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路路边边苦苦李李 王戎王戎7 7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子看到路边的李树上结满了果子.小伙小伙伴们纷纷去摘取果子伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在只有王戎站在原地不动原地不动.伙伴问他为什么不去摘？伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”.”小伙伴摘取一个尝小伙伴摘取一个尝了一下了一下,果然是苦李果然是苦李.王戎是怎么知王戎是怎么知道李子是苦的呢道李子是苦的呢?他运用了怎样的他运用了怎样的推理方法推理方法?有一天，牛头马面把一个高头大马的鬼带进阎王宝殿。阎罗王把惊堂木一拍：“这厮好无礼，见到本王也不会下跪叩头。拉下，打一百棒。”“大王，请原谅。我是洋鬼子，不知你们东方地狱的礼节请原谅。”“好！就原谅你一次，你是谁？”“我是Superman。”站在阎罗王旁边的师爷马上俯身对阎王解释：“Superman是超人。”“好大的口气，苏本梅先生你怎么会是超人？”Superman以傲慢的口气说：“当然是超人，我能做人类所不能做的事，我是万能，世上没有一件事我是不能做的。”“好！那么你举一件事是你做不出的。”实例2：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也。”数学中常见实例分析：先假设结论的反面是正先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确不成立，从而得到原结论正确这种证明方法叫做这种证明方法叫做间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法反证法是一种常用的间接证明方法反证法是一种常用的间接证明方法.肯定条件肯定条件p否定结论否定结论 q 导致逻辑矛盾导致逻辑矛盾 “q”为假为假 “q”为真为真 正确的推理正确的推理 归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一般地，由证明 转向正明与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定 为假，推出为假，推出q为真的方法，为真的方法，叫做反证法叫做反证法一、探究定义一、探究定义常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：至少有一个至少有一个至少有三个至少有三个至少有至少有n个个最多有一个最多有一个一个也没有一个也没有至多有两个至多有两个至多有至多有(n-1)个个至少有两个至少有两个1133nn11原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立准准确确地地作作出出反反设设(即即否否定定结结论论)是是非非常常重重要要的的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个写出下列结论的反面情况：写出下列结论的反面情况：（1）ab；（3）x是负数；是负数；（4）ab；（5）A是锐角；是锐角；（2）AB=CD；（6）三角形的外角中，至少）三角形的外角中，至少 有两个钝角有两个钝角.写出下列结论的反面情况：写出下列结论的反面情况：（7）三角形中最多有一个角）三角形中最多有一个角 是直角是直角.试一试试一试 求证：在一个三角形中，求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等至少有一个内角小于或等于于60.ABC已知：已知：求证：求证：证明：假设结论不成立，即：证明：假设结论不成立，即：A_ 60,B _ 60,C _ 60,则则A+B+C180.这与这与_相矛盾相矛盾.所以所以_不成立，所求证的不成立，所求证的结论成立结论成立.三角形内角和等于三角形内角和等于180 假设假设试一试试一试:证明：假设所求的结论不成立，即证明：假设所求的结论不成立，即 A_ 60 ,B_60 ,C _60 则则A+B+C180 这与这与_相矛盾相矛盾 所以所以_不成立，不成立，所求证的结论成立所求证的结论成立 “三角形的三个内角之和等于三角形的三个内角之和等于180”假设假设ABC用反证法证明用反证法证明(填空填空):在三角形的内角中在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于至少有一个角大于或等于60 已知已知:A,B,C是是ABC的内角（如图）的内角（如图）求证求证:A,B,C中至少有一个角中至少有一个角大于或等于大于或等于60 所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立证明证明:假设假设不大于不大于则则或或因为因为所以所以二、应用新知二、应用新知否定要全面反证法（习题1）1.1.求证求证:若一个整数的平方是偶数若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数则这个数也是偶数.假设这个数是奇数假设这个数是奇数,可以设为可以设为2k+1,2k+1,证证:则有则有而而不是偶数不是偶数这与原命题条件矛盾这与原命题条件矛盾.肯定条件反证法的一般步骤反证法的一般步骤 先假设命题不成立先假设命题不成立从假设出发，经过推理从假设出发，经过推理 得出矛盾得出矛盾 假设不成立假设不成立 所求证命题正确所求证命题正确 分清条件和结论分清条件和结论三归纳步骤三归纳步骤 例例2 2、求证：、求证：是无理数。是无理数。反证法（习题2）SABCD证明：假设BC不垂直SB四、巩固新知四、巩固新知1 1、试说出下列命题的反面：、试说出下列命题的反面：（1 1）a a是实数。是实数。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。（4 4）至少有）至少有2 2个个（5 5）最多有一个）最多有一个 （6 6）两条直线平行。）两条直线平行。2 2、用反证法证明、用反证法证明“若若a a2 2 b b2 2,则则a a b b”的第一步是的第一步是。3 3、用反证法证明、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形这个三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是实数不是实数a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于没有两个没有两个一个也没有一个也没有两直线相交两直线相交假设假设a=ba=b假设这个三角形是等腰三角形假设这个三角形是等腰三角形五、全课总结五、全课总结1 1、知识小结：、知识小结：反证法证明的思路：假设命题不成立反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理正确的推理,得出矛盾得出矛盾肯定待定命题的结论肯定待定命题的结论2 2、难点提示、难点提示:利用反证法证明命题时利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。止。大家议一议！通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法？我来告诉你（我来告诉你（经验之谈经验之谈）（1）以否定性判断作为结论的命题；）以否定性判断作为结论的命题；（2）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形等形式陈述的命题；式陈述的命题；（3）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题；结论的命题；（4）一些不等量命题的证明；）一些不等量命题的证明；（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等等等.(如平行线的传递性的证明）如平行线的传递性的证明）注意注意:用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。错误的。 -德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。同学们，学了这节课，你们有何体会？反思与收获反思与收获 1 1、你能谈谈举反例与反证法、你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？的联系和区别吗？推理推理 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理（归纳、类比）（归纳、类比）（三段论）（三段论）证明证明 直接证明直接证明 间接证明间接证明（分析法、综合法）（分析法、综合法）（反证法）（反证法）数学数学公理化思想公理化思想
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