高中数学选修4-4《直线的极坐标方程》

高中数学选修高中数学选修4-44-4直线直线的极坐标方程的极坐标方程【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.(1)cos(-)=2;(2)2cos2=3;(3)2-3cos+6sin-5=0;(4)=.极极坐坐标标方方程程与与直直角角坐坐标方程的互化标方程的互化【解析】(1)原方程变形为 ,所以 ,即 ,它表示倾斜角为150，且过点(4，0)的直线.(2)原方程变形为2(cos2-sin2)=3,所以x2-y2=3,它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲线.(3)原方程变形为 x2+y2-3x+6y-5=0,它表示圆心为 ,半径为 的圆.(4)原方程变形为+sin=2,所以 ,所以 x2+y2=4-4y+y2,即 x2=-4(y-1),它表示顶点为(0,1),开口向下的抛物线.这类题多采用化生为熟的方法，即常将极坐标方程化为普通方程，再进行判断.【例2】以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 P 的直角坐标为(1,-5)，点M的极坐标为(4,),直线 l 过点P，且倾斜角为 ，圆 C 以M为圆心，4为半径.(1)求C的极坐标方程；(2)试确定直线 l 和C的位置关系.曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程【解析】(1)如图，在RtOAB中，OA=，OB=2OM=8.又因为AOx=，故AOB=-,所以=OB cosAOB =8cos(-)=8sin.故C的极坐标方程为=8sin.(2)点M对应的直角坐标为(0,4)，直线 l 的直角坐标方程为 ，则圆心M到直线 l 的距离所以直线 l 与C相离.在极坐标系中，求圆的极坐标方程，常结合直角三角形的边角关系.本题也可以先求圆的直角坐标方程，然后化为极坐标方程.【例3】已知椭圆C的极坐标方程为 ，求它的两条准线的极坐标方程.极坐标方程的应用极坐标方程的应用【解析】因为 ,所以32cos2+42sin2=12,所以 3x2+4y2=12，所以椭圆的直角坐标方程为 ,则其两准线的方程为 x=4,故两准线的极坐标方程为cos=4.掌握好极坐标和直角坐标的互化公式是解本题的关键.4.已知直线的极坐标方程为sin(+)=，求点A(2，)到这条直线的距离.【解析】直线的极坐标方程 sin(+)=化为直角坐标得 (sincos +cossin )=，即sin+cos=1由 ，得直线的直角坐标方程为x+y=1，即x+y-1=0.由 ，得点A的直角坐标为(2,-2)，所以点A到这条直线的距离 5.求以极坐标系中的点Q(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程.【解析】如图，设圆上 任意一点P(,)，连 结OQ并延长交圆于R.在RtORP中,POR=-1,所以cos(-1)=,所以=2cos(-1).1.建立一个极坐标系，没有现成的公式套用，只有深刻理解极径、极角的概念，才能准确、迅速地解题.否则，要先平移直角坐标系，再套用直角坐标与极坐标的互化公式，这样也能解决问题，但运算量很大，容易出错.2.在解题中，易将直线与圆的极坐标方程混淆.因此，深刻理解极坐标的概念，掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式，是解决有关极坐标问题的基本保证.3.在极坐标系中，判断曲线的形状，研究曲线的性质，最常用的方法是化极坐标方程为直角坐标方程，使不熟悉的问题转化为熟悉的问题.对一些简单的直线、圆的有关问题，也可直接用极坐标知识解决.4.应用解析法解决实际问题时，要注意是选取直角坐标系还是极坐标系；建立极坐标系要注意选择极点、极轴的位置，注意“点和极坐标”的“一多对应”特性.5.求曲线方程，常设曲线上任意一点P(,),利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正、余弦定理用得较多.1.(2011南通中学期末卷)在极坐标系中，已知曲线 C1：=12sin，曲线C2：=12cos(-).(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)若P、Q分别是曲线C1和C2上的动点，求PQ的最大值.【解析】(1)因为=12sin,所以2=12sin,所以 x2+y2-12y=0，即曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-6)2=36.又因为=12cos(-)，所以2=12(coscos +sinsin )，所以 x2+y2-x-6y=0，即曲线C2的直角坐标方程为 (x-)2+(y-3)2=36.(2)选题感悟：高考中极坐标部分的考题主要有两类：一是极坐标方程与直角坐标方程的互化，二是极坐标方程在解析几何中的应用.备考时要抓住几个关键，进行有效的复习.选题感悟：解决极坐标系中的问题的通法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再在直角坐标系中求解 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！38