的参数。为了便于区别，一般将第一种参数仍称为参数，或称为“倾向参数”，它也就是最小二乘平差中的“未知数”。而第二种参数称之为“信号”，同时又将信号分为两类，一类是与观测向量建立了函数模型的信号，亦称为滤波信号，另一类是没有与观测向量建立函数模型的信号S，叫做推估信号S。最小二乘配置的基本原理简单介绍最小二乘配置的基本原理简单介绍函数模型：函数模型：为非随机参数向量，为非随机参数向量，武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 最小二乘配置的函数模型为最小二乘配置的函数模型为非随机参数向量，测站点信号向量 未测点信号向量 噪声向量 最小二乘配置要讨论的问题：用解析式去拟合离散的观测向量 L，求出估值 ，。和 系统部分（倾向）：随机部分：是一个连续变化的随机函数 参数平差模型 滤波和推估模型 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论3、从仅处理静态数据扩展到处理动态数据、从仅处理静态数据扩展到处理动态数据 以前所讨论的估计问题的数学模型，都是静态模型，也就是通过观测值 L 所估计的待估参数 X 是不随时间变化的静态数据（X可为随机量或非随机量）。但在现代测量中，很多情况下观测值和待估参数都是随时间变化的动态数据。例如，GPS导航中的观测值和待估参数就是随时间变化的动态数据。这样的系统称为动态系统。为了处理观测值和待估参数都是随时间变化的动态数据，1960年卡尔曼（R.E.Kalman）提出了著名的卡尔曼滤波。应用卡尔曼滤波和其他动态平差方法，使仅能处理观测值和待估参数都是不随时间变化的静态数据的经典测量平差，扩展到能处理观测值和待估参数都是随时间变化的动态数据。武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论卡尔曼滤波基本原理简介卡尔曼滤波基本原理简介将 X(t)称为动态系统在 t 时刻的状态。如果动态系统的运动状态 X(t)随时间 t 连续变化，则称该系统为连续时间系统。通常用一个具有初始状态的向量微分方程来描述连续时间系统，该方程称为状态方程：观测量与状态变量之间可能有某些函数的依赖关系，这种关系也用方程来描述，该方程称为观测方程：武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论卡尔曼滤波基本原理简介卡尔曼滤波基本原理简介 卡尔曼滤波模型的典型形式为卡尔曼滤波函数模型包括其数学模型和随机模型。对于离散线性系统模型,其状态方程和观测方程为：其中，为状态转移矩阵，为状态向量，为观测向量，为控制向量，为系统动态噪声向量，为观测噪声向量，和 是设计的系数矩阵。一般系统不考虑控制向量 。其随机模型为：为控制向量，和是设计的系数矩阵。一般系统不考虑控制向量 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 卡尔曼滤波的求解结果是一组递推计算公式，其计算过程是一个不断地预测、修正的过程，当得到新的观测数据时，即可求出新的滤波值，便于处理新观测结果，在求解过程中不需要存储大量的数据。标准卡尔曼滤波递推方程如下：卡尔曼滤波递推公式 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论 4、从无偏估计扩展到有偏估计、从无偏估计扩展到有偏估计 经典平差的优良统计性质是估计结果的无偏性和方差最小性，即经典平差中估计出来的参数是最优无偏估计。但当法方程病态时，由于观测值的很小的误差，就会使待估参数产生很大的变化，不仅解极不稳定，而且方差的数值还会很大。1955年，Stein证明了若法方程病态，则当参数的个数t大于2时，基于正态随机变量（观测值）的最小二乘估计（经典平差）为不可容许估计，即总能找到另一个估计，在均方误差意义下一致优于最小二乘估计。统计学家们将这种现象称为Stein现象。根据Stein现象，Stein于1955年提出了通过压缩改进最小二乘估计的方法。通过对最小二乘估计结果进行压缩改进后，其估计结果就不再具有无偏性。因此，就称对最小二乘估计结果进行压缩改进后的结果为有偏估计。有偏估计被提出以后，至今以扩展了很多有偏估计方法。在大量的有偏估计方法中，研究得最多的是岭估计。武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论设有法方程组：它的精确解 其解为常数项W的第二个分量只有1/1000的微小变化，法方程组的解却变化很大。这样的法方程组称为病态方程组，相应的系数矩阵称为病态矩阵。反之，法方程系数矩阵的常数项向量的元素有微小变化，解值变化不大，则称法方程组为良态的，相应的系数矩阵为良态矩阵。法方程系数矩阵的常数项向量的元素有微小变化，解值变化不大，则称法方程组为良态相应的系数矩阵为良态阵。武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 测量平差总论6、从观测值仅含偶然误差扩展到有含有系统误差和粗差从观测值仅含偶然误差扩展到有含有系统误差和粗差处理粗差-稳健估计 粗差探测处理系统误差-附加参数的平差法 半参数估计7、从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型方差分量估计理论 8、从最小二乘估计准则扩展到其它多种估计准则、从最小二乘估计准则扩展到其它多种估计准则最小二乘估计 极大似然估计广义最小二乘估计 极大验后估计 最小方差估计 武汉大学测绘学院 孙海燕 第四节 本课程的任务和内容 第一章 测量平差总论 高等测量平差是在经典测量平差及其相应的误差理论的基础上进行扩展，着重介绍在测量数据处理实践中一些常用的近代平差方法及其相应的误差理论知识。本课程是误差理论与测量平差基础的后续课程，主要内容是近代测量数据处理中的热点问题，故本课程取名为高等测量平差。一、本课程的任务一、本课程的任务 武汉大学测绘学院 孙海燕 第四节 本课程的任务和内容 第一章 测量平差总论一、本课程的内容一、本课程的内容1.平差模型的统计假设检验。介绍测量平差中常用的假设检验统计量及其各种假设检验方法。2.回归分析理论和方法。介绍回归分析在测量数据处理中的应用以及各种常用模型的回归分析方法。3.秩亏自由网平差理论与方法。介绍广义逆矩阵以及测量中常 用的秩亏自由网平差的各种方法。4.稳健估计理论和方法。介绍稳健估计原理、选权迭代法、以 及针对处理粗差的几种常用抗差最小二乘法。5.非线性模型的平差理论和方法。介绍非线性最小二乘估计原 理、算法和估计量的统计性质。武汉大学测绘学院 孙海燕