向量法证明正弦定理

5.9正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理1教学目标教学目标1、了解向量知识应用。、了解向量知识应用。2、掌握正弦定理推导过程。、掌握正弦定理推导过程。3、会利用正弦定理证明简单三角形问题。、会利用正弦定理证明简单三角形问题。4、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题。、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题。教学重点：正弦定理证明及应用教学重点：正弦定理证明及应用难点：难点：1、向量知识在证明正弦定理时的应用，与向量知识、向量知识在证明正弦定理时的应用，与向量知识的联系过程。的联系过程。2、正弦定理在解三角形时应用思路。、正弦定理在解三角形时应用思路。正弦定理及其应用正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出、正弦定理形式的提出正弦定理演示正弦定理演示Y YX X2、正弦定理的向量证明、正弦定理的向量证明B BA AC C想一想：如何用向量法证明正弦定理？想一想：如何用向量法证明正弦定理？BABA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为CACA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为|BA|cos(90|BA|cos(90o o-B)=|-B)=|BA|sinBBA|sinB|CA|cos(90|CA|cos(90o o-C)=|-C)=|CA|sinCCA|sinC公式变形式：公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa:b:ca:b:c=sinA:sinB:sinCsinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：两类问题：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。、已知两角和任一边，求其它两边和一角。2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(从而进一步求出其他的边和角，包括从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题解的个数的讨论问题)解：由正弦定理：解：由正弦定理：为什么有两解的情况？为什么有两解的情况？A A是锐角时是锐角时知识归纳知识归纳已知两角及一边解三角形一定只有一解。已知两角及一边解三角形一定只有一解。已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、b ba aA AC CB BaaabsinAbsinA时时若若baba时两解，时两解，baba时一解时一解B Ba aA A为直角或钝角时为直角或钝角时a ab bA AB BC Ca ab bA AB BC Cabab时有一解，时有一解，一解或两解。一解或两解。abab时无解。时无解。随堂练习随堂练习1、正弦定理适用的范围是、正弦定理适用的范围是A A、直角三角形、直角三角形 B B、锐角三角形、锐角三角形C C、钝角三角形、钝角三角形 D D、任意三角形、任意三角形DCA4 4、在、在ABCABC中，中，“A=B”A=B”是是“sinAsinA=sinBsinB”的的_条条件。件。A A、充分不必要、充分不必要 B B、必要不充分、必要不充分 C C、充分必要、充分必要 D D、不充分也不必要、不充分也不必要C5 5、在、在ABCABC中，中，a=18,b=20,A=150a=18,b=20,A=150o o,则满足此条件则满足此条件的三角形的个数是的三角形的个数是 A A、0 B0 B、1 C1 C、2 D2 D、无数个、无数个ABC A A、充分不必要条件、充分不必要条件 B B、必要不充分条件、必要不充分条件 C C、充分必要条件、充分必要条件 D D、不充分也不必要条件、不充分也不必要条件C（三维第一课时第（三维第一课时第4题）题）3或或6例例1 1、已知、已知ABCABC中，中，c=10,A=45c=10,A=45o o,C=30,C=30o o,求求a,ba,b和和B B（三维）（三维）三角形，并求出它的外接圆半径和三角形的面积。三角形，并求出它的外接圆半径和三角形的面积。解这个解这个又又A=30A=30o o,B=45,B=45o o,所以所以C=105C=105o o（例（例1变式）变式）例例3 3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。先判断三角形是否有解？有解的作出解答。本题无解。本题无解。本题有两解。本题有两解。B=60B=60o o或或120120o o,当当B=60B=60o o时，时，C=90C=90o o.当当B=120B=120o o时，时，C=30C=30o o.（三维）（三维）bba,Ba,BA=45A=45o o,有两解有两解B=60B=60o o或或120120o o1)1)当当B=60B=60o o时，时，C=75C=75o o,2)2)当当B=120B=120o o时，时，C=15C=15o o,（例（例2变式）变式）为锐角，试判断此三角形的形状。为锐角，试判断此三角形的形状。例例5 5、在、在ABCABC中，如果中，如果lga-lgclga-lgc=lgsinBlgsinB=-=-lglg ,且且B B所以此三角形为等腰直角三角形所以此三角形为等腰直角三角形（三维）（三维）形状。形状。所以三角形所以三角形ABCABC是等腰三角形或直角三角形。是等腰三角形或直角三角形。（例（例3变式）变式）