第三节、全微分ppt课件

我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物全微分的概念与计算全微分的概念与计算一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、全微分的几何意义四、全微分在近似计算中的应用全微分的概念与计算一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、全1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复习:一元函数 y=f(x)的微分可微可导复习:一元函数 y=f(x)的微分可微可导2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、全微分的定义一、全微分的定义一、全微分的定义3我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义:如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点(x,y)可表示成可表示成其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关有关，称为函数称为函数在点在点(x,y)的的全微分全微分,记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,则称函数则称函数 f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处处全增量全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D4我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2)偏导数连续偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可函数可微微函数函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可可微微由微分定义由微分定义:得函数在该点函数在该点连续连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(15我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、全微分存在的条件二、全微分存在的条件1.1.必要条件必要条件2.2.充分条件充分条件3.二、全微分存在的条件1.必要条件6我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理1 1(必要条件必要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可可微微,则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数同样可证同样可证证证:由全增量公式由全增量公式必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x7我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物反例反例:函数函数易知易知 但因此因此,函数在点函数在点(0,0)不可微不可微.注意注意:定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立.偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.8我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理2(充分条件充分条件)证证：若函数若函数的偏导数的偏导数则函数在该点则函数在该点可微分可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机9我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物所以函数所以函数在点可微可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到注意到,故有故有所以函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返10我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动 目录 11我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物回头看全微分公式回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.12我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数的全微分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三13我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1解解例例2解解例1解例2解14我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3解解例3解15我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyoMN.f(x)dy x 微分是函数的局部线性化微分是函数的局部线性化微分是函数的局部线性化微分是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？=tan x复习一元函数微分即：即：.y微微分分的几何意义的几何意义xyoMN.f(x)dyx微分是函数的局部线性化.用切16我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、全微分的几何意义三、全微分的几何意义三、全微分的几何意义17我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物空间中的平面方程空间中的平面方程几何意义几何意义空间中的平面方程几何意义18我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xz y0 PQMN x yABdz=AB:切面立标的增量切面立标的增量z=f(x,y)z=AN：曲面立标的增量曲面立标的增量过点过点M的切平面的切平面：即即：dz z=AB+BN.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量dz全微分的几何意义xz y0 PQMNx yABdz=AB:切面立19我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用20我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物有一圆柱体有一圆柱体,受压后发生形变受压后发生形变,它的半径有它的半径有20cm增大到增大到20.05cm,高度由高度由100cm减少到减少到99cm.求此圆柱求此圆柱体体积变化的近似值体体积变化的近似值.设圆柱体的半径、高和体积依次为设圆柱体的半径、高和体积依次为 r,h 和和V,则有则有例例4解解有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径有20cm增大到2021我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5解解例5解22我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例6解解例6解23我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节、全微分ppt课件24我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物从而从而g的相对误差约为的相对误差约为从而g的相对误差约为25我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例7解解例7解26我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节、全微分ppt课件27我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节、全微分ppt课件28我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节、全微分ppt课件29我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例8证证例8证30我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导31我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.微分应用微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差机动 32我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物思考与练习1.P130 题 1(总习题9)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.P130 题 1(总习题9)函数在可微33我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 答案答案:也可写作:当 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 时 z=0.02,d z=0.03 3.P13 0 题题 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案:也可写作:当 x=2,y=1,x=34我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4.设设解解:利用轮换对称性,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束(L.P245 例2)注意注意:x,y,z 具有 轮换对称性轮换对称性 4.设解:利用轮换对称性,可得机动 目录 上35