工程力学11弯曲应力

1 151 引言引言 52 平面平面弯曲梁横截面上的正应力弯曲梁横截面上的正应力53 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力54 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 2 25555 引言引言引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t t弯矩M 正应力s s3 3纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面上的正应力 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)平面弯曲时横截面上的切应力t纵向对称面纵向对称面P1P24 4 某段梁的内力只有某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯段梁的变形称为纯弯曲。如曲。如ABAB段。段。PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):5 555552 2 2 2 纯纯纯纯弯曲梁横截面上的正应力弯曲梁横截面上的正应力弯曲梁横截面上的正应力弯曲梁横截面上的正应力1.1.梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验 横向线横向线(abab、cdcd）变形后仍为直变形后仍为直线，但有转动；纵线，但有转动；纵向线变为曲线，且向线变为曲线，且上缩下伸；横向线上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍与纵向线变形后仍正交。正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：bdacabcdMM6 6中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴2.2.两个概念两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。7 7横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。3.3.推论推论(二二)几何方程：几何方程：abcdABdq qr rxyA1B1O1O8 8(三三三三)物理方程：物理方程：物理方程：物理方程：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。处于单项应力状态。9 9(四四四四)静力学方程：静力学方程：静力学方程：静力学方程：其中其中 ，称为横截面对中性轴的惯性矩。，称为横截面对中性轴的惯性矩。1010(3)EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。弯曲正应力公式弯曲正应力公式 称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量 最大弯曲正应力公式最大弯曲正应力公式 1111(五五五五)圆形及矩形圆形及矩形圆形及矩形圆形及矩形截面的惯性矩截面的惯性矩截面的惯性矩截面的惯性矩对于圆形对于圆形截面，根据圆的对称性有：截面，根据圆的对称性有：对于矩形对于矩形截面截面hbyzydy1212平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理：以形心为坐标原点，建立与原坐标轴平行的坐标以形心为坐标原点，建立与原坐标轴平行的坐标dAxyyxrabCxCyC1313例例例例1 1 受均布载荷作用的简支受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：梁如图所示，试求：(1)11(1)11截面上截面上1 1、2 2两点的两点的正应力；正应力；(2)(2)此截面上的此截面上的最大正应力；最大正应力；(3)(3)全梁的全梁的最大正应力；最大正应力；(4)(4)已知已知E E=200GPa=200GPa，求求1111截面截面的曲率半径。的曲率半径。xM+M1Mmax12120180zy解：解：画画MM图求截面弯矩图求截面弯矩30Q=60kN/mAB1m2m111414xM+12120求应力求应力18030Q=60kN/mAB1m2m11zyM1Mmax1515求曲率半径求曲率半径xM+1212018030Q=60kN/mAB1m2m11zyM1Mmax1616例例例例3 3 T T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 L L=30MPa=30MPa，y y=60 MPa=60 MPa，其截面形心位于其截面形心位于G G点，点，y y1 1=52mm=52mm，y y2 2=88mm=88mm，I Iz z=763cm=763cm4 4，试校核，试校核此梁的强度。并说明此梁的强度。并说明T T字梁怎样放置更合理？字梁怎样放置更合理？4y1y2GP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD1717解：解：先求出支座反力，画先求出支座反力，画弯矩图并求出危险截面弯矩图并求出危险截面的内力的内力4x2.5kNm-4kNmMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD1818校核强度校核强度T T字头在上面合理。字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4y1y2GA3A4画应力分布图，找危险点画应力分布图，找危险点x2.5kNm-4kNmM191955553 3 3 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、一、一、矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1 1、两点假设：、两点假设：剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；矩中性矩中性轴等距离处，剪应力相等。轴等距离处，剪应力相等。dxxQ(x)+d Q(x)M(x)M(x)+d M(x)Q(x)dx20202 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b；在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，列，列x x方向的平衡方程方向的平衡方程Q(x)+d Q(x)M(x)M(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图b图图c2121由剪应力互等由剪应力互等s sxyzs s1 1t t1 1t tb图图c2222Q与横截面上剪力方向相同；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力横截面上的剪应力横截面上的剪应力1 1、剪应力的计算公式亦为：、剪应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b为y点处截面宽度。23232 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力、几种常见截面的最大弯曲剪应力工字钢截面：工字钢截面：翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax铅垂剪应力主要腹板承受(9597%)，且tmaxtminAf 腹板的面积;maxA Qt tf24245-45-4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件1 1 1 1、危险面与危险点分析、危险面与危险点分析、危险面与危险点分析、危险面与危险点分析 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。绝对值最大的截面的中性轴处。Qt ts ss ss sMt t一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件25252 2 2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在在Q Q和和MM均很大的截面的腹、翼相交处。均很大的截面的腹、翼相交处。s sMQt tt ts s2626校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：3 3 3 3、强度条件应用：、强度条件应用：、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：27274 4 4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，梁的跨度较短，MM较小，而较小，而Q Q较大时，要校较大时，要校核剪应力。核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。要校核剪应力。28282929