高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解

高数二阶常系数非齐次线高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详性微分方程解法及例题详解解提示 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)exQ(x)+2Q(x)+2Q(x)expQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 下页Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex y*py*qy*提示 此时2pq0 要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 下页一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 提示 此时2pq0 但2p0 要 使()式 成 立 Q(x)应 设 为 m1次 多 项 式 Q(x)xQm(x)其中Qm(x)b0 xm b1xm1 bm1xbm (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xQm(x)ex 下页 (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 提示 此时2pq0 2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x)其中Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm (3)如果是特征方程r2prq0的重根 则y*x2Qm(x)ex 下页 (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xQm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 v结论 二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 下页提示 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示3b03 2b03b11 特解形式 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0 x2b0b1x 提示2b01 2b0b10 特解形式首页 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 2b0 x2b0b1x 因此所给方程的通解为 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得特解形式 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 二、f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx型下页 v结论 解 结束特解形式 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x (3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！12