等差数列前n项和

等差数列前等差数列前n n项和项和复习引入复习引入3.等差中项等差中项成等差数列成等差数列.mnpq amanapaq.(m，n，p，qN)4.等差数列的性质等差数列的性质2.3 2.3 等差数列的等差数列的 前前n n项和（一）项和（一）上页上页下页下页 数列的前数列的前n项和：项和：称为数列称为数列aan n 的前的前n n项和，记作项和，记作S Sn n，S Sn=n=数列的通项公式能反映数列的数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前求数列的前n n项和项和.对于等差数列，对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题和公式，这是一个有待研究的课题.上页上页下页下页你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？世界七大奇迹之一印度泰姬陵上页上页下页下页 泰泰姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为纪念念其其爱妃妃所所建建，她她宏宏伟壮壮观，纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶饰，图案案之之细致令人叫致令人叫绝。传说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图案案，以以相相同同大大小小的的圆宝宝石石镶饰而而成成，共共有有100层（见左左图），奢奢靡靡之之程程度度，可可见一一斑斑。你你知知道道这个个图案案一一共共花花了多少宝石了多少宝石吗？探究发现探究发现上页上页下页下页这是个什么问题呢？从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石 第一百层是100颗宝石即即:1+2+3+100=？2.2 等差数列的前n项和上页上页下页下页 德德国国古古代代著著名名数数学学家家高高斯斯10岁岁的的时时候候就就已已经经解解决决了了这这个个问问题题：123100=？你你知知道高斯是怎样算出来的吗？道高斯是怎样算出来的吗？上页上页下页下页高斯的算法高斯的算法计算：计算：1 2 3 99 100 高高斯斯算算法法的的高高明明之之处处在在于于他发现这他发现这100100个数可以分为个数可以分为5050组：组：第第一一个个数数与与最最后后一一个个数数一一组；组；第第二二个个数数与与倒倒数数第第二二个个数数一组；一组；第第三三个个数数与与倒倒数数第第三三个个数数一组，一组，每每组组数数的的和和均均相相等等，都都等等于于101101，5050个个101101就就等等于于50505050了了。高高斯斯算算法法将将加加法法问问题题转转化化为为乘乘法运算，迅速准确得到了结果法运算，迅速准确得到了结果.首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？上页上页下页下页看看高斯的（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050?高斯的思路有什么特点高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？适合哪种类型？特点：首尾配对（变不同数求和为相同特点：首尾配对（变不同数求和为相同数求和，变加法为乘法）数求和，变加法为乘法）类型：项数是偶数的数列求和类型：项数是偶数的数列求和上页上页下页下页高斯的办法行吗？能否有更高斯的办法行吗？能否有更简洁的求法？简洁的求法？S21=1 +2 +3 +21 2S21=(1+21)+(2+20)+(3+19)+(21+1)S21=21 +20 +19 +121个个22探究探究问题1：第：第1层到到21层一共有多少一共有多少颗圆宝石？宝石？上页上页下页下页这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法-倒序相加法倒序相加法总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？上页上页下页下页问题问题2:等差数列等差数列1,2,3,n,的前的前n项和怎么求？项和怎么求？sn=1 +2 +n-1 +n 2sn=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)sn=n +n-1 +2 +1n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？利用倒序相加法利用倒序相加法上页上页下页下页上式相加得：由等差数列性质可知：问题问题3:对于一般等差数列对于一般等差数列an，首项为，首项为a1公差为公差为d,如何推导如何推导它的前它的前n项和公式项和公式Sn呢？呢？求和公式求和公式等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一等差数列的等差数列的前前n项和等项和等于于首末两项首末两项的和与项数的和与项数乘积的一半乘积的一半。公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.想想一一想想结论：知结论：知结论：知结论：知 三三三三 求求求求 二二二二公式应用公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550上页上页下页下页.根据下列条件，求相应的等差数列的前根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和项和上页上页下页下页在等差数列 an 中，如果已知五个元素 a1,an,n,d,Sn 中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?结论：知结论：知三三求求二二解题思路一般是:建立方程(组)求解等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式上页上页下页下页上页上页下页下页应用举例应用举例例1求前n个正奇数的和.解 由等差数列前n项和公式,得思考:你能看出右图与本题的关系吗?1n1n上页上页下页下页练习：求前n个正偶数的和n11n+1上页上页下页下页 例2 在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如北京天坛圆丘的地面由扇环形石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:(1)第9圈有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?上页上页下页下页北京天坛圆丘上页上页下页下页 解 (1)设从第1圈到第9圈石板数构成数列 ,由题意可知 是等差数列,其中 故(块)(2)由等差数列前n项和公式,方式1(块)上页上页下页下页答 第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板方式2(块)例例2 2、计算、计算（1 1）5+6+7+79+80（2 2）1+3+5+1+3+5+（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+（2 2n-1-1）-2-2n-n例题讲解例题讲解n23230提示：提示：n=76法二：法二：例例3 3 在等差数列在等差数列aan n 中，中，已知已知 ，求，求S S7.7.例题讲解例题讲解知识打包知识打包 存放备用存放备用an=a1+(n-1)d对于对于Sn、an、a1、n、d 五个量，五个量，“知三求二知三求二”.方程方程(组组)思想思想(待定系数法待定系数法)倒序求和法倒序求和法 掌握与应用掌握与应用课堂小结课堂小结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式；2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法；3.3.在两个求和公式中在两个求和公式中,各有五个元素各有五个元素,只要只要知道其中三个元素知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另结合通项公式就可求出另两个元素两个元素.上页上页下页下页（两个）（两个）上页上页下页下页上页上页下页下页2.2.在等差数列在等差数列aan n 中中,已知已知S S1515=90,=90,那么那么a a8 8等于（等于（）A.3 B.4 C.6 D.12A.3 B.4 C.6 D.12C1设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7=1C S72(a1a7)2(a2a6)49.3.设是数列an的前n项和Sn，已知 ，求an4.设是数列an的前n项和Sn，已知 ，求an结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！38