2012年中考数学复习 第五章基本图形 第23课 平行四边形课件

第 23课 平 行 四 边 形 基 础 知 识 自 主 学 习1 n边 形 以 及 四 边 形 的 性 质(1)n边 形 的 内 角 和 为 ， 外 角 和 为 ， 对 角线 条 数 为 .(2)四 边 形 的 内 角 和 为 ， 外 角 和 为 ， 对 角 线条 数 为 .(3)正 多 边 形 的 定 义 ： 各 条 边 都 ， 且 各 内 角 都 的多 边 形 叫 正 多 边 形 要 点 梳 理(n2)180 360360 3602 相 等 相 等 2 平 行 四 边 形 的 性 质 以 及 判 定 (1)性 质 ： 平 行 四 边 形 两 组 对 边 分 别 平 行 且 相 等 ； 平 行 四 边 形 对 角 相 等 ， 邻 角 互 补 ； 平 行 四 边 形 对 角 线 互 相 平 分 ； 平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形 (2)判 定 方 法 ： 定 义 ： 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ； 一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ； 两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ； 两 组 对 角 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ； 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 3 三 角 形 中 位 线 定 理 ： 三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边 ， 且等 于 第 三 边 的 一 半 难 点 正 本 疑 点 清 源 1 理 解 平 行 四 边 形 相 关 概 念 四 边 形 的 对 边 、 对 角 与 三 角 形 中 所 说 的 对 边 、 对 角 不 同 在 三 角 形中 ， 对 边 指 一 角 的 对 边 ， 对 角 指 一 边 的 对 角 ； 而 在 四 边 形 中 ， 对 边 指 不相 邻 的 边 ， 也 就 是 没 有 公 共 顶 点 的 边 ， 对 角 指 不 相 邻 的 角 ， 邻 边 是 指 四边 形 中 有 公 共 端 点 的 边 ， 邻 角 是 指 四 边 形 中 有 一 条 公 共 边 的 两 个 角 平 行 四 边 形 的 表 示 方 法 ， 一 般 按 照 一 定 的 方 向 (顺 时 针 或 逆 时 针 )依次 表 示 各 个 顶 点 2 正 确 运 用 平 行 四 边 形 的 性 质 、 判 定 来 解 题 平 行 四 边 形 的 性 质 是 我 们 研 究 平 行 四 边 形 的 角 或 边 的 重 要 依 据 ， 利用 平 行 四 边 形 的 性 质 ， 可 以 求 角 的 度 数 、 线 段 的 长 度 ， 也 可 以 证 明 角 相等 、 线 段 相 等 、 线 段 平 分 线 等 问 题 其 关 键 是 根 据 所 要 证 明 的 全 等 三 角形 ， 选 择 需 要 的 边 、 角 相 等 条 件 包 括 定 义 在 内 ， 平 行 四 边 形 共 有 五 种 判 定 方 法 ， 对 于 不 同 的 题 目 ，应 通 过 仔 细 观 察 分 析 ， 选 出 合 适 的 判 定 方 法 来 解 答 ， 在 实 际 运 用 中 ， 要注 意 性 质 和 判 定 的 联 系 和 区 别 3 三 角 形 的 中 位 线 性 质 三 角 形 中 位 线 性 质 为 我 们 证 明 两 直 线 的 位 置 和 数 量 关 系 提 供了 一 个 重 要 的 依 据 ， 当 题 目 中 遇 到 中 点 问 题 时 ， 常 作 出 三 角 形 的中 位 线 当 已 知 三 角 形 一 边 中 点 时 ， 可 以 设 法 找 出 另 一 边 的 中点 ， 构 造 三 角 形 中 位 线 ， 进 一 步 可 以 利 用 其 证 明 线 段 平 行 或 倍 分问 题 ， 可 简 单 的 概 括 为 “ 已 知 中 点 找 中 位 线 ” 基 础 自 测1 (2011绵 阳 )王 师 傅 用 4根 木 条 钉 成 一 个 四 边 形 木 架 ， 如 图 要使 这 个 木 架 不 变 形 ， 他 至 少 要 再 钉 上 几 根 木 条 ？ ( ) A 0根 B 1根 C 2根 D 3根 答 案 B 解 析 画 一 条 对 角 线 ， 将 四 边 形 分 成 两 个 三 角 形 ， 依 据 三 角 形 的 稳 定 性 ， 这 个 木 架 不 变 形 2 (2011邵 阳 )如 图 所 示 ， 在 ABCD中 ， 对 角 线 AC、 BD相 交 于点 O， 且 ABAD， 则 下 列 式 子 不 正 确 的 是 ( ) A AC BD B AB CD C BO OD D BAD BCD 答 案 A 解 析 由 平 行 四 边 形 的 性 质 ， 一 定 有 AB CD， BO OD， BAD BCD， 不 正 确 的 是 AC BD. 3 (2011广 州 )已 知 ABCD的 周 长 为 32， AB 4， 则 BC ( ) A. 4 B 12 C 24 D 28 答 案 B 解 析 因 为 2(AB BC) 32， 所 以 AB BC 16， BC 12. 4 (2011义 乌 )如 图 ， DE是 ABC的 中 位 线 ， 若 BC的 长 是 3 cm， 则 DE的 长 是 ( ) A 2 cm B 1.5 cm C 1.2 cm D 1 cm 答 案 B 5 (2011潼 南 )如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 (ABBC)， 直线 EF经 过 其 对 角 线 的 交 点 O， 且 分 别 交 AD、 BC于 点 M、N， 交 BA、 DC的 延 长 线 于 点 E、 F， 下 列 结 论 ： AO BO； OE OF; EAM EBN； EAO CNO， 其 中 正 确 的 是 ( ) A. B C D 答 案 B 解 析 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AO CO， AD BC， EAM EBN； 易 证 EAO FCO， OE OF； 综 上 ， 结 论 、 正 确 . 题 型 分 类 深 度 剖 析【 例 1】 (2010恩 施 )如 图 ， 已 知 ， 在 ABCD中 ， AE CF， M、 N分 别 是 BE、 DF的 中 点 求 证 ： 四 边 形 MFNE是 平 行 四 边 形 .题 型 一 平 行 四 边 形 的 判 定 解 证 明 ： 由 平 行 四 边 形 可 知 ， AB CD， BAE DFC. 又 AE CF， BAE DCF， BE DF， AEB CFD. 又 M、 N分 别 是 BE、 DF的 中 点 ， ME NF. 又 由 AD BC， 得 ADF DFC， ADF BEA， ME NF. 四 边 形 MFNE为 平 行 四 边 形 探 究 提 高 探 索 平 行 四 边 形 成 立 的 条 件 ， 有 多 种 方 法 判 定 平行 四 边 形 ： 若 条 件 中 涉 及 角 ， 考 虑 用 “ 两 组 对 角 分 别 相 等 ” 或 “ 两组 对 边 分 别 平 行 ” 来 证 明 ； 若 条 件 中 涉 及 对 角 线 ， 考 虑 用 “ 对 角 线 互 相 平 分 ” 来 说明 ； 若 条 件 中 涉 及 边 ， 考 虑 用 “ 两 组 对 边 分 别 平 行 ” 或 “ 一组 对 边 平 行 且 相 等 ” 来 证 明 ， 也 可 以 巧 添 辅 助 线 ， 构 建 平行 四 边 形 知 能 迁 移 1 (1)如 图 ， 在 ABCD中 ， BD是 对 角 线 ，AE BD于 点 E， CF BD于 点 F， 证 明 ： 四 边 形 AECF是平 行 四 边 形 解 证 明 ： AE BD， CF BD， AE CF. 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB CD， 且 AB CD ABE CDF. 又 AEB CFD 90 ， Rt ABE Rt CDF. AE CF， 四 边 形 AECF是 平 行 四 边 形 (2)(2010郴 州 )已 知 ： 如 图 ， 把 ABC绕 边 BC的 中 点 O旋 转180 得 到 DCB. 求 证 ： 四 边 形 ABDC是 平 行 四 边 形 解 证 明 ： DCB是 由 ABC旋 转 180 而 得 ， 点 A、 D， 点 B、 C关 于 点 O中 心 对 称 ， OB OC ， OA OD， 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 (注 ： 还 可 以 利 用 旋 转 变 换 得 到 AB CD ， AC BD相 等 ； 或 证 明 ABC DCB来 证 ABCD是 平 行 四 边 形 ) 题 型 二 平 行 四 边 形 相 关 边 、 角 、 周 长 与 面 积 问 题【 例 2】 已 知 ： 如 图 ， 在 ABCD中 ， BE、 CE分 别 平 分 ABC、 BCD， E在 AD上 ， BE 12 cm， CE 5 cm. 求 ABCD的 周 长 和 面 积 探 究 提 高 平 行 四 边 形 对 边 相 等 ， 对 边 平 行 ， 对 角 相 等 ， 邻角 互 补 ， 对 角 线 互 相 平 分 ， 利 用 这 些 性 质 可 以 解 决 与 平 行四 边 形 相 关 的 问 题 ， 也 可 将 四 边 形 的 问 题 转 化 为 三 角 形 的问 题 知 能 迁 移 2 (1)在 ABCD中 ， 对 角 线 AC 12， BD 10， 边AB m， 则 m的 取 值 范 围 是 ( ) A 10m12 B 2m22 C 1m11 D 5m6 答 案 C (2)在 ABCD中 ， DB DC， A 65 ， CE BD于 E， 则 BCE _. 答 案 25 解 析 在 ABCD中 ， DCB A 65 . DB DC， DCB DBC 65 . 在 Rt BCE中 ， BCE 90 65 25 . 题 型 三 运 用 平 行 四 边 形 的 性 质 进 行 推 理 论 证【 例 3】 已 知 ： 如 图 ， E、 F分 别 是 ABCD的 边 AD、 BC的 中 点 ， 求 证 ： AF CE. 解 题 示 范 规 范 步 骤 ， 该 得 的 分 ， 一 分 不 丢 ！ 证 法 二 ： 在 ABCD中 ， AD BC， 且 AD BC.2分 E、 F分 别 是 AD、 BC的 中 点 ， AE AD， CF CB， AE CF.4分 又 AE CF， 四 边 形 AECF是 平 行 四 边 形 AF CE.6分 探 究 提 高 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 ， 可 以 证 角 相 等 、 线 段 相等 ， 其 关 键 是 根 据 所 要 证 明 的 全 等 三 角 形 ， 选 择 需 要 的 边 、角 相 等 条 件 ， 也 可 以 证 明 相 关 联 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 知 能 迁 移 3 (1)(2011宜 宾 )如 图 ， 平 行 四 边 形 ABCD的 对 角线 AC、 BD交 于 点 O， E、 F在 AC上 ， G、 H在 BD上 ， AF CE， BH DG. 求 证 ： GF HE. 解 证 明 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， OA OC. AF CE， AF OA CE OC， OF OE. 同 理 得 ， OG OH. 四 边 形 EGFH是 平 行 四 边 形 ， GF HE. (2)(2011常 德 )如 图 ， 已 知 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 求 证 ： MEF MBA； 若 AF、 BE分 别 为 DAB、 CBA的 平 分 线 ， 求 证 DF EC. 解 证 明 ： 在 ABCD中 ， CD AB， MEF MBA， MFE MAB， MEF MBA. 在 ABCD中 ， CD AB， DFA FAB. 又 AF是 DAB的 平 分 线 ， DAF FAB， DAF DFA， AD DF. 同 理 可 得 ， EC BC. 在 ABCD中 ， AD BC， DF EC. 题 型 四 三 角 形 中 位 线 定 理【 例 4】 如 图 ， 在 ABC中 ， D是 BC上 一 点 ， E、 F、 G、H分 别 是 BD、 BC、 AC、 AD的 中 点 ， 求 证 ： EG、 HF互相 平 分 探 究 提 高 当 已 知 三 角 形 一 边 中 点 时 ， 可 以 设 法 找 出 另 一 边 的 中点 ， 构 造 三 角 形 中 位 线 ， 进 一 步 利 用 三 角 形 的 中 位 线 定 理 ， 证明 线 段 平 行 或 倍 分 问 题 知 能 迁 移 4 (1)(2011铜 仁 )已 知 ： 如 图 ， 在 ABC中 ， BAC 90 ， DE、 DF是 的 中 位 线 ， 连 接 EF、 AD. 求 证 ： EF AD. 解 证 明 ： DE、 DF是 ABC的 中 位 线 ， DE AB， DF AC. 四 边 形 AEDF是 平 行 四 边 形 又 BAC 90 ， 平 行 四 边 形 AEDF是 矩 形 EF AD. (2)如 图 ， 在 ABC中 ， BD、 CE是 角 平 分 线 ， AM CE，AN BD， M、 N分 别 是 垂 足 ， 求 证 ： MN BC. 解 证 明 ： 分 别 延 长 AM、 AN交 BC于 P、 Q. CE平 分 ACB， AM CE， ACM PCM， AMC PMC 90 . 又 CM CM， ACM PCM， AM PM. 同 理 AN QN. MN是 APQ的 中 位 线 ， MN PQ， 即 MN BC. 易 错 警 示 试 题 如 图 ， 已 知 六 边 形 ABCDEF的 六 个 内 角 均 为 120 ，CD 10 cm， BC 8 cm， AB 8 cm， AF 5 cm， 求 此 六边 形 周 长 14 不 可 将 未 加 证 明 的 条 件 作 为 已 知 条 件 或 推 理 依 据 学 生 答 案 展 示 如 图 ， 连 接 EB、 DA、 FC， 分 别 交 于 点 M、 N、 P. FED EDC 120 ， DEM EDM 60 . DEM是 等 边 三 角 形 同 理 ， MAB、 NFA也 是 等 边 三 角 形 FN AF 5， MA AB 8. EFA 120 ， EFC 60 ， ED FC， 同 理 ， EF DN. 四 边 形 EDNF是 平 行 四 边 形 同 理 ， 四 边 形 EMAF也 是 平 行 四 边 形 ED FN 5， EF MA 8. 六 边 形 ABCDEF的 周 长 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 5 8 5 44(cm) 剖 析 上 述 解 法 最 根 本 的 错 误 在 于 多 边 形 的 对 角 线 不 是 角 平分 线 ， 从 证 明 的 一 开 始 ， 由 FED EDC 120 得 到 DEM EDM 60 的 这 个 结 论 就 是 错 误 的 ， 所 以 后面 的 推 理 就 没 有 依 据 了 ， 请 注 意 对 角 线 与 角 平 分 线 的 区 别 ，只 有 菱 形 和 正 方 形 的 对 角 线 才 有 平 分 一 组 对 角 的 特 性 ， 其他 的 不 具 有 这 一 性 质 不 可 凭 直 观 感 觉 就 以 为 对 角 线 AD、BE平 分 CDE、 DEF， 切 记 ， 视 觉 不 可 代 替 论 证 ， 直观 判 断 不 能 代 替 逻 辑 推 理 正 解 如 图 ， 分 别 延 长 ED、 BC交 于 点 M， 延 长 EF、 BA交 于点 N. EDC DCB 120 ， MDC MCD 60 . M 60 ， MDC是 等 边 三 角 形 CD 10， MC DM 10. 同 理 ， ANF也 是 等 边 三 角 形 ， AF AN NF 5. AB BC 8， NB 8 5 13， BM 8 10 18. E 120 ， E M 180 ， EN MB.同 理 ， EM NB. 四 边 形 EMBN是 平 行 四 边 形 ， EN BM 18， EM NB 13， EF EN NF 18 5 13，ED EM DM 13 10 3， 六 边 形 ABCDEF的 周 长 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 3 13 5 47(cm) 批 阅 笔 记 利 用 六 个 内 角 相 等 ， 构 造 平 行 四 边 形 是 解 决 本 题的 关 键 在 计 算 证 明 的 过 程 中 ， 不 可 将 某 一 条 件 未 加 证 明作 为 已 知 条 件 或 推 理 、 计 算 的 依 据 思 想 方 法 感 悟 提 高方 法 与 技 巧 2. 常 用 连 对 角 线 的 方 法 把 四 边 形 问 题 转 化 为 三 角 形 的问 题 3. 有 平 行 线 时 ， 常 作 平 行 线 构 造 平 行 四 边 形 4. 有 中 线 时 ， 常 作 加 倍 中 线 构 造 平 行 四 边 形 5. 图 形 具 有 等 邻 边 特 征 时 (如 ： 等 腰 三 角 形 、 等 边 三 角形 、 菱 形 、 正 方 形 等 )， 可 以 通 过 引 辅 助 线 把 图 形 的 某 一 部分 绕 等 邻 边 的 公 共 端 点 旋 转 到 另 一 位 置 失 误 与 防 范 图 形 的 直 观 性 可 帮 助 探 求 解 题 思 路 ， 但 也 可 能 因 直 观 判 断 失 误 或 用直 观 判 断 代 替 严 密 推 理 ， 就 会 造 成 解 题 失 误 一 定 要 对 所 有 直 观 判 断 加以 证 明 ， 不 可 以 用 直 观 判 断 代 替 严 密 的 推 理 例 如 ： 在 四 边 形 ABCD中 ， AC与 BD相 交 于 点 O， 如 果 给 出 条 件“ AB CD”， 那 么 给 出 以 下 6种 说 法 ： 如 果 再 加 上 条 件 “ AD BC”， 那 么 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ； 如 果 再 加 上 条 件 “ AB CD”， 那 么 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ； 如 果 再 加 上 条 件 “ A C”， 那 么 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ； 如 果 再 加 上 条 件 “ BC AD”， 那 么 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ； 如 果 再 加 上 条 件 “ AO CO”， 那 么 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ； 如 果 再 加 上 条 件 “ DBA CAB”， 那 么 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边形 其 中 ， 正 确 的 说 法 有 ( ) A. 3个 B 4个 C 5个 D. 6个 错 解 ： C或 D 错 因 剖 析 ： 语 句 为 两 组 对 边 分 别 平 行 的 情 形 ， 是 平 行 四 边 形 的定 义 ； 语 句 是 一 组 对 边 平 行 且 相 等 ， 是 平 行 四 边 形 的 判 定 方法 之 一 ； 语 句 中 由 AB CD， 可 以 推 出 A与 D互 补 ， 由 A C， 可 得 C与 D也 互 补 ， 从 而 AD BC， 符 合 平 行 四 边 形的 定 义 ； 语 句 中 实 际 是 一 组 对 边 平 行 而 另 一 组 对 边 相 等 ， 不能 构 成 平 行 四 边 形 ， 反 例 图 形 是 等 腰 梯 形 ； 语 句 由 条 件 可 推出 ABO和 CDO全 等 ， 从 而 BO DO， 故 对 角 线 相 互 平 分 ， 所 以是 正 确 的 ； 语 句 的 反 例 图 形 也 是 等 腰 梯 形 综 上 ， 正 确 的 语句 有 .应 该 选 B. 完 成 考 点 跟 踪 训 练 23