等差数列前N项和的公式63830

等差数列前等差数列前N N项和的公式项和的公式6383063830复习回顾复习回顾问题呈现问题呈现例题讲解例题讲解小结与作业小结与作业复习回顾(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式:已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有:an=a1+(n-1)d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质等差数列的性质:在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么:an+am=ap+aq返回返回 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案案之之细细致致令令人叫绝。人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见见左图），奢靡之程度，可见一斑。左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1下一页下一页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？这这是是求求奇奇数数个个项项和和的的问问题题，不不能能简简单单模模仿仿偶偶数数个个项项求求和和的的办办法法，需需要要把把中中间间项项1111看看成成首首、尾尾两两项项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。通过前后比较得出认识：高通过前后比较得出认识：高斯斯“首尾配对首尾配对”的算法还得分的算法还得分奇、偶个项的情况求和。奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？有无简单的方法？下一页下一页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。下一页下一页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？123212120191获得算法：获得算法：下一页下一页问题问题2 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架形架的最下面一层放一支铅的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最下面一层多放一支，最上面一层放上面一层放100支支.这个这个V形架上共放着多少支形架上共放着多少支铅笔？铅笔？问题就是问题就是 求求“1+2+3+4+100=？”下一页下一页 问题问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。假设1+2+3+100=x,(1)那么100+99+98+1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101+101=2x,100个101所以x=5050.高斯高斯下一页下一页问题问题3:求求:1+2+3+4+n=?记记:S=1+2 +3 +(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+3 +2 +1下一页下一页设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导下一页下一页即前即前n项的和与首项末项及项数有项的和与首项末项及项数有关关若已知若已知a1，n，d，则如何表示，则如何表示Sn呢？呢？因为因为 an=a1+（n-1）d所以所以 Sn=na1+n(n-1)d/2下一页下一页下一页下一页由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。正所谓：知三求二下一页下一页【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 ；an为等差数列为等差数列 ，这是一个关于，这是一个关于 的的 没有没有 的的“”倒序相加法倒序相加法Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（注意注意 a 还可以是还可以是 0）等差数列前等差数列前n项和公式补充知识项和公式补充知识下一页下一页【公式记忆公式记忆】用用梯梯形形面面积积公公式式记记忆忆等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式，这这里里对对图图形形进进行行了了割割、补补两两种种处处理理，对对应应着着等等差差数数列列前前n项和的两个公式项和的两个公式.等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；梯形的面积公式梯形的面积公式n返回返回例例1 某长跑运动员某长跑运动员7天里每天的训天里每天的训练量（单位：练量（单位：m）是：是：7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员这位运动员7天共跑了多少米？天共跑了多少米？解解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为记为an,其中其中 a1=7500,a7=10500.根据等差数列前根据等差数列前n项和公式，得项和公式，得答：这位长跑运动员答：这位长跑运动员7天共跑了天共跑了63000m.下一页下一页例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一本题实质是反用公式，解一个关于个关于n 的一元二次函数，注的一元二次函数，注意得到的项数意得到的项数n 必须是正整数必须是正整数.下一页下一页解解：将题中的等差数列记为：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列代表该数列 的前的前n项和，则有项和，则有a1=10,d=6(10)=4 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式：项和公式：解得解得n1=9,n=3(舍去舍去)因此等差数列因此等差数列10,6,2,2，前，前9项的和是项的和是54.设该数列前设该数列前n 项和为项和为54下一页下一页例例3 求集合求集合M=m|m=7n,n是正整数是正整数,且且m100的元素个数的元素个数,并求这些元素的和并求这些元素的和.解解:由由7n100得得 n1007,由于满足它的正整数由于满足它的正整数n共有共有14个个,集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个.即即7,14,21,91,98.这是一个等差数列这是一个等差数列,各项的和是各项的和是答答:集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个,它们的和为它们的和为735.=735返回返回 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法小结：小结：2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二下一页下一页课本课本P118:习题习题3.3 第七题第七题第九题第九题下一页下一页返回返回结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！23