有限元分析基础

1、 有 限 元 分 析 基 础2、 ANSYS应 用 2 内 容 结 构第 一 章 概 述第 六 章 空 间 问 题 的 有 限 单 元 法第 七 章 轴 对 称 旋 转 单 元第 五 章 等 参 元第 四 章 平 面 结 构 问 题 的 有 限 单 元 法第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法第 二 章 结 构 几 何 构 造 分 析 3 1.1 有 限 单 元 法 的 概 念1.2 有 限 单 元 法 基 本 步 骤1.3 工 程 实 例第 一 章 概 述 4 1.1 有 限 单 元 法 的 概 念基 本 思 想 :借 助 于 数 学 和 力 学 知 识 ， 利 用 计 算 机技 术 而 解 决 工 程 技 术 问 题 。Finite Element MethodFEMFinite Element Analysis 第 一 章 概 述 5 第 一 章 概 述三 大 类 型 (按 其 推 导 方 法 分 ):(1) 直 接 刚 度 法 (简 称 直 接 法 ): 根 据 单 元 的 物 理 意 义 ， 建 立 有 关 场 变 量 表 示 的单 元 性 质 方 程 。 (2) 变 分 法 直 接 从 求 解 泛 函 的 极 值 问 题 入 手 ， 把 泛 函 的 极植 问 题 规 划 成 线 性 代 数 方 程 组 ， 然 后 求 其 近 似 解 的一 种 计 算 方 法 。 (3) 加 权 余 量 法 直 接 从 控 制 方 程 中 得 到 有 限 单 元 方 程 ， 是 一 种近 似 解 法 。 6 1.2 有 限 单 元 法 基 本 步 骤(1) 待 求 解 域 离 散 化(2) 选 择 插 值 函 数(3) 形 成 单 元 性 质 的 矩 阵 方 程(4) 形 成 整 体 系 统 的 矩 阵 方 程(5) 约 束 处 理 ， 求 解 系 统 方 程(6) 其 它 参 数 计 算第 一 章 概 述 7图 1-2 工 程 问 题 有 限 单 元 法 分 析 流 程 第 一 章 概 述 8 1.3 工 程 实 例 (a) 铲 运 机 举 升 工 况 测 试 (b) 铲 运 机 工 作 装 置 插 入 工 况 有 限 元 分 析图 1-3 WJD-1.5型 电 动 铲 运 机 第 一 章 概 述 9 (a) KOMATSU液 压 挖 掘 机 (b) 某 液 压 挖 掘 机 动 臂 限 元 分 析图 1-4 液 压 挖 掘 机 第 一 章 概 述 10 图 1-5 驾 驶 室 受 侧 向 力 应 力 云 图 图 1-6 接 触 问 题 结 构 件 应 力 云 图 第 一 章 概 述 11 图 1-7 液 压 管 路 速 度 场 分 布 云 图 图 1-8 磨 片 热 应 力 云 图 图 1-9 支 架 自 由 振 动 云 图 第 一 章 概 述 12 第 二 章 结 构 几 何 构 造 分 析2.1 结 构 几 何 构 造 的 必 要 性 2.2 结 构 计 算 基 本 知 识2.3 结 构 几 何 构 造 分 析 的 自 由 度 与 约 束 13 2.1 结 构 几 何 构 造 的 必 要 性 结 构 是 用 来 承 受 和 传 递 载 荷 的 。 如 果 不 计材 料 的 应 变 ， 在 其 受 到 任 意 载 荷 作 用 时 其 形 状和 位 置 没 有 发 生 刚 体 位 移 时 ， 称 之 为 几 何 不 变结 构 或 几 何 稳 定 结 构 ， 反 之 则 称 为 几 何 可 变 结构 或 几 何 不 稳 定 结 构 。 几 何 可 变 结 构 不 能 承 受和 传 递 载 荷 。 对 结 构 进 行 几 何 构 造 分 析 也 是 能够 对 工 程 结 构 作 有 限 单 元 法 分 析 的 必 要 条 件 。 第 二 章 结 构 几 何 构 造 分 析 14 (a) 结 构 本 身 可 变 (b) 缺 少 必 要 的 约 束 条 件 (c) 约 束 汇 交 于 一 点 图 2-1 几 何 可 变 结 构 第 二 章 结 构 几 何 构 造 分 析 15 2.2 结 构 计 算 基 本 知 识2.2.1 结 构 计 算 简 图 实 际 结 构 总 是 很 复 杂 的 ， 完 全 按 照 结 构 的 实 际 情 况 进 行 力学 分 析 是 不 可 能 的 ， 也 是 不 必 要 的 ， 因 此 在 对 实 际 结 构 进 行力 学 计 算 之 前 ， 必 须 将 其 作 合 理 的 简 化 ， 使 之 成 为 既 反 映 实际 结 构 的 受 力 状 态 与 特 点 ， 又 便 于 计 算 的 几 何 图 形 。 这 种 被抽 象 化 了 的 简 单 的 理 想 图 形 称 之 为 结 构 的 计 算 简 图 ， 有 时 也称 为 结 构 的 力 学 模 型 。 结 构 计 算 所 常 用 的 结 点 和 支 座 的 简 化 形 式 : （ 1） 结 点 ： 铰 结 点 ； 刚 结 点 ； 混 合 结 点 。（ 2） 支 座 ： 活 动 铰 支 座 ； 固 定 铰 支 座 ； 固 定 支座 ； 定 向 支 座 第 二 章 结 构 几 何 构 造 分 析 16 2.2.2 结 构 的 分 类 与 基 本 特 征 (1)按 结 构 在 空 间 的 位 置 分 结 构 可 分 为 平 面 结 构 和 空 间 结 构 两 大 类(2) 按 结 构 元 件 的 几 何 特 征 分 杆 系 结 构 ： 梁 、 拱 、 桁 架 、 刚 架 、 桁 构 结 构 等 。 板 壳 结 构 实 体 结 构 实 体 结 构 的 长 、 宽 、 高 三 个 尺 寸 都 很 大 ， 具 有 同 一 量 级 。 混 合 结 构 第 二 章 结 构 几 何 构 造 分 析 17 2.3 结 构 几 何 构 造 分 析 的 自 由 度 与 约束 (1) 自 由 度 指 结 构 在 所 在 空 间 运 动 时 ， 可 以 独 立 改 变 的 几 何参 数 的 数 目 ， 也 就 是 确 定 该 结 构 位 置 时 所 需 的 独 立 参数 的 数 目 。(2) 约 束 指 减 少 结 构 自 由 度 的 装 置 ， 即 限 制 结 构 结 构 运 动的 装 置 。 a. 支 座 链 杆 的 约 束 b. 铰 的 约 束 : 单 铰 ； 复 铰 ； 完 全 铰 与不 完 全 铰 。第 二 章 结 构 几 何 构 造 分 析 18 3.1 结 构 离 散 与 向 量 表 示 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法3.2 位 移 函 数 及 单 元 的 刚 度 矩 阵 3.3 坐 标 变 换 及 单 元 刚 度 矩 阵 3.4 整 体 刚 度 矩 阵 3.5 约 束 处 理 及 求 解 3.6 计 算 示 例 3.7 ANSYS桁 架 结 构 计 算 示 例3.8 ANSYS刚 架 结 构 计 算 示 例 19 3.1 结 构 离 散 与 向 量 表 示 工 程 上 许 多 由 金 属 构 件 所 组 成 的 结 构 ， 如 塔 式 桁 构支 承 架 、 起 重 机 起 重 臂 架 、 钢 结 构 桥 梁 、 钢 结 构 建 筑 等可 以 归 结 为 杆 系 结 构 。 杆 系 结 构 按 各 杆 轴 线 及 外 力 作 用线 在 空 间 的 位 置 分 为 平 面 杆 系 和 空 间 杆 系 结 构 。 杆 系 结 构 可 以 由 杆 单 元 、 梁 单 元 组 成 。 (a) Liebherr塔 式 起 重 机 (b) Liebherr履 带 式 起 重 机 (c) 钢 结 构 桥 梁 (d) 埃 菲 尔 铁 塔 图 3-1 杆 系 结 构 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 20 3.1.1 结 构 离 散 化 由 于 杆 系 结 构 本 身 是 由 真 实 杆 件 联 接 而 成 ， 故 离 散 化 比 较 简 单 ，一 般 将 杆 件 或 者 杆 件 的 一 段 ( 一 根 杆 又 分 为 几 个 单 元 )作 为 一 个 单元 ， 杆 件 与 杆 件 相 连 接 的 交 点 称 为 结 点 。杆 系 结 构 的 离 散 化 的 要 点 可 参 考 如 下 ： a. 杆 件 的 转 折 点 、 汇 交 点 、 自 由 端 、 集 中 载 荷 作 用 点 、 支 承 点以 及 沿 杆 长 截 面 突 变 处 等 均 可 设 置 成 结 点 。 这 些 结 点 都 是 根 据 结 构本 身 特 点 来 确 定 的 。 b. 结 构 中 两 个 结 点 间 的 每 一 个 等 截 面 直 杆 可 以 设 置 为 一 个 单 元 。变 换 为 作 用 在 结 点 上 的 等 效 结 点 载 荷 。 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 21 c. 变 截 面 杆 件 可 分 段 处 理 成 多 个 单 元 ， 取 各 段 中 点 处 的 截 面 近似 作 为 该 单 元 的 截 面 ， 各 单 元 仍 按 等 截 面 杆 进 行 计 算 。 d. 对 曲 杆 组 成 的 结 构 ， 可 用 多 段 折 线 代 替 ， 每 端 折 线 为 一 个 单元 。 如 若 提 高 计 算 精 度 ， 也 可 以 在 杆 件 中 间 增 加 结 点 。 e. 在 有 限 元 法 计 算 中 ， 载 荷 作 用 到 结 点 上 。 当 结 构 有 非 结 点 载荷 作 用 时 ， 应 该 按 照 静 力 等 效 的 原 则 将 其 等 效 结 点 荷 载 。第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 (a) 结 点 载 荷 处 理 方 式 (b) 等 效 结 点 载 荷 处 理 方 式图 3-2杆 系 结 构 离 散 化 示 意 图 22 3.1.2 坐 标 系 图 3-3 坐 标 系 示 意 图 为 了 建 立 结 构 的 平 衡 条 件 ， 对 结 构 进 行 整 体 分 析 ，尚 需 要 建 立 一 个 对 每 个 单 元 都 适 用 的 统 一 坐 标 系 ， 即 结构 坐 标 系 或 称 之 为 整 体 坐 标 系 、 总 体 坐 标 系 。 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 23 3.1.3 向 量 表 示 在 有 限 单 元 法 中 力 学 向 量 的 规 定 为 ： 当 线 位 移 及 相 应 力 与 坐 标轴 方 向 一 致 时 为 正 ， 反 之 为 负 ； 转 角 位 移 和 力 矩 ， 按 右 手 法 则 定 出的 矢 量 方 向 若 与 坐 标 轴 正 向 相 一 致 时 为 正 。 对 于 任 意 方 向 的 力 学 向量 ， 应 分 解 为 沿 坐 标 轴 方 向 的 分 量 。 (a)刚 架 结 构 示 意 图 (b) 结 点 位 移 和 结 点 力 分 向 量 图 3-4 平 面 刚 架 分 析 示 意 图 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 24 Tiiii vu Tjjjj vu 结 点 位 移 列 向 量 为 单 元 e结 点 位 移 列 向 量 为 Tjjjiiijie uu 结 点 力 向 量 为 Teiiiei MVUF Tejjjej MVUF 单 元 e结 点 力 列 向 量 为 Tejjjiiiejeie MVUMVUFFF 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 25 3.2 位 移 函 数 及 单 元 的 刚 度 矩 阵 3.2.1 轴 向 拉 压 杆 单 元 的 位 移 的 函 数 有 限 单 元 法 分 析 中 ， 虽 然 对 不 同 结 构 可 能 会 采 取 不 同 的 单 元类 型 ， 采 用 的 单 元 的 位 移 模 式 不 同 ， 但 是 构 建 的 位 移 函 数 的 数 学模 型 的 性 能 、 能 否 真 实 反 映 真 实 结 构 的 位 移 分 布 规 律 等 ， 直 接 影响 计 算 结 果 的 真 实 性 、 计 算 精 度 及 解 的 收 敛 性 。 为 了 保 证 解 的 收 敛 性 ， 选 用 的 位 移 函 数 应 当 满 足 下 列 要 求 : a. 单 元 位 移 函 数 的 项 数 ， 至 少 应 等 于 单 元 的 自 由 度 数 。 它的 阶 数 至 少 包 含 常 数 项 和 一 次 项 。 至 于 高 次 项 要 选 取 多 少 项 ， 则应 视 单 元 的 类 型 而 定 。第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 26 由 单 元 结 点 位 移 ， 确 定 待 定 系 数 项 当 时 ， 当 时 ， 所 以 用 结 点 位 移 表 示 其 中 、 分 别 表 示 当 ， 时 ； ， 时 的 单 元 内的 轴 向 位 移 状 态 ， 故 称 为 轴 向 位 移 形 函 数 。0 x lx iuu juu iu1 l uu ij 2 jjuiiu uNNxu )( lxN iu 1 lxN ju iuN juN 1iu 0ju 0iu 1ju 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 b. 单 元 的 刚 体 位 移 状 态 和 应 变 状 态 应 当 全 部 包 含在 位 移 函 数 中 。 c. 单 元 的 位 移 函 数 应 保 证 在 单 元 内 连 续 ， 以 及 相邻 单 元 之 间 的 位 移 协 调 性 。 27 3.2.2 梁 单 元 平 面 弯 曲 的 位 移 函 数 梁 单 元 平 面 弯 曲 仅 考 虑 结 点 的 四 个 位 移 分 量 ， ， ， ，由 材 料 力 学 知 ,各 截 面 的 转 角 : 故 梁 单 元 平 面 弯 曲 的 位 移 表 达 式 可 分 为 仅 包 含 四 个 待 定 系数 ， ， ， 的 多 项 式 单 元 结 点 位 移 条 件 当 时 ， 当 时 ，i i j jxv 1 2 3 4 342321)( xxxxv 0 x ivv ixv lx jvv jxv jiji jiji ii lvvl lvvl v 234 23 21 12 213 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 28 322 3322 322 3322 11 23 12 231 xlxlN xlxlN xlxlxN xlxlN jjviiv jjjjviiiiv NvNNvNxv )( ejjii juiu NNNN NNvu 00 0000 eNf 称 为 形 函 数 矩 阵 。 N第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 29 3.2.3 单 元 的 应 力 应 变 在 弹 性 范 围 内 ， 并 且 不 考 虑 剪 力 的 影 响 时 ， 平 面刚 架 单 元 内 任 一 点 的 轴 向 线 应 变 由 两 部 分 组 成 ， 即 轴向 应 变 与 弯 曲 应 变 之 和 ， 其 轴 向 应 变 与 平 面 桁 架 轴 向应 变 相 同 。 轴 向 应 变 为 弯 曲 应 变 为 y为 梁 单 元 任 意 截 面 上 任 意 点 至 中 性 轴(x轴 )的 距 离 。 得 出 平 面 刚 架 单 元 应 变 xulx 22xvybx 图 3-5 弯 曲 应 变 计 算 示 意 图 22xvyxubxlxx ex B 则 xllyxllylxllyxllylB 232232 621261641261 平 面 刚 架 梁 单 元 的 应 变 转 换 矩 阵 。 B exx BEE 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 30 3.2.4 平 面 刚 架 梁 单 元 的 刚 度 矩 阵 梁 单 元 的 i， j结 点 发 生 虚 位 移 为 T* jjjiiie uu 单 元 内 相 应 的 虚 应 变 应 为 ex B * 由 虚 功 原 理 有 dxdydzF xv xee T*T* eve dxdydzBEB TT* 由 于 结 点 虚 位 移 的 任 意 性 ， 故 上 式 可 写成 e eeeve kdxdydzBEBF T 上 式 称 为 局 部 坐 标 下 的 平 面 刚 架 单 元 的 刚 度 方 程 ，简 称 为 单 刚 。 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 31 dxdydzBEBk ve T 横 截 面 积 A 横 截 面 对 形 心 轴 z的 静 矩 S 横 截 面 对 主 惯 性 轴 z的 惯 性 矩 I 得 到 四 个 3 3子 块 所 组 成 的 局 部 坐 标 系 下 的 平 面刚 架 梁 单 元 的 单 元 刚 度 矩 阵 。 AdydzA 0A ydydzS A dydzyI 2 lEIl EIlEIlEI l EIlEIl EIl EI lEAlEA lEIl EIlEIlEI lEIl EIlEIlEI lEAlEAkk kkk ejjeji eijeiie 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 22 2323 22 2323 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 32 平 面 桁 架 的 单 元 刚 度 矩 阵 为 lEAlEA lEAlEAkk kkk ejjeji eijeiie 空 间 桁 架 单 元 每 个 结 点 有 3个 位 移 分 量 ， 其 单 元 结 点位 移 列 向 量 Tjjjiiijie wuwu 空 间 桁 架 局 部 坐 标 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 是 6 6的 000000 000000 0000 000000 000000 0000 lEAlEA lEAlEAkk kkk ejjeji eijeiie 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 33 空 间 刚 架 单 元 每 个 结 点 有 6个 位 移 分 量 ， 其 单 元 结 点 位 移 列 向 量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijie wvuwvu 空 间 刚 架 局 部 坐 标 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 是 12 12的 。 (a) 杆 单 元 i端 产 生 单 位 位 移 (b) 杆 单 元 j端 产 生 单 位 位 移图 3-6 平 面 桁 架 单 元 刚 度 系 数 的 物 理 意 义 (a) 梁 单 元 i端 产 生 单 位 位 移 (b) 梁 单 元 j端 产 生 单 位 位 移 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 34 (c) 梁 单 元 i端 产 生 单 位 角 位 移 (d) 梁 单 元 j端 产 生 单 位 角 位 移图 3-7 平 面 刚 架 单 元 刚 度 系 数 的 物 理 意 义 3.2.5 单 元 的 刚 度 矩 阵 的 性 质 a. 单 元 刚 度 矩 阵 仅 与 单 元 的 几 何 特 征 和 材 料 性 质 有 关 。 仅 与 单 元的 横 截 面 积 A、 惯 性 矩 I、 单 元 长 度 l、 单 元 的 弹 性 模 量 E有 关 。 b. 单 元 刚 度 矩 阵 是 一 个 对 称 阵 。 在 单 元 刚 度 矩 阵 对 角 线 两 侧 对 称位 置 上 的 两 个 元 素 数 值 相 等 ， 即 ， 根 据 是 反 力 互 等 定 理 。 c. 单 元 刚 度 矩 阵 是 一 个 奇 异 阵 。 d. 单 元 刚 度 矩 阵 可 以 分 块 矩 阵 的 形 式 表 示 。 具 有 确 定 的 物 理 意 义 。第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 35 3.3 坐 标 变 换 及 单 元 刚 度 矩 阵 3.3.1 坐 标 变 换 在 整 体 坐 标 系 中 单 元 结 点 力 向 量 和 结 点 位 移 列 向 量 可 分 别 表示 成 Tjjjiiiejeie vuvu Tjjjiii jie MYXMYXFFF (a) 向 量 转 换 分 析 (b) 向 量 转 换图 3-8 向 量 转 换 示 意 图 sincos iii vuu cossin iii vuv ii 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 36 iiiiii vuvu 100 0cossin 0sincos对 于 梁 单 元 如 图 3-8(b)所 示 ， 则 有 jjjiiijjjiii vuvuvuvu 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos可 简 写 为 ee T 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 37 同 理 ee FTF 式 中 平 面 刚 架 梁 单 元 的 从 局 部 坐 标 系 向 整 体 坐 标 系 的转 换 矩 阵 。 T 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos T3.3.2 整 体 坐 标 系 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 eeeeeee kTkTTkTF T1 式 中 整 体 坐 标 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 。 ek TTkTk ee 和 一 样 ， 为 对 称 阵 、 奇 异 阵 。 ek ek 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 38 3.4 整 体 刚 度 矩 阵 3.4.1 整 体 刚 度 矩 阵 的 建 立 整 体 刚 度 矩 阵 也 称 之 为 结 构 刚 度 矩 阵 或 总 体 刚 度 矩 阵 ， 简 称总 刚 。 整 体 刚 度 矩 阵 的 求 解 是 建 立 在 结 构 平 衡 条 件 的 基 础 之 上 ， 因 此 研 究 对 象 以 整 体 坐 标 系 为 依 据 。 图 3-9 载 荷 向 量 示 意 图 如 右 图 所 示 刚 架 结 构 ， 其 结 点 载 荷 列 向 量 分 别 为 T111.1 MPPP yx T2212.2 MPPP yx T3331.3 MPPP yx T444.4 MPPP yx 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 39 结 构 载 荷 列 向 量 T4321 PPPPP T44433322211 1 MPPMPPMpPMPPP yxyxyxyx 结 点 位 移 列 向 量 T4321 T444333222111 vuvuvuvu 对 于 结 点 1对 于 结 点 2 对 于 结 点 3对 于 结 点 4 111111111 MPPMYX yx 111 PF 222222222121212 MPPMYXMYX yx 22212 PFF 333333333232323 MPPMYXMYX yx 33323 PFF 444343434 MPPMYX yx 434 PF 建 立结 点平 衡条 件方 程式 如右 表 。 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 40 用 分 块 矩 阵 的 形 式 ， 建 立 杆 端 内 力 与 结 点 位 移 的 关 系 式 。对 于 单 元 1有 简 写 为 其 中 单 元 1的 刚 度矩 阵 关 系 式 展 开 为 21122121 1121111211 kk kkFF 111 kF 122121 1121111 kk kkk 2122112112 2112111111 kkF kkF 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 41 对 于 单 元 2有 简 写 为 其 中 单 元 2的 刚 度 矩 阵 关 系 式 展 开 为 32233232 2232222322 kk kkFF 222 kF 233232 2232222 kk kkk 3233223223 2223222222 kkF kkF 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 42 对 于 单 元 3有 简 写 为 其 中 单 元 3的 刚 度 矩阵 关 系 式 展 开 为 43344343 3343333433 kk kkFF 333 kF 344343 3343333 kk kkk 4344334334 4334333333 kkF kkF 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 43 单 元 刚 度 矩 阵 由 2 2的 子 矩 阵 组 成 ， 每 个 子 矩 阵是 3 3的 方 阵 。 的 上 角 标 表 示 单 元 编 号 ， 下 角 标 表示 单 元 j端 单 位 位 移 所 引 起 的 i端 相 应 力 。 将 杆 端 内 力 与 结 点 位 移 关 系 式 代 入 结 点 的 平 衡 条 件方 程 式 中 ， 经 整 理 得 ： eijk 43214321344343 334333233232 223222122121 112111 000 000 PPPPkk kkkk kkkk kk 简 写 为 PK 称 之 为 结 构 原 始 平 衡 方 程 。 其 中 344343 334333233232 223222122121 112111 000 000 kk kkkk kkkk kkK 为 整 体 刚 度 矩 阵 。 K 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 44 3.4.2 整 体 刚 度 矩 阵 的 集 成 整 体 刚 度 矩 阵 是 由 在 整 体 坐 标 系 下 ， 矩 阵 按 照 结 点 编 号 的顺 序 组 成 的 行 和 列 的 原 则 ， 将 全 部 单 元 刚 度 矩 阵 扩 展 成 n n方阵 后 对 号 入 座 叠 加 得 到 。 对 于 单 元 1 0000 0000 00 00122121 1121111 kk kkK 对 于 单 元 2 0000 00 00 0000 233232 2232222 kk kkK 对 于 单 元 3 344343 3343333 00 000 0000 0000 kk kkK 单 元 刚 度 矩 阵 集 成 得 出 整 体 刚 度 矩 阵 344343 334333233232 223222122121 112111321 000 0004321 4321 kk kkkk kkkk kkKKKK结点编号 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 45 3.4.3 整 体 刚 度 矩 阵 的 性 质 整 体 刚 度 矩 阵 中 位 于 主 对 角 线 上 的 子 块 ， 称 为主 子 块 ， 其 余 为 副 子 块 。 a. 中 主 子 块 由 结 点 i的 各 相 关 单 元 的 主 子 块 扩 展 之后 叠 加 求 得 ， 即 b.当 结 点 i、 j为 单 元 e的 相 关 结 点 时 ， 中 副 子 块 为 该 单元 e相 应 的 副 子 块 ， 即 。 c.当 结 点 i、 j为 非 相 关 结 点 时 ， 中 副 子 块 为 零 子 块 ，即 。 d. 仅 与 各 单 元 的 几 何 特 性 、 材 料 特 性 ， 即 A、 I、 l、 E等因 素 有 关 。 e. 为 对 称 方 阵 ， f. 为 奇 异 矩 阵 ， 其 逆 矩 阵 不 存 在 ， 因 为 建 立 整 体 刚 度 矩 阵 时 没 有 考 虑 结 构 的 边 界 约 束 条 件 。 K iiKijK K eiiii kK KijK eijij kK K ijK 0ijK K K jiij KK K 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 46 g.为 稀 疏 矩 阵 ， 整 体 刚 度 矩 阵 中 的 非 零 元 素 分 布 区 域 的 宽 度 与 结 点 编号 有 关 ， 非 零 元 素 分 布 在 以 对 角 线 为 中 心 的 带 状 区 域 内 ， 称 为 带 状 分 布 规律 ， 见 图 3-10(a)。 在 包 括 对 角 线 元 素 在 内 的 区 域 中 ， 每 行 所 具 有 的 元 素个 数 叫 做 把 半 带 宽 ， 以 d表 示 。 最 大 半 带 宽 等 于 相 邻 结 点 号 的 最 大 差 值 加 1 与 结 点 自 由 度 数 的 乘 积 ，结 点 号 差 越 大 半 带 宽 也 就 越 大 。 计 算 机 以 半 带 宽 方 式 存 储 ， 见 图 3-10(b)。半 带 宽 越 窄 ， 计 算 机 的 存 储 量 就 越 少 ， 而 且 可 以 大 幅 度 减 少 求 解 方 程 所 需的 运 算 次 数 。 其 效 果 对 大 型 结 构 显 得 尤 为 突 出 。 图 3-10 整 体 刚 度 矩 阵 存 储 方 法 h.整 体 刚 度 矩 阵 稀 疏 阵 。 故 整 体 刚 度 矩 阵 不 能 求 逆 ， 必 须 作 约 束处 理 方 能 正 确 地 将 结 点 位 移 求 出 ， 进 而 求 出 结 构 的 应 力 场 。 (a) 带 状 分布 规 律 (b) 带 状 存 储 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 47 3.5 约 束 处 理 及 求 解 3.5.1 约 束 处 理 的 必 要 性 建 立 结 构 原 始 平 衡 方 程 式 时 ， 并 未 考 虑 支 承 条 件 （ 约束 ） ， 也 就 是 说 ， 将 原 始 结 构 处 理 成 一 个 自 由 悬 空 的 、 存 在 刚 体 位 移的 几 何 可 变 结 构 。 整 体 刚 度 矩 阵 是 奇 异 矩 阵 ， 因 此 ， 无 法 求 解 。 可 以参 照 第 2 章 的 原 则 ， 结 合 实 际 工 程 结 构 引 入 支 承 条 件 ， 即 对 结 构 原 始平 衡 方 程 式 做 约 束 处 理 。 约 束 处 理 后 的 方 程 称 为 基 本 平 衡 方 程 。 统 一 记 为 PK PK PK 3.5.2 约 束 处 理 方 法 约 束 处 理 常 用 方 法 有 填 0置 1法 和 乘 大 数 法 。 采 用 这 两 种 方 法 不会 破 坏 整 体 刚 度 矩 阵 的 对 称 性 、 稀 疏 性 及 带 状 分 布 等 特 性 。 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 48 下 面 以 图 3-11所 示 刚 架 结 构 为 例 ， 解 释 如 何 进 行 约 束 处 理 。对 于 下 图 所 示 刚 架 结 构 设 结 点 位 移 列 向 量 为设 结 点 载 荷 列 向 量 为 T9321T321 uuuu T9321T321 ppppPPPP (a)固 定 支 座 (b) 支 座 强 迫 位 移 已 知 图 3-11 结 构 约 束 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 49 其 原 始 平 衡 方 程 式 为 321321233232 223222122121 1121110 0 PPPkk kkkk kk 按 照 每 个 结 点 的 位 移 分 量 将 上 式 展 开 为 987654321987654321999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 191817161514131211 pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 50 对 于 如 图 3-11(a)所 示 ， 结 构 约 束 （ 支 座 ） 位 移 全 部 为 零 ，此 时 做 约 束 处 理 时 ， 采 用 填 0置 1法 比 较 适 宜 。 对 于 如 图 3-11(b)所 示 ， 某 约 束 （ 支 座 ） 位 移 为 给 定 的 强迫 值 ， 此 时 做 约 束 处 理 时 ， 采 用 乘 大 数 法 比 较 适 宜 。 (1) 填 0置 1法 如 右 图 所 示 结 点 1、 3处 为 固 定 支 座 ， 可 知 将 整 体 刚 度 矩 阵 中 与 之 相 对 应 的 主 对 角 元 素 全 部 置 换 成 1， 相 应 行 和 列 上 的 其 它 元 素 均 改 为 0。 同 时 ， 所 在 同 一 行 上 的 载荷 分 量 替 换 成 0， 则 有 0 987321 uuuuuu 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 51 000000010000000 010000000 001000000 000000 000000 000000 000000100 000000010 000000001 65498765432192 666564 565554 464544 pppuuuuuuuuuk kkk kkk kkk 654654666564 565554 464544 pppuuukkk kkk kkk则第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 也 可 简 便 地 采 用 划 行 划 列 的 办 法 。 在 整 体 刚 度 矩 阵 中 将与 约 束 位 移 为 0 的 行 和 列 划 掉 ， 包 括 相 关 的 所 在 行 的 位 移和 载 荷 向 量 。 52 处 理 后 得 基 本 平 衡 方 程 (2) 乘 大 数 法 右 图 所 示 刚 架 ， 结 点 1为 固 定 支 座 ， 结 点 3处 在 方向 的 约 束 为 已 知 强 迫 位 移 。 即 将 整 体 刚 度 矩 阵 中 与 之 相 对 应 的 主 对 角 元 素 全 部乘 以 一 个 大 数 N， 一 般 取 。 同 时 ， 将 相应 同 一 行 上 的 载 荷 分 量 替 换 成 N 乘 以 其 主 对 角 刚 度 系数 和 给 定 的 强 迫 位 移 （ 包 括 零 位 移 ） 。 22222122 Pkk 097321 uuuuu 088 uu 1510 1010N 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 53 00000 888654987654321999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 191817161514131211 kNpppuuuuuuuuukNkkkkkkkk kkNkkkkkkk kkkNkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkNkk kkkkkkkkNk kkkkkkkkkN 092 1111 jjukukN得 到由 于 N 足 够 大 ， 可 以 近 似 认 为 092 1 jjuk ,则 得 出 01 u同 时 得 到 09732 uuuu 088 uu 求 出 位 移 之 后 ， 即 可 以 求 出 结 构 的 应 力 场 。 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 54 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 用 有 限 单 元 法 计 算 空 间 刚 架 结 构 ， 在 原 理 上 及 推 导过 程 与 计 算 平 面 刚 架 结 构 相 同 。 在 此 不 再 重 复 。 但 应 注意 到 ， 由 于 空 间 的 每 一 结 点 一 般 具 有 六 个 自 由 度 ， 故 计算 较 之 复 杂 些 。3.6 计 算 示 例 设 两 杆 的 杆 长 和 截 面 尺 寸 相 同 ， 27 kN/m101.2 E杆 件 长 m。 10l 图 3-12 刚 架 受 力 简 图 55 (1)结 构 离 散 化 后 将 结 构 划 分 为 4个 结 点 、 3个 单 元2m5.0A 43 m2411215.0 I截 面 积 ， 惯 性 矩 (2) 求 结 点 载 荷 首 先 须 求 局 部 坐 标 系 中 固 定 端 内 力 eF0 (a) 单 元 1作 为 两 端 固 定 梁 反 力 示 意 图 (b) 单 元 2作 为 两 端 固 定 梁 反 力 示 意 图图 3-13内 力 示 意 图 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 56 单 元 1 mKN8012106.912 kN482 106.92 2212101 102101 glMM glVV o单 元 2 mKN2008 1016081 KN802160201103 103102 PlMM PVV在 局 部 坐 标 系 下 单 元 载 荷 列 向 量 单 元 1 804808048010 F 单 元 2 20080020080020 F 单 元 3 00000030 F 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 57 为 了 求 出 在 整 体 坐 标 下 的 载 荷 列 向 量 ， 先 求 单元 得 坐 标 转 换 矩 阵 T单 元 1、 2 00 I100000 010000 001000 000100 000010 000001100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos1 T单 元 3 090 100000 001000 010000 000100 000001 000010100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos3 T 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 58 求 各 单 元 在 整 体 坐 标 下 的 等 效 结 点 载 荷 eP0 102011010110 8048080480 PPFFTP T 203022020220 200800200800 PPFFTP T 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 59 30204303T30 000000000000100000 001000 010000 000100 000001 000010 PPFTP T 求 刚 架 的 等 效 结 点 载 荷 0P 3020100 PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800 P 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 60 因 为 无 结 点 载 荷 作 用 ， 总 结 点 载 荷 即 为 等 效 结 点 载 荷 。 T0 000200800120128080480 PP(3) 求 单 元 刚 度 矩 阵由 于 单 元 1、 2、 3的 尺 寸 相 同 ， 材 料 弹 性 模 量 相 同 ， 故 ek 321 kkk 梁 单 元 的 局 部 坐 标 下 的 刚 度 矩 阵 表 达 式 lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEA lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEAk e 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 22 2323 22 2323 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 61 2321 103500525017505250 52510505251050 00105000010500 1750525035005250 52510505251050 00105000010500 kkk 则（ 4） 求 整 体 坐 标 系 中 的 ek单 元 1 11 1111T1 2221 1211 kk kkkIkIk单 元 2 22 22222 3332 2322 kk kkkkk单 元 3 33T33 TkTk 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 62 33 343323 222444103500052517500525 01050000105000 52501055250105 1750052535000525 01050000105000 52501055250105 kk kkk（ 5） 求 结 构 整 体 刚 度 矩 阵 K利 用 刚 度 集 成 法 3 44342 22 32423211 11 00 00 002332 2322222221 1211 kk kk kkkkkk kkK（ 6） 建 立 原 始 平 衡 方 程 式 43214321344342 22 32423211 11 00 00 002332 2322222221 1211 PPPPkk kk kkkkkk kk 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 63 （ 7） 引 入 约 束 条 件 解 方 程 组 由 于 1、 3、 4为 固 定 端 ， 修 改 整 体 刚 度 矩 阵 中 的 13， 612行 与 列 ， 以 及 载 荷列 向 量 中 的 相 应 的 行 ， 既 约 束 处 理 。 0444333111 vuvuvu建 立 基 本 平 衡 方 程 222222 22 Pkkk 即 6 222 10428.1145145.1198465.2 vu得 到（ 8） 求 各 杆 的 杆 端 力 eF 单 元 3结 点 位 移 列 向 量 333 66 660 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 100 0 0 0 1 0 2.8465 10 119.51450 0 0 1 0 0 119.5145 10 2.84650 0 0 0 0 1 114.428 10 114.428T 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 64 单 元 1杆 端 内 力 计 算 10111 FkF 7753.1137526.529888.2 2496.66 2474.43 9888.2 单 元 2杆 端 内 力 计 算 20222 FkF 2994.2262624.87 9888.2 6757.1537376.729888.2单 元 3杆 端 力 计 算 30333 FkF 9004.399776.5 4902.1258755.199776.5 4902.125 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 65 （ 9） 作 内 力 图 （ a） 刚 架 轴 力 图 （ b） 刚 架 剪 力 图 （ c） 刚 架 轴 弯 矩 图 图 3-14 刚 架 内 力 图 第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 66 ANSYS的 基 本 过 程 一 个 典 型 的 ANSYS分 析 过 程 可 分 为 以 下 3个 步 骤 ：前 处 理 求 解 后 处 理ANSYS应 用 分 析第 三 章 杆 系 结 构 静 力 分 析 的 有 限 单 元 法 67 (1) 前 处 理前处理 指 定 工 程 名 称 和 分 析 标 题定 义 单 位定 义 单 元 类 型定 义 单 元 常 数创 建 横 截 面定 义 材 料 特 性创 建 有 限 元 模 型定 义 分 析 类 型 求 解 控 制加 载 68 1.1 指 定 工 程 名 称 和 分 析 标 题更 改 工 程 名定 义 分 析 标 题 69 1.2 定 义 单 位 使 用 /UNITS命 令 可 以 设 置 系 统 单 位 ， 没 有 相 应 的 GUI。 USER： 用 户 自 定 义 单 位 ， 是 缺 省 设 置 SI： 国 际 单 位 制 ， m, kg, s, BFT： 以 英 尺 为 基 础 的 单 位 制 ， ft, slug, s, F CGS： cm, g, s, MPA： mm, mg, s, BIN： 以 英 寸 为 基 础 的 单 位 制 in, lbm, s, F 70 1.3 定 义 单 元 类 型BEAM CIRCUit COMBINationCONTACt FLUID HF(High Frequency)HYPERelastic INFINite LINKMASS MATRIX MESHPIPE PLANE PRETS(pretension)SHELL SOLID SOURCe SURFace TARGEt TRANSducerUSER VISCOelastic 71 1.4 定 义 单 元 常 数 单 元 实 常 数 是 由 单 元 类 型的 特 性 决 定 的 ， 如 梁 单 元的 横 截 面 特 性 。 并 不 是 所有 的 单 元 类 型 都 需 要 实 常数 ， 同 类 型 的 不 同 单 元 也可 以 有 不 同 的 实 常 数 。指 定 单 元 的实 常 数 号 72 1.5 创 建 横 截 面创 建 梁 的 横 截 面 73 1.6 定 义 材 料 特 性定义材料特性 指定单元材料号 74 75 1.7 定 义 分 析 类 型 求 解 控 制定 义 分 析 类 型求 解 控 制基本设置 瞬态设置 求解选项 非 线性 设置 求 解 终止 的 高级 控 制 76 包 括 ： 自 由 度 约 束 、 力 、表 面 分 布 载 荷 、 体 积 载荷 、 惯 性 载 荷 、 耦 合 场载 荷 载 荷 步 ： 仅 指 可 求 得解 的 载 荷 设 置 。 子 步 ： 是 指 在 一 个 载荷 步 中 每 次 增 加 的 步 长 ，主 要 是 为 了 在 瞬 态 分 析和 非 线 性 分 析 中 提 高 分析 精 度 和 收 敛 性 。 子 步也 称 作 时 间 步 ， 代 表 一段 时 间 。1.8 加 载 77 (2) 求 解 求 解 当 前 载 荷 步求 解 某 载 荷 步 78 (3) 通 用 后 处 理 器画 出 分 析 的 结 果用 列 表 的 形 式 列 出 分析 的 结 果查 询 某 些 结 点 或 者 单元 处 的 应 力 值 以 及 其它 分 析 选 项 79 Deformed Shape表 示画 出 变 形 后 的 形 状 。 有如 下 选 项 ：3.1 画 出 分 析 的 结 果 80 3.2 画 出 节 点 的 结 果 81 位 移转 角3.3 求 解 自 由 度 结 果 82 正 应 力 和 剪 应 力主 应 力应 力 强 度平 均 等 效 应 力3.4 求 解 应 力 结 果 83 正 应 变 和 剪 应 变主 应 变应 变 强 度平 均 等 效 应 变3.5 求 解 总 应 变 结 果 84 求 解 能 量弹 性 应 变蠕 变其 它 应 变 正 应 变 和 剪 应 变主 应 变应 变 强 度平 均 等 效 应 变3.6 其 它 求 解 结 果 85 3.7 图 形 输 出 选 项只 画 出 变 形 后 的 图 形画 出 变 形 前 后 的 图 形画 出 变 形 后 的 图 形 和变 形 前 的 边 界 图 86 (4) 时 间 历 程 后 处 理 器适 用