概率的基本性质

3.1.3 3.1.3 概率的基本性质概率的基本性质 3.1 3.1 随机事件的概率随机事件的概率问题提出问题提出1.1.两个集合之间存在着包含与相等的关系，两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？号表示吗？2.2.我们可以把一次试验可能出现的结果看成我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识们对概率有进一步的理解和认识 知识探究（一）：知识探究（一）：事件的关系与运算事件的关系与运算 在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：件：C1C1出现出现1 1点，点，C2C2出现出现2 2点，点，C3C3出现出现3 3点，点，C4C4出现出现4 4点，点，C5C5出现出现5 5点，点，C6C6出现出现6 6点，点，D1D1出现的点数不大于出现的点数不大于1 1，D2D2出现的点数大于出现的点数大于4 4，D3D3出现的点数小于出现的点数小于6 6，E E出现的点数小于出现的点数小于7 7，F F出现的点数大于出现的点数大于6 6，G G出现的点数为偶数，出现的点数为偶数，H H出现的点数为奇数，等等出现的点数为奇数，等等.思考思考1 1：上述事件中哪些是必然事件？哪上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件些是随机事件？哪些是不可能事件?思考思考2 2：如果事件如果事件C C1 1发生，则一定有哪些发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合事件发生？在集合中，集合C C1 1与这些集与这些集合之间的关系怎样描述？合之间的关系怎样描述？思考思考3 3：一般地，对于事件一般地，对于事件A A与事件与事件B B，如，如何理解何理解事件事件B B包含事件包含事件A A（或事件（或事件A A包含于包含于事件事件B B）？特别地，不可能事件用？特别地，不可能事件用表示，表示，它与任何事件的关系怎样约定？它与任何事件的关系怎样约定？如果当事件如果当事件A A发生时，事件发生时，事件B B一定发生，一定发生，则则B A(B A(或或A B )A B )；任何事件都包含不可能事件任何事件都包含不可能事件.思考思考4 4：分析事件分析事件C C1 1与事件与事件D D1 1之间的包含之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？系应怎样描述？思考思考5 5：一般地，当两个事件一般地，当两个事件A A、B B满足什满足什么条件时，称事件么条件时，称事件A A与事件与事件B B相等？相等？思考思考6 6：如果事件如果事件C C5 5发生或发生或C C6 6发生，就意发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？味着哪个事件发生？反之成立吗？若若B AB A，且，且A BA B，则称事件，则称事件A A与事件与事件B B相等，记作相等，记作A=B.A=B.思考思考7 7：事件事件D D2 2称为事件称为事件C C5 5与事件与事件C C6 6的的并事并事件（或和事件件（或和事件），一般地，事件），一般地，事件A A与事件与事件B B的并事件（或和事件）是什么含义？的并事件（或和事件）是什么含义？当且仅当事件当且仅当事件A A发生或事件发生或事件B B发生时，事发生时，事件件C C发生，则称事件发生，则称事件C C为事件为事件A A与事件与事件B B的的并事件并事件(或和事件或和事件)，记作，记作 C=AB(C=AB(或或A+B).A+B).思考思考8 8：类似地，当且仅当事件类似地，当且仅当事件A A发生且发生且事件事件B B发生时，事件发生时，事件C C发生，则称事件发生，则称事件C C为为事件事件A A与事件与事件B B的的交事件（或积事件），交事件（或积事件），记作记作C=ABC=AB（或（或ABAB），在上述事件中能），在上述事件中能找出这样的例子吗？找出这样的例子吗？思考思考9 9：两个集合的交可能为空集，两个两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即事件的交事件也可能为不可能事件，即ABAB，此时，称事件，此时，称事件A A与事件与事件B B互斥互斥，那么在一次试验中，事件那么在一次试验中，事件A A与事件与事件B B互斥互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？这样的例子吗？事件事件A A与事件与事件B B不会同时发生不会同时发生.思考思考1010：若若ABAB为不可能事件，为不可能事件，ABAB为为必然事件，则称事件必然事件，则称事件A A与事件与事件B B互为互为对立对立事件事件，那么在一次试验中，事件，那么在一次试验中，事件A A与事件与事件B B互为对立事件的含义怎样理解？在上述互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？事件中能找出这样的例子吗？事件事件A A与事件与事件B B有且只有一个发生有且只有一个发生.思考思考1111：事件事件A A与事件与事件B B的和事件、积事的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么件，分别对应两个集合的并、交，那么事件事件A A与事件与事件B B互为对立事件，对应的集互为对立事件，对应的集合合A A、B B是什么关系？是什么关系？集合集合A A与集合与集合B B互为补集互为补集.思考思考1212：若事件若事件A A与事件与事件B B相互对立，那相互对立，那么事件么事件A A与事件与事件B B互斥吗？反之，若事件互斥吗？反之，若事件A A与事件与事件B B互斥，那么事件互斥，那么事件A A与事件与事件B B相互对相互对立吗？立吗？知识探究（二）：知识探究（二）：概率的几个基本性质概率的几个基本性质 思考思考1 1：概率的取值范围是什么？必然概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？事件、不可能事件的概率分别是多少？思考思考2 2：如果事件如果事件A A与事件与事件B B互斥，则事互斥，则事件件ABAB发生的频数与事件发生的频数与事件A A、B B发生的频发生的频数有什么关系？数有什么关系？f fn n(AB)(AB)与与f fn n(A)(A)、f fn n(B)(B)有什么关系？进一步得到有什么关系？进一步得到P(AB)P(AB)与与P(A)P(A)、P(B)P(B)有什么关系？有什么关系？若事件若事件A A与事件与事件B B互斥，则互斥，则ABAB发生的频发生的频数等于事件数等于事件A A发生的频数与事件发生的频数与事件B B发生的发生的频数之和，且频数之和，且 P P（ABAB）P P（A A）P P（B B），这就是概率的加法公式），这就是概率的加法公式.思考思考3 3：如果事件如果事件A A与事件与事件B B互为对立事件，互为对立事件，则则P(AB)P(AB)的值为多少？的值为多少？P(AB)P(AB)与与P(A)P(A)、P(B)P(B)有什么关系？由此可得什么结论？有什么关系？由此可得什么结论？若事件A与事件B互为对立事件，则P P（A A）P P（B B）1 1.思考思考4 4：如果事件如果事件A A与事件与事件B B互斥，那么互斥，那么P P（A A）P P（B B）与）与1 1的大小关系如何？的大小关系如何？P P（A A）P P（B B）1.1.思考思考5 5：如果事件如果事件A A1 1，A A2 2，A An n中任何中任何两个都互斥，那么事件（两个都互斥，那么事件（A A1 1+A+A2 2+A+An n）的含义如何？的含义如何？P P（A A1 1+A+A2 2+A+An n）与）与P P（A A1 1），），P P（A A2 2），），P P（A An n）有什么关系？）有什么关系？事件（事件（A A1 1+A+A2 2+A+An n）表示事件）表示事件A A1 1，A A2 2，A An n中有一个发生；中有一个发生；P P（A A1 1+A+A2 2+A+An n）=P=P（A A1 1）+P+P（A A2 2）+P+P（A An n）.思考思考6 6：对于任意两个事件对于任意两个事件A A、B B，P P（ABAB）一定比）一定比P P（A A）或）或P P（B B）大吗？）大吗？P P（ABAB）一定比）一定比P P（A A）或）或P P（B B）小吗？）小吗？知识迁移知识迁移 例例1 1 某射手进行一次射击，试判断下某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？件？事件事件A A：命中环数大于：命中环数大于7 7环；环；事件事件B B：命中环数为：命中环数为1010环；环；事件事件C C：命中环数小于：命中环数小于6 6环；环；事件事件D D：命中环数为：命中环数为6 6、7 7、8 8、9 9、1010环环事件事件A A与事件与事件C C互斥，事件互斥，事件B B与事件与事件C C互斥，互斥，事件事件C C与事件与事件D D互斥且对立互斥且对立.例例2 2 一个人打靶时连续射击两次一个人打靶时连续射击两次事件事件“至少有一次中靶至少有一次中靶”的互斥事件是的互斥事件是 （）A.A.至多有一次中靶至多有一次中靶 B.B.B.B.两次都中靶两次都中靶C.C.只有一次中靶只有一次中靶 D.D.两次都不中靶两次都不中靶D D 例例3 3 把红、蓝、黑、白把红、蓝、黑、白4 4张纸牌随张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件得一张，那么事件“甲分得红牌甲分得红牌”与与事件事件“乙分得红牌乙分得红牌”是是 ()()A.A.对立事件对立事件 B.B.互斥但不对立事件互斥但不对立事件 C.C.必然事件必然事件 D.D.不可能事件不可能事件B BP P（C C）=P=P（ABAB）=P=P（A A）P P（B B）=0.5=0.5，P P（D D）=1-P=1-P（C C）=0.5.=0.5.例例4 4 如果从不包括大小王的如果从不包括大小王的5252张扑张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件（事件A A）的概率是，取到方片（事）的概率是，取到方片（事件件B B）的概率是，问：）的概率是，问：（l l）取到红色牌（事件）取到红色牌（事件C C）的概率是多）的概率是多少？少？（2 2）取到黑色牌（事件）取到黑色牌（事件D D）的概率是多）的概率是多少？少？例例5 5 袋袋中中有有1212个个小小球球，分分别别为为红红球球、黑黑球球、黄黄球球、绿绿球球，从从中中任任取取一一球球，已已知知得得到到红红球球的的概概率率是是 ，得得到到黑黑球球或或黄黄球球的的概概率率是是 ，得得到到黄黄球球或或绿绿球球的的概概率率也也是是 ，试试求求得得到到黑黑球球、黄黄球球、绿绿球球的的概率分别是多少？概率分别是多少？小结作业小结作业1.1.事件的各种关系与运算，可以类比集事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算，互斥事件与对立事件合的关系与运算，互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系，即的概念的外延具有包含关系，即 对立事对立事件件 互斥事件互斥事件.2.2.在一次试验中，两个互斥事件不能同在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生两个对立事件有且仅有一个发生.事件（事件（A+BA+B）或（）或（ABAB），表示事件），表示事件A A与事件与事件B B至少有一个发生，事件（至少有一个发生，事件（ABAB）或）或ABAB，表示事件，表示事件A A与事件与事件B B同时发生同时发生.作业：作业：P121P121练习：练习：1 1，2 2，3.3.P124P124习题习题3.1 A3.1 A组：组：5 5，6 64.4.概率加法公式是对互斥事件而言的，概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，一般地，P P（ABAB）PP（A A）P P（B B）.