样本的数字特征

样本的数字特征样本的数字特征1 1、频率分布直方图、频率分布直方图2 2、频率分布折线图、频率分布折线图3 3、总体密度曲线、总体密度曲线4 4、茎叶图、茎叶图 我们学习了用图、表来组织数据，以及通过我们学习了用图、表来组织数据，以及通过图、表提供的的信息，用图、表提供的的信息，用样本的频率分布样本的频率分布估计估计总总体的分布体的分布.为了更好的把握总体的规律，还需要为了更好的把握总体的规律，还需要通过通过样本的数据样本的数据对对总体的数字特征总体的数字特征进行研究。进行研究。复习引入复习引入【明确考纲】1 1、会求样本的众数、中位数、平均数、方差、会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差；标准差；2 2、会用样本的数字特征来估计总体的数字特、会用样本的数字特征来估计总体的数字特征，理解样本估计总体的思想；征，理解样本估计总体的思想；3 3、会应用相关知识解决简单的统计实际问题、会应用相关知识解决简单的统计实际问题.应聘者小范应聘者小范赵赵经经理理我这里报酬不错我这里报酬不错,月月平均工资是平均工资是30003000元元,你你在这里好好干在这里好好干!第二天，小范哼着小歌上班了第二天，小范哼着小歌上班了.我的工资是我的工资是15001500元元,在公在公司算中等收入司算中等收入我们好几我们好几个人工资个人工资都是都是1200元元技术员技术员D技术员技术员C情境创设：情境创设：小范在公司工作了一周后小范在公司工作了一周后平均工资确实平均工资确实是每月是每月3000元元,你看看公司的你看看公司的工资报表工资报表.经理，你忽悠了经理，你忽悠了我我,我已问过其他我已问过其他技术员技术员,没有一个没有一个技术员的工资超技术员的工资超过过3000元元.情境创设：情境创设：员工员工总工总工程师程师工程工程师师技术技术员员A技术技术员员B技术技术员员C技术技术员员D技术技术员员E技术技术员员F见习见习技术技术员员G工资工资90007000280027001500120012001200400下表是该公司月工资报表下表是该公司月工资报表:(1)(1)请观察表中的数据请观察表中的数据,计算该公司员工的月平均计算该公司员工的月平均工资是多少工资是多少?经理是否忽悠了小范经理是否忽悠了小范?(2)(2)技术员技术员C C与技术员与技术员D D是否忽悠了小范？他们又是是否忽悠了小范？他们又是用的数据中的那些量呢？用的数据中的那些量呢？思考回答：思考回答：【知识梳理知识梳理】1 1、众数：在一组数据中，、众数：在一组数据中，出现次数最多出现次数最多的数的数据叫做这组数据的众数据叫做这组数据的众数.2 2、中位数：将一组数据从小到大（或从大到、中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）依次排列，把小）依次排列，把 位置的一个数据位置的一个数据（）叫做这组数）叫做这组数据的中位数，中位数把样本数据分成了相同个据的中位数，中位数把样本数据分成了相同个数的两部分数的两部分.3 3、平均数、平均数:一组数据的总和除以数据的总个一组数据的总和除以数据的总个数所得到的商就是这组数据的平均数数所得到的商就是这组数据的平均数.x x1 1，x x2 2，x xn n的平均数的平均数 .最最中间中间或中间两个数据的平均数或中间两个数据的平均数月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O探究：用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数探究：用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 下图是城市居民月均用水量样本数据的频率分布下图是城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图，直方图，如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？平均数？月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O 取最高矩形取最高矩形中点的横坐标中点的横坐标2.25作为众数作为众数.（1）你认为众数应在哪个小矩形内？）你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？由此估计总体的众数是什么？（2）直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是）直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是:0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.中位数左右两侧的直方图的面积有什么关系？由此中位数左右两侧的直方图的面积有什么关系？由此 估计总体的中位数是什么？估计总体的中位数是什么？0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.010.5=0.02，中位数是中位数是2.02.月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O（3）平均数是频率分布直方图的）平均数是频率分布直方图的“重心重心”，由此估计总体平均数为多少？由此估计总体平均数为多少？月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O平均数的估值平均数的估值 =频率分布直方图中频率分布直方图中每个每个小矩形的面积小矩形的面积 乘以乘以小矩形底边中点的横坐标小矩形底边中点的横坐标之和之和 0.250.04+0.750.08+1.250.15+1.750.22+2.250.25+2.750.14+3.250.06+3.750.04+4.250.02=2.02（t）.（4）从居民月均用水量样本数据可知，该样本）从居民月均用水量样本数据可知，该样本 的众数是的众数是2.3，中位数是，中位数是2.0，平均数是，平均数是 1.973，这与我们从样本频率分布直方图得，这与我们从样本频率分布直方图得 出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？这是因为样本数据的频率分布直方图，只是直这是因为样本数据的频率分布直方图，只是直观地表明分布的形状，损失了一些样本数据，得到观地表明分布的形状，损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关.因此，在只有样本频率分布直方图的情况下，我们因此，在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征此估计总体特征.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数【探究新知探究新知】（1）众数：最高的矩形的底边的中点的横坐标）众数：最高的矩形的底边的中点的横坐标（2）中位数：左右两侧直方图的面积相等）中位数：左右两侧直方图的面积相等（3）平均数：）平均数：每个小矩形的面积每个小矩形的面积乘以乘以小矩形底边小矩形底边 中点的横坐标中点的横坐标之和之和注：利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，注：利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致与实际数据可能不一致名称名称定义定义特征特征众数众数一组数据中出现一组数据中出现次数最多的数次数最多的数（1 1）反映了数据的集中趋势；）反映了数据的集中趋势；（2 2）只能表达样本数据很少的一）只能表达样本数据很少的一部分信息部分信息,无法客观反映总体特征无法客观反映总体特征中位数中位数一组数据按大小依次一组数据按大小依次排列，中间位置的一排列，中间位置的一个数（或中间两个数个数（或中间两个数的平均数）的平均数）（1 1）反映了数据的集中趋势；）反映了数据的集中趋势；（2 2）不受少数极端值的影响，但）不受少数极端值的影响，但对极端值不敏感对极端值不敏感平均数平均数一组数据的和与这组一组数据的和与这组数据的个数的商数据的个数的商（1 1）反映了数据的平均水平；）反映了数据的平均水平；（2 2）反映出更多的关于样本数据）反映出更多的关于样本数据全体的信息；全体的信息；（3 3）受极端值的影响较大，任何）受极端值的影响较大，任何一个数据的改变都会引起平均数的一个数据的改变都会引起平均数的改变改变4 4、标准差与方差：、标准差与方差：假设样本数据假设样本数据x1，x2，xn的平均数为的平均数为 ，则标准差的计算公式是：则标准差的计算公式是：（1）标准差：）标准差：用来描述样本数据的离散程度用来描述样本数据的离散程度.（2）方差）方差【思考辨析思考辨析】判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”“”)(1)对于数据对于数据1,3,4,6,8,9，这组数据的中位数是，这组数据的中位数是4或或6.()(2)比赛中，计算选手得分时，去掉一个最低分比赛中，计算选手得分时，去掉一个最低分和最高分对比赛结果影响不大和最高分对比赛结果影响不大.()(3)在频率分布直方图中，众数左边和右边的直在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等方图的面积相等.()(4)标准差越小，样本数据的波动也越小标准差越小，样本数据的波动也越小.()(5)用样本的数字特征估计总体的数字特征时，用样本的数字特征估计总体的数字特征时，只需求出平均数就可以了只需求出平均数就可以了.()【典例解析典例解析】例例1:1:某公司的某公司的3333名职工的月工资名职工的月工资(单位单位:元元)如下如下:职务职务董事长董事长副董事长副董事长董事董事总经理总经理经理经理管理员管理员 职员职员人数人数1 11 12 21 15 53 32020工资工资55005500500050003500350030003000250025002100210015001500(1)(1)求该公司职工月工资的众数、中位数及平均数求该公司职工月工资的众数、中位数及平均数;(2)(2)假设董事长的工资从假设董事长的工资从55005500元提升到元提升到88008800元，那元，那么新的众数、中位数及平均数又是什么？么新的众数、中位数及平均数又是什么？(3)(3)你认为那个统计量更能反映这个公司职工的工你认为那个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈谈你的想法？资水平？结合此问题谈谈你的想法？解：解：(1)(1)由由图表可知图表可知:其众数为其众数为:1500,中位数为中位数为:1500,平均数为平均数为:2100.解解:(2)(2)董事长的工资提高以后董事长的工资提高以后,众数为众数为:1500,中中位数为位数为:1500,平均数为平均数为:2200.解解:(1)(1)由由图表可知图表可知:其众数为其众数为:1500,中位数为中位数为:1500,平均数为平均数为:2100.(2)(2)董事长的工资提高以后董事长的工资提高以后,众数为众数为:1500,中位数为中位数为:1500,平均数为平均数为:2200.(3)(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平该公司职工的工资水平.因为公司中少数人因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平平均数不能反映这个公司职工的工资水平.练习练习1：1、(2012陕西,3,5分)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，该样本中的中位数、众数、极差分别是（）A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,531 2 52 0 2 3 33 1 2 4 4 8 94 5 5 5 7 7 8 8 95 0 0 1 1 4 7 96 1 7 8A练习练习1：2、某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行、某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求高一参赛学生的成绩的众数、中位数、平均求高一参赛学生的成绩的众数、中位数、平均成绩成绩众数为众数为65，中位数为中位数为65，平均成绩约为平均成绩约为67.例2:在2012年伦敦奥运会射击选拔赛中，有两名运动员在一次射击测试中各射击10次，每次命中的环数如下：【典例解析典例解析】甲78794910745乙9578768677 如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有什么差异吗什么差异吗?分析分析:作出两人成绩的频率分布条形图，可以看出作出两人成绩的频率分布条形图，可以看出还是有差异的还是有差异的环数环数频率频率0.40.30.20.14 5 6 7 8 9 10 O（甲）（甲）环数环数频率频率0.40.30.20.14 5 6 7 8 9 10 O（乙）（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定相对集中，比较稳定.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差例例2:2:在在20122012年伦敦奥运会射击选拔赛中，有两名运动员年伦敦奥运会射击选拔赛中，有两名运动员在一次射击测试中各射击在一次射击测试中各射击1010次，每次命中的环数如下：次，每次命中的环数如下：甲78794910745乙9578768677 如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？解：解：运动员甲的众数、中位数及平均数都是运动员甲的众数、中位数及平均数都是7 7，运动员，运动员乙的众数、中位数及平均数也都是乙的众数、中位数及平均数也都是7.7.所以要考虑其标准所以要考虑其标准差差.由由S甲甲S乙乙可以知道，甲的成绩离散程度大，乙的成可以知道，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，由此可以估计，乙比甲射击稳定绩离散程度小，由此可以估计，乙比甲射击稳定.【典例解析典例解析】练习2：1、(2012山东,4,5分)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数B.平均数C.中位数D.标准差2、(2013湖北,12,5分)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为；(2)命中的靶数的标准差为.D723、(2012湖南,13,5分)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为.0 8 91 0 3 56.8小结：1、众数体现了样本数据的最大集中点，能反映出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”.2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，用来代表一组数据的“中等水平”.3、平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质.常用来一代表数据的总体“平均水平”.4、标准差、方差描述的是数据的离散程度.当数据的平均数相等或相差无几时，常用标准差、方差估计总体.标准差、方差越大，表明离散程度越大，标准差、方差越小，表明离散程度越小.课后作业课后作业:(2012课标全国课标全国,18题题)限时训练限时训练:1、已知一组数据按大小顺序排列为：、已知一组数据按大小顺序排列为：0,1,4,x,6,17.且这组数据的中位数为且这组数据的中位数为5，则数据的众数为（则数据的众数为（）A.4 B.5 C.6 D.72、下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打、下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（所剩数据的平均数为（）7 9 8 4 4 6 4 7 9 3 A.84 B.85 C.86 D.873、五个数、五个数2,3,4,5,a 的平均数是的平均数是4，则，则a=_,这五个数这五个数的标准差是的标准差是_.4、若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这M+N个数的平均数是_.CB6 5、校园歌手大赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：、校园歌手大赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差 分别为（分别为（）A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8B 7、若样本、若样本1+X1，1+X2，1+X3，1+Xn的平均数是的平均数是10，方差为方差为2，则对于样本，则对于样本2+X1，2+X2，2+Xn，下，下 列结论正确的是（列结论正确的是（）A.平均数为平均数为10，方差为，方差为2 B.平均数为平均数为11，方差为，方差为3 C.平均数为平均数为11，方差为，方差为2 D.平均数为平均数为12，方差为，方差为4C 6、某学生在一次考试中、某学生在一次考试中,语文、数学、英语三门学科的平均成语文、数学、英语三门学科的平均成 绩是绩是80分，物理、化学两门学科的平均成绩为分，物理、化学两门学科的平均成绩为85分，则该分，则该 学生这五门学科的平均成绩是学生这五门学科的平均成绩是_分分.82 8、若、若X1，X2，X3，X20，这，这20个数据的平均数为个数据的平均数为 X，方差为方差为0.20，则，则X1，X2，X3，X20，X 这这21个数据个数据 的方差约为的方差约为_.4/21 9、数据、数据x1，x2，x8平均数为平均数为6，标准差为，标准差为2，则数据，则数据 2x1-6，2x2-6，2x8-6的平均数为的平均数为_，方差为，方差为_.616