线性代数-向量及其线性运算

Password:1111112.2 2.2 维向量维向量注意：集中精力，仔细理解注意：集中精力，仔细理解确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组、引入、引入、引入、引入一、维向量一、维向量一、维向量一、维向量（VectorVector）、定义、定义、定义、定义 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量.记作记作如：如：维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行矩阵行矩阵，也就是，也就是行向量行向量，如：如：记作记作,.维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列矩阵列矩阵，也就是，也就是列向量列向量，（Row VectorRow Vector）（Column VectorColumn Vector）注意注意注意注意、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、当没有明确说明时，都当作实的、当没有明确说明时，都当作实的列向量列向量.几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即n=2,3 且且 F 为实数域的情形为实数域的情形.在在 n 3 时，时，n 维向维向量就没有直观的几何意义了量就没有直观的几何意义了.我们所以仍称它为向我们所以仍称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊另一方面也由于它与通常的向量一样可以定另一方面也由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处这样一个几何的名词有好处.以后我们用小写希腊字母以后我们用小写希腊字母 ，等来代表向等来代表向量量.情形，情形，三、三、n 维向量的运算维向量的运算1.两个向量相等两个向量相等定义定义 2.3 如果如果如果如果 n n 维向量维向量维向量维向量 =(=(a a1 1,a a2 2,a an n)T T,=(=(b b1 1,b b2 2,b bn n )T T的对应分量都相等，即的对应分量都相等，即的对应分量都相等，即的对应分量都相等，即a ai i=b bi i (i i=1,2,=1,2,n n),),就称这两个向量是就称这两个向量是就称这两个向量是就称这两个向量是相等的相等的，记作，记作，记作，记作 =.2.向量的加法向量的加法1)定义定义定义定义 2.4 向量向量向量向量 =(=(a a1 1+b b1 1,a a2 2+b b2 2,a an n+b bn n )T T称为向量称为向量称为向量称为向量 =(=(a a1 1,a a2 2,a an n)T T,=(=(b b1 1,b b2 2,b bn n )T T的的的的和和，记为，记为，记为，记为 =+.2)运算规律运算规律交换律交换律 +=+.结合律结合律 +(+)=(+)+.4)负向量负向量定义定义 向量向量向量向量 (-(-a a1 1,-,-a a2 2,-,-a an n )T T 称为向量称为向量称为向量称为向量 =(a a1 1,a a2 2,a an n)的的的的负向量负向量，记为，记为，记为，记为-.显然，对于所有的显然，对于所有的 ，都有都有 +0=，+(-)=0.5)向量减法运算向量减法运算定义定义 -=+(-(-).).3.数量乘积数量乘积定义定义 2.5 设设设设 k k 为数域为数域为数域为数域 F F 中的数，向量中的数，向量中的数，向量中的数，向量(kaka1 1,kaka2 2,kakan n )称为向量称为向量称为向量称为向量 =(a a1 1,a a2 2,a an n)与数与数与数与数 k k 的的的的数量乘积数量乘积，记为记为记为记为 k k .1)定义定义向量的加法和数乘运算统称为向量的向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运线性运算算.显然，数域显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍上的向量经过线性运算后，仍为数域为数域 F 上的向量上的向量.2)运算规律运算规律k(+)=k +k ,(k+l)=k +l ,k(l )=(kl),1 =,0 =0,(-1)=-,k 0=0.如果如果 k 0,0,那么那么k 0.3 3 3 3、向量与矩阵的关系、向量与矩阵的关系、向量与矩阵的关系、向量与矩阵的关系其第其第个列个列向量向量记作记作个维个维行向量行向量.按行分块按行分块按列分块按列分块个维个维列向量列向量.其第其第个行个行向量向量记作记作矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组例如例如三、向量组、矩阵、线性方程组三、向量组、矩阵、线性方程组三、向量组、矩阵、线性方程组三、向量组、矩阵、线性方程组向量组称为矩阵向量组称为矩阵的的列向量组列向量组.对于一个对于一个 矩阵有个维矩阵有个维列向量列向量.记作：记作：向量组为矩阵向量组为矩阵的的行向量组行向量组类似的，矩阵有个维类似的，矩阵有个维行向量行向量.四、线性方程组四、线性方程组AX=b的向量表示的向量表示方程组的解方程组的解x1=c1,x2=c2,.,xn=cn,可以用可以用n维列向量：维列向量：x=（c1,c2,.,cn)T来表示。此时称为方程组的一个解向量。（来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）例例 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .五、向量空间五、向量空间五、向量空间五、向量空间1 1 1 1、定义、定义、定义、定义 设设为维非空向量组，且满足为维非空向量组，且满足对加法封闭对加法封闭对数乘封闭对数乘封闭那么就称向量组那么就称向量组为为向量空间向量空间（Vector SpaceVector Space）解解任意两个维向量的和仍是一个维向量；任意两个维向量的和仍是一个维向量；任意维向量乘以一个数仍是一个维向量任意维向量乘以一个数仍是一个维向量所以，所有维向量的集合构成一个向量空间所以，所有维向量的集合构成一个向量空间.易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可几何形象：可 随随 意意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向代数形象：向 量量 的的坐标表示式坐标表示式坐坐坐坐标标标标系系系系2 2 2 2、结构、结构、结构、结构空间空间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合坐坐坐坐标标标标系系系系代数形象：代数形象：向量空间中的平面向量空间中的平面几何形象：几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面空间平面或曲面一一对应一一对应2.3 向量间的线性关系向量间的线性关系回忆：向量线性运算回忆：向量线性运算数乘数乘数乘数乘规定规定称为数称为数与向量与向量的的数量积数量积.设设=k=k，那么两个向量之间是什么样的关系？，那么两个向量之间是什么样的关系？引申到多个向量，关系又如何？引申到多个向量，关系又如何？向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示一定义一定义若若kk，则称向量，则称向量与与成比例成比例零向量零向量是任一向量组的线性组合是任一向量组的线性组合任一维向量任一维向量都是都是基本向量组基本向量组的一个线性组合的一个线性组合事实上，有事实上，有向量组中每一向量都可由该向量组线性表示向量组中每一向量都可由该向量组线性表示b能够为能够为1，2，n线性表示：性表示：令令x1，x2，xn分别为分别为1,2,.,n，则以上线性组，则以上线性组合可以表示为：合可以表示为：定理定理1 1注意注意:定义定义二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关相关结论相关结论P92例例3-4定理向量组线性无关定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解.二、线性相关性的判断准则二、线性相关性的判断准则二、线性相关性的判断准则二、线性相关性的判断准则P91P91P91P91推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关.推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关.P91定理定理解解例例1 1、设向量组、设向量组线性相关，则线性相关，则 .2 2、设向量组、设向量组线性无关，则线性无关，则必满足必满足 .自己练习：自己练习：证法证法进一步：进一步：进一步：进一步：P94 P94 P94 P94 定理定理定理定理向量组线性相关向量组线性相关至少有一个向量可由其至少有一个向量可由其余向量线性表示余向量线性表示定理定理向量组线性无关向量组线性无关任何一个向量都不能由任何一个向量都不能由其向量线性表示其向量线性表示定理定理P96 P96 例题例题9 9如果向量组如果向量组线性相关，则线性相关，则可由可由唯一唯一线性线性表示表示.线性无关，而向量组线性无关，而向量组证证设设线性无关，线性无关，而向量组而向量组线性相关，线性相关，（，（否则与否则与线性无关线性无关矛盾）矛盾）可由可由线性线性表示表示.即有即有下证下证唯一性唯一性：两式相减有两式相减有线性无关，线性无关，即表达式唯一即表达式唯一.设设性质性质 设向量组设向量组若若线性相关线性相关,则向量组则向量组也线性相关；反之，若也线性相关；反之，若向量组向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关也线性无关.P95 例例7此时此时A A称为称为B B的一个部分组的一个部分组。说明：说明：P95 例例8.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，定理定理（难点难点）六、小结六、小结作业作业P971:(1),(3)23:(2),(3)5(2)6(1)