最佳投资组合

CUMCM 1998年年 A 题题投资的收益和风险投资的收益和风险 市场上有市场上有n种资产（如股票、债券等）种资产（如股票、债券等）Si(i=1,2,n)供投资者选择，某公司有数额为供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这用作一个时期的投资。公司财务人员对这n种资产进行了种资产进行了评估，估算出了这一时期内购买评估，估算出了这一时期内购买Si的平均收益率为的平均收益率为ri，并，并预测出购买预测出购买Si的风险损失率为的风险损失率为qi。考虑到投资越分散，总。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。中最大的一个风险来度量。购买购买Si要付交易费，费率为要付交易费，费率为pi，并且当购买额不，并且当购买额不超过给定值超过给定值ui时，交易费按购买时，交易费按购买ui计算（不买当然不计算（不买当然不付费）。另外，假设同期银行利率是付费）。另外，假设同期银行利率是r0（r0=5%），），且既无交易费也无风险。且既无交易费也无风险。1)已知已知 n=4 时，相关数据如下表所示。时，相关数据如下表所示。试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择的购买若干资产或银行生息，使净收益资金，有选择的购买若干资产或银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。尽可能大，而总体风险尽可能小。Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540 投资的相关数据表投资的相关数据表Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397S740.7685.6178S831.233.43.12202）试就一般情况对以上问题进行讨论，并用以）试就一般情况对以上问题进行讨论，并用以下数据进行计算。下数据进行计算。Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S933.653.32.7475S1036.8402.9248S1111.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.61311 问题分析问题分析题目中的几个名词：题目中的几个名词：1）平均收益率，风险损失率，交易费率）平均收益率，风险损失率，交易费率2）投资组合方案）投资组合方案Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540投资哪些产品？投资额分别多少？投资哪些产品？投资额分别多少？确定最优投资组合。确定最优投资组合。投资组合：确定给资产投资组合：确定给资产Si投资多少的问题。投资多少的问题。题目让我们解决的问题：题目让我们解决的问题：SiS1S2S3S4收益收益风险风险投资额投资额最后的结果最后的结果表达形式表达形式问题为问题为以投资组合为决策变量的双目标规划问题。以投资组合为决策变量的双目标规划问题。投资策略：投资策略：收益尽可能大，风险尽可能小收益尽可能大，风险尽可能小优化问题优化问题优化模型的数学描述优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中设计变量（决策变量）设计变量（决策变量）目标函数目标函数求函数求函数在约束条件在约束条件和和可行域可行域“受约束于”之意优化模型的数学表达式优化模型的数学表达式1.确定设计变量和目标变量确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式3.寻找约束条件寻找约束条件l设计变量所受的限制设计变量所受的限制建立优化模型的步骤建立优化模型的步骤1.确定设计变量和目标变量确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式l净收益、总风险为目标变量净收益、总风险为目标变量l每种资产的投资额为设计变量每种资产的投资额为设计变量3.寻找约束条件寻找约束条件l寻找投资额与收益、风险寻找投资额与收益、风险之间的关系之间的关系l设计变量所受的限制：对投资额所受的限制设计变量所受的限制：对投资额所受的限制2 符号说明符号说明符号符号 符号意义符号意义第第 种资产（种资产（）表示存入银行表示存入银行 的平均收益率的平均收益率 的风险损失率的风险损失率 的交易费率的交易费率 购买额阈值购买额阈值 M资金总额资金总额投资投资 的资产数额的资产数额投资投资 的交易费用的交易费用净收益净收益总体风险总体风险权因子权因子1.确定设计变量和目标变量确定设计变量和目标变量l净收益、总风险为目标变量净收益、总风险为目标变量l每种资产的投资额为设计变量每种资产的投资额为设计变量3 模型的建立模型的建立净收益净收益总体风险总体风险 的投资额的投资额2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式3.寻找约束条件寻找约束条件l寻找收益、风险与投资额寻找收益、风险与投资额之间的关系之间的关系l设计变量所受的限制：对投资额所受的限制设计变量所受的限制：对投资额所受的限制l 净收益净收益=投资平均收益投资平均收益 交易费交易费 l 总风总风险险l 总投资总投资=购买各种资产的费用购买各种资产的费用+交易费用交易费用=各个风险额的最大者各个风险额的最大者 所建优化模型为所建优化模型为双目标的优化模型双目标的优化模型2024/5/1（1 1）多目标规划问题的处理办法，其基本）多目标规划问题的处理办法，其基本思想是通过加权组合形成一个新的目标，思想是通过加权组合形成一个新的目标，从而化成单目标优化问题。从而化成单目标优化问题。（2 2）把一个目标作为约束条件，从而化为）把一个目标作为约束条件，从而化为求另一个目标的规划模型。求另一个目标的规划模型。4 模型的转化模型的转化关于目标函数：关于目标函数：尽量想办法将非线性函数化为线性函数尽量想办法将非线性函数化为线性函数。关于线性化问题：关于线性化问题：l 目标函数的确定目标函数的确定 l 交易费函数的线性化交易费函数的线性化 l 风险函数的转化风险函数的转化 加权因子加权因子线性规划模型线性规划模型 线性规划模型线性规划模型 5 模型的求解模型的求解用软件可以求解