矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵的初等变换v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 显然 交换B的第1行与第2行即得B1 增广矩阵的比较 例如2 2 显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2 v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如增广矩阵的比较 2 2 显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3 v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如增广矩阵的比较 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去 v矩阵的初等变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 rirj(cicj)对调i j两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上 v初等变换的符号 换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换v矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价 记作 A B 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A与B行等价 记作 A Br 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A与B列等价 记作 A Bcv等价关系的性质 (i)反身性 AA (ii)对称性 若AB 则BA (iii)传递性 若AB BC 则AC r3r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩阵初等变换举例 r1r2r2r3r32r1r43r11 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 3行阶梯形矩阵特点：行阶梯形矩阵特点：可画出一条阶梯线，线的下方全为可画出一条阶梯线，线的下方全为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元个非零元行阶梯形矩阵 非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1 1，且这，且这些非零元所在列的其它元素都为些非零元所在列的其它元素都为0行最简形矩阵特点：行最简形矩阵特点：行最简形矩阵 可以证明 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 r3r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩阵初等变换举例 r1r2r2r3r32r1r43r11 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r31 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 3 因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组 v行最简形矩阵与线性方程组的解 v矩阵初等变换举例 rr.为任意常数为任意常数其中其中cv矩阵初等变换举例 所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的 v行最简形矩阵与线性方程组的解 rrv矩阵初等变换举例 对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0 v矩阵的标准形c比如上述行最简形矩阵经初等列变换得 rrc注：注：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价等价类，标准形类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.3.行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的的行数也是由方程组唯一确定的 4.行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形注：注：1.一个矩阵的行（列）最简形矩阵是唯一确定的。一个矩阵的行（列）最简形矩阵是唯一确定的。A nm把他变为行阶梯形把他变为行阶梯形和行最简形和行最简形变换变换总可经过有限次初等行总可经过有限次初等行2.2.对于任何矩阵对于任何矩阵5.增广矩阵增广矩阵系数矩阵系数矩阵常数项常数项结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！16