高等测量平差-6

高等测量平差高等测量平差-6-6第六章 非线性模型平差第一节 问题的提出经典平差（最小二乘平差）具有最优性的条件：函数模型为线性模型；观测误差为服从正态分布偶然误差。测量问题中大量的数学模型是非线性模型（线性化）若 （模型误差），破坏了系统误差为零的假设，导致：1）最小二乘解为有偏估计 2）最优性值得怀疑非线性平差研究的问题：1）非线性强度（评价 的大小）2）非线性问题的解算 武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差第二节 非线性模型平差原理一、非线性误差方程角度与边长的观测方程GPS伪距观测方程非线性观测方程非线性误差方程非线性模型台劳级数台劳级数线性近似模型误差观测误差 武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差二、非线性模型平差平差准则：对非线性模型必要观测数、多余观测数与线性模型的概念相同非线性模型平差问题仍为条件极值问题，约束条件与目标函数均为非线性函数（计算复杂度大大增加）武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差第三节 非线性模型平差的算法一、非线性方程的解法举例1、对分区间法设 ，若 ，令 若 ，令 ，类似，得 方程 的解，解的误差小于原理：构造包含解的区间套 武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差2、迭代法求 ，的解，令 ，取初值 ，作迭代 ，得序列 若该序列收敛，则，注：1）初值的选取解，2）迭代格式收敛性的判断实际计算：当 时 武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差3、牛顿法考虑作近似方程构造迭代格式即当 ，武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差二、非线性最小二乘估计的近似解对非线性方程 线性化,得 令误差方程为:参数的解为:武汉大学测绘学院 孙海燕例1：已知非线性模型为 。其中参数 和 的真值为：。的5个真值和相应的5个同精度独立观测值列于下表：第六章 非线性模型平差观测值的中误差为i12345真值4.202834 3.258924 2.527006 1.959469 1.519394观测值4.203.252.521.951.51将误差方程线性化，得取参数近似值 武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差权阵取单位阵，法方程的解为：武汉大学测绘学院 孙海燕例2：已知非线性模型为 。其中参数 和 的真值仍为：。的5个真值和相应的5个同精度独立观测值列于下表：第六章 非线性模型平差（观测值的中误差为 ）i12345真值29.123514.43469.53837.09015.6212观测值29.1214.439.537.095.62取参数近似值理解例1、例2的差别：武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差 例1 和例2 的观测精度基本相同，参数的真值和其相应的近似值也相同，但例1中参数估值的精度却远远低于例2 中参数估值的精度。其原因主要是例1 线性近似时引起了较大的模型误差。而例2 线性近似时引起的模型误差较小，可忽略不计。为什么不同的非线性模型线性近似时会引起不同的模型误差呢？这是因为不同的非线性模型的“非线性”程度不一样。“非线性”程度越强，线性近似时产生的模型误差就越大。非线性模型的“非线性”程度，称为非线性强度(non-linearity)。显然，非线性强度越强，线性近似时产生的模型误差就越大。因此，一个非线性模型，采用线性近似的方法进行参数估计时，参数估值的精度很大程度上取决于该模型的非线性强度。武汉大学测绘学院 孙海燕 越大，非线性强度越强非线性强度越强，线性化带来的误差越大。第六章 非线性模型平差关于非线性强度概念的理解的大小与曲线切方向（切线斜率）的变化率有关非线性强度是与(曲面)曲线曲率相关的量。非线性强度举例：武汉大学测绘学院 孙海燕 为线性近似后得到的参数估值。公式中分子为 的展开式中除去线性项以外的各项。分母包括了展开式的所有余项。显然，若 是 的线性函数，则分子为零，有 ，否则 。因此，由 可以判断 是否为非线性函数，且 越大，非线性越强。第六章 非线性模型平差当 大于观测误差时，不宜线性化。武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差三、非线性最小二乘估计的迭代解 当非线性模型的非线性强度很强时，线性近似可能产生大于观测误差的模型误差，所以对于非线性模型，一般采用迭代的方法求解。求解非线性误差方程最小二乘平差值，就是求参数 的估值，使由于 是一常量，所以上式等价于目标函数为的非线性无约束最优化问题。因为 是的非线性函数，所以对上式求一阶偏导数，并令其为零，一般得不到 的显表达式。故求不出 的解析解。因此，我们只能设法寻找某一近似解 ，使 武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差一、牛顿法 设 的极小值 的一个近似值为 ，在 附近将 展为台劳级数，取至二次项得：式中 是 在 处的梯度方向。由于 是 的一个已知的近似值，故上式只是 的函数，为了求得使式成立的对 求偏导，并令其为零，得：武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差令依此类推，迭代至，计算或此时，令 武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差例1 已知非线性模型 设 ，用牛顿法求非线性模型的最小二乘估计量。解：目标函数将 代入计算 ，后，按以上迭代程序迭代，结果列于下表。武汉大学测绘学院 孙海燕迭代6次后，有 ，停止迭代，得 的非线性最小二乘解为第六章 非线性模型平差k123456g(k)-1.2050249080.3991833380.02889398010.0001691624-3.949210-9 -2.401210-9 -17.15305037.0372427130.49484074240.00293801222.403910-7 -1.556910-7 X(k)5.3330132655.417198095.4227080035.4427445655.4227445935.422744582-0.253914522-0.25425733-02556634078-0.2556720853-0.255672087-0.255672086R(X(k)-40.21054702-40.5852468-40.63522342-40.63549278-40.63549281-40.63549281最小二乘近似解 武汉大学测绘学院 孙海燕假设非线性模型存在一阶连续偏导数，且参数 之间相互独立，则在近似值 处线性化，得误差方程：第六章 非线性模型平差二、高斯-牛顿法高斯-牛顿法的基本出发点就是在初值 处对非线性模型进行线性近似。并按传统的平差方法求出一次近似值 ，然后反复迭代，直至前后两次 值相等。即 迭代步骤如下：根据最小二乘原理，有 求得 后，再以 为近似值迭代，其迭代公式为 终止迭代条件：武汉大学测绘学院 孙海燕第六章 非线性模型平差例:设 ，用高斯-牛顿法求解例1中非线性模型的最小二乘估计量。k12345X(k)5.39414135.422299005.42274455.42274465.4227446-0.250050-0.255618-0.255672-0.2556721-0.2556721R(X(k)-39.785687-40.628298-40.635492-40.63549-40.63549当 时，迭代发散。这说明虽然高斯-牛顿法有一定的合理性，但在具体执行时可能会产生一些问题。首先是对初值的依赖性较大。当初值较差时，会出现迭代发散现象，使迭代无法进行下去。一般来说,实际计算时，总是用观测值算出 。与 很接近，故通常迭代可以收敛。武汉大学测绘学院 孙海燕