平面向量的正交分解及坐标表

2.3.2.12.3.2.1平面向量的正交分解及坐标平面向量的正交分解及坐标表示表示1.向量的数乘运算向量的数乘运算:实数实数与向量与向量a的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作a，它的它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1)|a|=|a|(2)当当0时时,a的方向与的方向与a方向相同；方向相同；当当0时时,a的方向与的方向与a方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当=0=0或或或或a=0a=0时时时时,a a=0 0复习复习:设设a,b为任意向量，为任意向量，,为任意为任意实数实数，则有：，则有：(a)=()a (+)a=a+a (a+b)=a+b特别地特别地:向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线共线当且仅当当且仅当有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得 b=a 设设 、是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线的向量，线的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，我们研究我们研究 a 与与 、之间的关系。之间的关系。a研究研究新课讲解新课讲解OC=OM+ON=OC=OM+ON=OA+OBOA+OB即即 a=+.=+.aA AO OaC CB BN NM M M MN N平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、使共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、是同一平面内的两个不a=+示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量 、叫做表（1）一个平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、是否相同？（可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC=2OB+ON OC=2OB+ON OC=2OA+OEOC=2OA+OEOC=OF+OE OC=OF+OE 特别的，若特别的，若 a=0，则有且只有，则有且只有：可使可使 0=+.=0？若若 与与 中只中只有一个为零，情有一个为零，情况会是怎样？况会是怎样？特别的，若特别的，若a与与 （）共线，则有）共线，则有 =0（=0），使得），使得:a=+.两个非零向量的夹角 已知非零向量作则叫做向量的夹角当时同向；当反向。如果的夹角是，我们说垂直，记作：已知向量 求做向量-2.5 +3 例1：、OABC例例2OABP例例3.设 a、b是两个不共线的向量，已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a b,若A、B、D三点共线，求k的值。A、B、D三点共线解：AB与BD共线，则存在实数使得AB=BD.使得AB=BD.k=8.=a 4b由于BD=CD CB =(2a b)(a+3b)则需 2a+kb=(a 4b)由向量相等的条件得2=k=4则需 2a+kb=(a 4b)2-=0k 4 =0此处可另解：k=8.即（2-）a+(k-4 )b=0OxyijaA(x,y)a1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x，y）一一 一一 对对 应应3当且仅当什么条件下两个向量相等当且仅当什么条件下两个向量相等?利用坐标如何表示？利用坐标如何表示？平面向量的正交分解及坐标表示a=xi+yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得，使得 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任一向量a，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=xi+yj那么那么i=（，）j=(，)0=（，）1 00 10 0把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。向量正交分解。例例4如图，用基底如图，用基底i，j 分别表示向量分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标，并求它们的坐标AA2A1平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算（1 1）若，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2 2）若则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3 3）若和实数则 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标例例6 6 例例6 6 例例4 4 已知 例例5 5 已知 例例5.已知已知=(2，1)，=(-3，4)，求的坐标.作业P101习题A1,B1,3,4 P118A3,4B4