二重积分的换元法

第三讲第三讲 二重积分的换元法二重积分的换元法内容提要内容提要 1.1.二重积分的换元积分公式；二重积分的换元积分公式；2.2.极坐标系下二重积分的计算。极坐标系下二重积分的计算。教学要求教学要求 1.掌握二重积分的换元积分公式；掌握二重积分的换元积分公式；2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。D D复习：二重积分复习：二重积分在直角坐标系下在直角坐标系下的计算的计算1.在直角坐标系下在直角坐标系下二重积分二重积分2.二重积分二重积分在直角坐标系下在直角坐标系下的计算：的计算：扇环扇环的面积的面积 的近似公式：的近似公式：预备知识：预备知识：1.如图如图:1.1.二重积分的换元法二重积分的换元法(1)(1)在直角坐标系下计算二重积分时，在直角坐标系下计算二重积分时，必须化为必须化为四个小区域四个小区域来计算，来计算，因此，有必要学习在其他坐标系下因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重积分如极坐标系下计算二重积分.这就需要进这就需要进行变量代换，有如下定理行变量代换，有如下定理.下非常烦琐，下非常烦琐，相当麻烦。相当麻烦。在某些情况在某些情况 二重积分化为二次积分时，根据积分区域二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D 的特征，可分为以下三种情况：的特征，可分为以下三种情况：（1）极点）极点 O 在区域在区域 D 的外部的外部（2）极点）极点 O 在区域在区域 D 的边界上的边界上（3）极点）极点 O 在区域在区域 D 的内部的内部 计算计算例例1 解解由直角坐标化由直角坐标化极坐标公式极坐标公式解解由直角坐标化由直角坐标化极坐标公式极坐标公式计算计算 练习练习 计算计算例例2 解解解解 2.2.二重积分的换元法（二重积分的换元法（2 2）例例1 1解解例例2 2解解小小 结结一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，而被积函数中含有而被积函数中含有 的项时，的项时，二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式采用极坐标采用极坐标计算往往比较方便计算往往比较方便.基本要求基本要求:变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）思考题思考题思考题解答思考题解答