矩阵的条件数

矩阵的条件数矩阵的条件数 考虑线性方程组 它有准确解为:如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化，得 它有准确解:，可以看出，方程组的解变化非常大。定义定义1：设设 ，|.|是是Cnxn上的一个矩上的一个矩阵范数阵范数.矩阵矩阵A的的条件数条件数定义为定义为l矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数常用的条件数有：常用的条件数有：-条件数：条件数：1-条件数：条件数：2-条件数：条件数：l矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数常用的条件数有：常用的条件数有：特别地，当特别地，当A是一个正规矩阵时，是一个正规矩阵时，l矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数例例1：设设 求求A的条件数的条件数l矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵条件数的性质：矩阵条件数的性质：(1)l矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数(2)(3)(4)当当U是酉矩阵时，则是酉矩阵时，则(5)当当A、B是可逆矩阵时，则是可逆矩阵时，则n阶阶Hilbert矩阵矩阵l矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数Hilbert矩阵常常出现在数据拟合和函数逼近的研矩阵常常出现在数据拟合和函数逼近的研究中究中.1.若条件数若条件数cond(A)较小（接近较小（接近1），就称），就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的良态的或或好条件的好条件的.l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用2.若条件数若条件数cond(A)较大，就称较大，就称A关于求逆关于求逆矩阵或解线性方程组为矩阵或解线性方程组为病态的病态的或或坏条件坏条件的的.注：注：cond(A)多大多大A算病态，通常没有具体的算病态，通常没有具体的定量标准；定量标准；注：当矩阵当矩阵A十分病态时，就说明十分病态时，就说明A已十分接已十分接 近一个奇异矩阵。近一个奇异矩阵。l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响的影响l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用定理定理1 设设 是一个可逆矩阵，是一个可逆矩阵，是一个矩阵，是一个矩阵，|.|是是Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数.若若 则则 可逆，且有可逆，且有1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响的影响l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用推论推论1 设设 ，若存在若存在Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数|.|使得使得 则有则有2.在解线性方程组在解线性方程组Ax=b时系数矩阵时系数矩阵A和向和向量量b的数据误差对解的误差的影响的数据误差对解的误差的影响l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用定理定理2 设设 ，而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范数数|.|相容相容.设设x是线性方程组是线性方程组Ax=b的解，的解，是是线性方程组线性方程组 的解若的解若 ，则，则2.在解线性方程组在解线性方程组Ax=b时系数矩阵时系数矩阵A和向和向量量b的数据误差对解的误差的影响的数据误差对解的误差的影响l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用2.在解线性方程组在解线性方程组Ax=b时系数矩阵时系数矩阵A和向和向量量b的数据误差对解的误差的影响的数据误差对解的误差的影响l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用定理定理3 设设 ，而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范数数|.|相容相容.若向量若向量 分别满足分别满足Ax=b，则有，则有例例2.设设 证明对任意范数，当证明对任意范数，当 时有时有 .因而矩阵因而矩阵A是病态的是病态的.l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用例例3.设设 为使线性方程组为使线性方程组Ax=b的解的解x与与 的的解解 的相对误差的相对误差 ，试问，试问 应不超过何值？应不超过何值？l误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用误差估计中的应用1.设设 ，求求A的条件数的条件数l作业作业2.设设 且且 试估计线性方程组试估计线性方程组Ax=b的的解解x与与Ax=b1 的解的解x1的相对误差的相对误差 .l作业作业