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麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦克斯韦方程组不再适用。克斯韦方程组不再适用。因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系。场强以及界面上电荷电流的关系。第五节第五节 电磁场边值关系电磁场边值关系 边边值值关关系系是是描描述述两两侧侧场场量量与与界界面面上上电电荷荷电电流流的的关关系系。由由于于场场量量跃跃变变的的原原因因是是面面电电荷荷、电电流流激激发发附附加加的的电电磁磁场场，而而积积分分形形式式的的麦麦氏氏方方程程可可以以应应用用于于任任意意不不连连续续分分布布的的电电荷荷电电流流所所激激发发的的场场，因因此此，在在两两介介质质分分界界面面上上，应应该该用用麦麦氏氏方方程程组组的的积积分分形形式式求求解解电电磁磁场场。边边值值关关系系就就是是两两介介质质分分界界面面上上经经过过化化简简以以后的麦氏方程组的积分形式后的麦氏方程组的积分形式。下下面面我我们们分分别别求求出出场场量量的的法法向向分分量量和和切切向向分分量量的跃变。的跃变。麦氏方程组的积分形式为：麦氏方程组的积分形式为：(1)(2)(3)(4)我们先从最简单的开始。在分界面上化简我们先从最简单的开始。在分界面上化简当当柱柱体体的的厚厚度度趋趋于于零零时时,对对侧侧面面的的积积分分趋趋于于零零,对对上上下下底底面面积积分分得得(B2nB1n)S=0。1.关于磁感强度的边值关系：关于磁感强度的边值关系：将方程将方程应用到两介质应用到两介质B2n=B1n或矢量形式：或矢量形式：n(B2-B1)=0此式表示界面两侧此式表示界面两侧B的法向分量连续。的法向分量连续。由此得到：由此得到：分分界界面面上上的的一一个个扁扁平平状状柱柱体体表表面面。上上式式左左边边的的面面积积分分遍遍及及柱柱体体的的上上下底和侧面。下底和侧面。质质边边界界上上的的一一个个扁扁平平状状柱柱体体表表面面。上上式式左左边边的的面面积积分分遍遍及及柱柱体体的的上上下下底底和和侧侧面面。当当柱柱体体的的厚厚度度趋趋于于零零时时,对对侧侧面面的的积积分分趋趋于于 零零,对对 上上 下下 底底 面面 积积 分分 得得(D2nD1n)S。2.关于电位移的边值关系：关于电位移的边值关系：将方程将方程应用到两介应用到两介(D2nD1n)S=f S 即即D2nD1n=f n(D2-D1)=f或矢量形式：或矢量形式：由此得到：由此得到：为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏方程方程:上上式式左左边边的的面面积积分分遍遍及及柱柱体体的的上上下下底底和和侧侧面面,Qf和和Qp分分别别为为柱柱体体内内的的总总自自由由电电荷荷和和总总束束缚缚电电荷荷,它它们们等等于于相相应应的的电电荷荷面面密密度度f 和和p乘乘以以底底面面积积S。当当柱柱体体的的厚厚度度趋趋于于零零时时,对侧对侧应用到两介质边界上的一个扁平应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。状柱体。面的积分趋于零面的积分趋于零,对上下底面积分得对上下底面积分得0(E2nE1n)S。如如右右图图:通通过过薄薄层层右右侧侧面面进入介质进入介质2的正电荷为的正电荷为:-P2dS，由由介介质质1通通过过薄薄层层左左侧侧进进入入薄薄层层的的正正电电荷荷为为P1dS，因此，薄层内，因此，薄层内出现的净余电荷为出现的净余电荷为(P2 P1)dS，以，以P表示束缚电荷面密度，表示束缚电荷面密度，有有0(E2nE1n)S=Qf+Qp0(E2nE1n)=f+p 由此，由此，n为分界面上由介质为分界面上由介质1指向介质指向介质2的法线。的法线。由此看出，极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相关，由此看出，极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相关，Dn的跃变与自由电荷面密度相关，的跃变与自由电荷面密度相关，En的跃变与总的跃变与总电荷面密度相关。电荷面密度相关。与与0(E2nE1n)=f+p 相加，相加，将将利用利用得：得：由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况下只给出自由电荷，因而实际上主要应用关于下只给出自由电荷，因而实际上主要应用关于Dn的边值关系式。的边值关系式。面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变，面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变，我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向面电流分布面电流分布:面电流实际上是在靠近表面电流实际上是在靠近表面的相当多分子层内电流面的相当多分子层内电流的平均宏观效应。的平均宏观效应。3.关于磁场强度的边值关系：关于磁场强度的边值关系：分量生跃变。我们先说明表分量生跃变。我们先说明表面电流分布的概念。面电流分布的概念。图图示示为为界界面面的的一一部部分分，其其上上有有面面电电流流，其其线线密密度度为为，l为为横横截截线，垂直流过线，垂直流过l段的电流为段的电流为:I=l关于磁场强度的边值关系：关于磁场强度的边值关系：旁旁取取一一狭狭长长形形回回路路，回回路路的的一一长长边边在在介介质质1中中，另另一一长长边边在在介介质质2中中。长边长边l与面电流与面电流正交。正交。定定义义电电流流线线密密度度，其其大大小小等等于于垂垂直通过单位横截线的电流。直通过单位横截线的电流。由于存在面电流，在界面两侧的磁由于存在面电流，在界面两侧的磁如图，在界面两如图，在界面两场强度发生跃变。场强度发生跃变。在狭长形回路上应用麦氏方程：在狭长形回路上应用麦氏方程：取取回回路路上上下下边边深深入入到到足足够够多多分分子子层层内部，使面电流完全通过回路内部。内部，使面电流完全通过回路内部。其中其中t表示沿表示沿l的切向分量。的切向分量。If=fl由于回路所围面积趋于零，由于回路所围面积趋于零，而而D/t为有限量，因而为有限量，因而从宏观来说回路短边的长度仍从宏观来说回路短边的长度仍可看作趋于零，因而有可看作趋于零，因而有通过回路内的总自由电流为通过回路内的总自由电流为把这些式子代入把这些式子代入得得:上上式式可可以以用用矢矢量量形形式式表表示示。设设l为为界界面面上上任任一一线线元元，t为为l方方向向上上的的单单位矢量。流过位矢量。流过l的自由电流为的自由电流为对于狭长形回路，应用对于狭长形回路，应用得得由于由于l为界面上任一矢量，因此为界面上任一矢量，因此上式再用上式再用n叉乘叉乘注意到注意到这就是磁场切向分量的边值关系。这就是磁场切向分量的边值关系。得到得到式中式中/表示投射到界面上的矢量。表示投射到界面上的矢量。4.关于电场强度的边值关系：关于电场强度的边值关系：即即E2tE1t=0同理，应用同理，应用可得电场切向分量的边值关系。可得电场切向分量的边值关系。此式表示界面两侧此式表示界面两侧E的切向分量连续。的切向分量连续。对应的矢量形式为：对应的矢量形式为：以以后后在在公公式式中中出出现现的的和和,除除特特别别声声明明者者外外，都都代代表表自自由由电荷面密度和自由电荷线密度，不再写出角标电荷面密度和自由电荷线密度，不再写出角标f。这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面两这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面两侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是边界侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是边界上的场方程。上的场方程。或或总括我们得到的边值关系为：总括我们得到的边值关系为：同样，把边值关系应用到上板与介质同样，把边值关系应用到上板与介质2界面上得界面上得无无穷穷大大平平行行板板电电容容器器内内有有两两层层介介质质(如如图图)，极极板板上面电荷密度上面电荷密度f，求电场和束缚电荷分布。，求电场和束缚电荷分布。例例:解解:由由对对称称性性可可知知，电电场场沿沿垂垂直直于于平平板板的的方方向向，把把边边值值关关系系应应用用于于下下板板与与介介质质1界界面面上上，因因导导体体内内场场强强为零，故得为零，故得由此可得：由此可得：束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处,f=0，由，由0(E2nE1n)=f+p得：得：在介质在介质1与下板分界处，由与下板分界处，由0(E2nE1n)=f+p得得容易验证容易验证说明介质整体是电中性的。说明介质整体是电中性的。在介质在介质2与上板分界处，与上板分界处，
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