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1、一般地，对于给定区间、一般地，对于给定区间D上的函数上的函数f(x)，若，若对于属于区间对于属于区间D的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1，x2，当当x1x2时，有时，有问题：问题：函数单调性的定义怎样描述的函数单调性的定义怎样描述的?(1)若若f(x1)f(x)f(x2 2)，那么，那么f(x)f(x)在这个区间上在这个区间上是是减函数减函数.1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若问题：函数单调1(2)(2)作差作差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)()(作商作商)2 2用定义证明函数的单调性的一般步骤：用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取任取x1、x2D，且，且x1 x2.(4)(4)定号定号(判断差判断差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)的正负的正负)(与与0 0比较比较)(3)(3)变形变形(因式分解、配方、通分、提取公因式因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)(5)结论结论(2)作差f(x1)f(x2)(作商)2用定义证明函数2思考：那么如何求出下列函数的单调性呢思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 +7 (2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x发现问题：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：时。例如：2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7，是否有更为简捷的方法，是否有更为简捷的方法呢？呢？思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x331.3.1函数的单函数的单调性与导数调性与导数高二数学高二数学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数高二数学 选修2-2 42yx0.观察函数观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象：的图象：总结总结:该函数在区该函数在区间（间（，2）上）上单单减减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导数为负导数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0,即即导数为导数为0.函数在该点单调性函数在该点单调性发生改变发生改变.在区间（在区间（2，+）上上单增单增,切线斜率切线斜率大于大于0,即其即其导数为导数为正正.2yx0.观察函数y=x24x3的图象：总结5xyOxyOxyOy=xy=x2 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.结论：在某个区间结论：在某个区间(a a,b b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增;如果如果 ,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减.如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f f(x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数xyOxyOxyOy=xy=x2 观察下6结论结论:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间 内可导内可导,则函数在该区间则函数在该区间注意注意:如果在如果在某个区间内某个区间内恒有恒有f f(x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数如果如果f(x)0,结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间注意:如果在某个区7例例1 1、求函数、求函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7+7的单调区间的单调区间.f(x)的单增区间为（的单增区间为（，0）和（）和（2，）f(x)f(x)的单减区间的单减区间(0,2)(0,2)说明：当说明：当x=0 x=0或或2 2时时,f(x)=0,f(x)=0,即函数在该点即函数在该点 单调性发生改变单调性发生改变.题型一：求函数的型一：求函数的单调性、性、单调区区间变变式式1：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。解解:变变式式2：求函数求函数 的单调的单调递减递减区间。区间。注意：考虑定义域注意：考虑定义域例1、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.f(x)8小结：小结：根据导数确定函数的单调性步骤：根据导数确定函数的单调性步骤：1.1.确定函数确定函数f(x)f(x)的定义域的定义域.2.2.求出函数的导数求出函数的导数.3.解不等式解不等式f(x)0,得函数单增区间得函数单增区间;解不等式解不等式f(x)0,得函数单减区间得函数单减区间.小结：根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定9练习：求下列函数的单调区间练习：求下列函数的单调区间增区间为增区间为(0,+)(0,+)减区间为减区间为(-,0)(-,0)注意：考虑定义域注意：考虑定义域题型型一一：求函数的：求函数的单调性、性、单调区区间增区间为增区间为减区间为减区间为增区间为增区间为(-1,1)(-1,1)减区间为减区间为(-,-1),(1(-,-1),(1,+)增区间为增区间为减区间为减区间为练习：求下列函数的单调区间增区间为(0,+)减区间为(-10ABxyo23题型二题型二：应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象例例2、已知导函数的下列信息：、已知导函数的下列信息：试画出函数试画出函数f(x)f(x)图象的大致形状。图象的大致形状。ABxyo23题型二：应用导数信息确定函数大致图象例2、已知11已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。分析分析：ABxyo23ABxyo23题型题型二二：应用导数信息确定函数大致图象：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：试画出函数 图象的大致12已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。分析分析：ABxyo23解：解：的大致形状如右图：的大致形状如右图：题型题型二二：应用导数信息确定函数大致图象：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：试画出函数 图象的大致13xyo12xyo12xyo1 2xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类浙江理工类)设设 是函数是函数 的导函数，的导函数，的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)14(04年全国理年全国理)Bxyo高考试(04年全国理)Bxyo尝15例例3 3 如图如图,水以常速水以常速(即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同)注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象.(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO例3 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入16 一般地一般地,如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的的绝对值绝对值较大较大,那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快,这时这时,函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”(”(向上或向上或向下向下);反之反之,函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些.如图如图,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”,在在 或或 内的图象内的图象“平缓平缓”.通通过函数函数图像，不像，不仅可以看出函数的增或减，可以看出函数的增或减，还可可以看出其以看出其变化的快慢，化的快慢，结合合图像，从像，从导数的角度解数的角度解释变化快慢的情况。化快慢的情况。一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,17练习练习函数函数 的图象如图所示的图象如图所示,试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状Oabcxy练习函数 的图象如图所示,试18一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,则函数在该则函数在该区间区间如果如果f(x)0,小结小结1 1、函数单调性函数单调性与导数正负的关系与导数正负的关系：2 2、根据导数确定函数的单调性步骤根据导数确定函数的单调性步骤：（1 1）确定函数确定函数f(x)f(x)的定义域的定义域.（2 2）求出函数的导数求出函数的导数.（3）解不等式解不等式f(x)0,得函数单增区间得函数单增区间;解不等式解不等式f(x)0(f(x)24练习练习1：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值值范范围围。解：解：f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，f(x)=3ax2+6x-10在在R上恒成立，上恒成立，a0(f(x)29
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