排序不等式ppt课件

三排序不等式三排序不等式【自主【自主预习】1.1.顺序和、乱序和、反序和的概念序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序有两个有序实数数组:a:a1 1aa2 2aan n;b;b1 1bb2 2bbn n,c c1 1,c,c2 2,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2,b,bn n的任意一个排列的任意一个排列.【自主预习】(1)(1)顺序和序和:_.:_.(2)(2)乱序和乱序和:_.:_.(3)(3)反序和反序和:_.:_.a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn na a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+an nc cn na a1 1b bn n+a+a2 2b bn-1n-1+a+an nb b1 1(1)顺序和:_.a1b1+a2.2.排序不等式排序不等式(排序原理排序原理)设a a1 1aa2 2aan n,b,b1 1bb2 2bbn n为两两组实数数,c,c1 1,c,c2 2,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2,b,bn n的任一排列的任一排列,则_aa1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+an nc cn n_,_,当且当且仅当当a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=bn n时,反序和等于反序和等于顺序和序和.a a1 1b bn n+a+a2 2b bn-1n-1+a+an nb b1 1a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n2.排序不等式(排序原理)a1bn+a2bn-1+anb【即【即时小小测】1.1.已知已知a,b,cRa,b,cR+,则a a3 3+b+b3 3+c+c3 3与与a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a a的大小关系的大小关系是是()A.aA.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a aB.aB.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a aC.aC.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a aD.aD.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a a【即时小测】【解析】【解析】选选B.B.因为因为a,b,cRa,b,cR+,不妨设不妨设abc,abc,则则a a2 2bb2 2cc2 2,由排序不等式得由排序不等式得a a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a.a.【解析】选B.因为a,b,cR+,不妨设abc,则a22.2.若若abc,xyz,abc,xyz,则下列各式中下列各式中值最大的一个是最大的一个是()A.ax+cy+bzA.ax+cy+bzB.bx+ay+czB.bx+ay+czC.bx+cy+azC.bx+cy+azD.ax+by+czD.ax+by+cz【解析解析】选选D.D.因为因为abc,xyz,abc,xyz,由排序不等式由排序不等式:反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和,得得:顺序和顺序和ax+by+czax+by+cz最大最大.2.若abc,xyz,则下列各式中值最大的一个是(3.3.已知已知a,b,c0,a,b,c0,且且a a2 2+b+b2 2+c+c2 2=3,=3,则的最大的最大值是是_._.【解析】解析】因为因为a,b,c0,a,b,c0,不妨设不妨设abc,abc,则则a a2 2bb2 2cc2 2,则则 3.已知a,b,c0,且a2+b2+c2=3,则当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立,又又a a2 2+b+b2 2+c+c2 2=3,=3,所以所以a=b=c=1,a=b=c=1,于是于是 的最大值为的最大值为3.3.答案答案:3 3当且仅当a=b=c时等号成立,又a2+b2+c2=3,【知【知识探究】探究】探究点探究点排序不等式排序不等式1.1.使用排序不等式的关使用排序不等式的关键是什么是什么?提示提示:使用排序不等式使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系来探求对应项的乘积的和的大小关系.【知识探究】2.2.已知两已知两组数数1,2,31,2,3和和4,5,6,4,5,6,试检验它它们的的顺序和是序和是否最大否最大?反序和是否最小反序和是否最小?提示提示:反序和反序和S S1 1=16+25+34=28,=16+25+34=28,乱序和乱序和S=14+26+35=31,S=14+26+35=31,S=15+24+36=31,S=15+24+36=31,S=15+26+34=29,S=15+26+34=29,2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是S=16+24+35=29,S=16+24+35=29,顺序和顺序和S S2 2=14+25+36=32.=14+25+36=32.由以上计算知由以上计算知S S1 1SSSS2 2,所以顺序和最大所以顺序和最大,反序和最小反序和最小.S=16+24+35=29,【归纳总结】1.1.对排序不等式的理解排序不等式的理解排序原理是排序原理是对不同的两个数不同的两个数组来研究不同的乘来研究不同的乘积和的和的问题,能构造的和按数能构造的和按数组中的某种中的某种“搭配搭配”的的顺序被分序被分为三种形式三种形式:顺序和、反序和、乱序和序和、反序和、乱序和,对这三种不同三种不同【归纳总结】的搭配形式只需注意是怎的搭配形式只需注意是怎样的的“次序次序”,”,两种两种较为简单的的是是“顺与反与反”,”,而乱序和也就是不按而乱序和也就是不按“常理常理”的的顺序了序了.的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反2.2.排序不等式的本排序不等式的本质两两实数序列同方向数序列同方向单调(同同时增或同增或同时减减)时所得两两乘所得两两乘积之和最大之和最大,反方向反方向单调(一增一减一增一减)时所得两两乘所得两两乘积之之和最小和最小.2.排序不等式的本质3.3.排序不等式取等号的条件排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列等号成立的条件是其中一序列为常数序列常数序列,即即a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=b3 3=b=bn n.3.排序不等式取等号的条件4.4.排序原理的思想排序原理的思想在解答数学在解答数学问题时,常常涉及一些可以比常常涉及一些可以比较大小的量大小的量,它它们之之间并没有并没有预先先规定大小定大小顺序序,那么在解答那么在解答问题时,我我们可以利用排序原理的思想方法可以利用排序原理的思想方法,将它将它们按一定按一定顺序序排列起来排列起来,继而利用不等关系来解而利用不等关系来解题.因此因此,对于排序原于排序原4.排序原理的思想理理,我我们要要记住的是住的是处理理问题的的这种思想及方法种思想及方法,同同时要要学会善于利用学会善于利用这种比种比较经典的典的结论来来处理理实际问题.理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利类型一型一利用排序不等式求最利用排序不等式求最值【典例】【典例】设a,b,ca,b,c为任意正数任意正数,求求 的最小的最小值.类型一利用排序不等式求最值【解【解题探究】探究】本例中要利用排序原理求解最小本例中要利用排序原理求解最小值,关关键是什么是什么?提示提示:关键是找出两组有序数组关键是找出两组有序数组,然后根据反序和然后根据反序和乱序乱序和和顺序和求解最小值顺序和求解最小值.【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键是什么?【解析】【解析】不妨设不妨设a ab bc,c,则则a+ba+ba+ca+cb+c,b+c,由排序不等式得由排序不等式得,+【解析】不妨设abc,则a+ba+cb+c,上述两式相加得上述两式相加得:2(+)3,2(+)3,即即 +.+.当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,+,+取最小值取最小值 .上述两式相加得:【方法技巧】【方法技巧】利用排序原理求最利用排序原理求最值的方法技巧的方法技巧求最小求最小(大大)值,往往所往往所给式子是式子是顺(反反)序和式序和式.然后利用然后利用顺(反反)序和不小序和不小(大大)于乱序和的原理适当构造出一个或于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小二个乱序和从而求出其最小(大大)值.【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧【变式式训练】1.1.已知两已知两组数数1,2,31,2,3和和4,5,6,4,5,6,若若c c1 1,c,c2 2,c,c3 3是是4,5,64,5,6的一个排列的一个排列,则1c1c1 1+2c+2c2 2+3c+3c3 3的最大的最大值是是_,_,最小最小值是是_._.【解析】【解析】由反序和由反序和乱序和乱序和顺序和知顺序和知,顺序和最大顺序和最大,反反序和最小序和最小,故最大值为故最大值为32;32;最小值为最小值为28.28.答案答案:32322828【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2.2.设0abc0abc且且abc=1.abc=1.试求求 的最小的最小值.【解析】【解析】令令S=S=2.设00,abc0,则则 .因而因而 又又a a5 5bb5 5cc5 5.由排序不等式由排序不等式,得得 =【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设abc0,又由不等式性质又由不等式性质,知知a a2 2bb2 2cc2 2,根据排序不等式根据排序不等式,得得 =+.=+.由不等式的传递性知由不等式的传递性知 +=.+=.又由不等式性质,知a2b2c2,【延伸探究】【延伸探究】本例中若将要本例中若将要证明的不等式改明的不等式改为 如何如何证明呢明呢?【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为【证明】【证明】不妨设不妨设abc,abc,则则 ,bccaab.,bccaab.由排序原理由排序原理,得得 即即 a+b+c.a+b+c.因为因为a,b,ca,b,c为正数为正数,所以所以abc0,a+b+c0,abc0,a+b+c0,所以所以 abc.abc.【证明】不妨设abc,则 ,bccaa【方法技巧】【方法技巧】利用排序不等式利用排序不等式证明不等式的策略明不等式的策略(1)(1)利用排序不等式利用排序不等式证明不等式明不等式时,若已知条件中已若已知条件中已给出出两两组量的大小关系量的大小关系,则需要分析清楚需要分析清楚顺序和、乱序和及序和、乱序和及反序和反序和.利用排序不等式利用排序不等式证明即可明即可.【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略(2)(2)在排序不等式的条件中在排序不等式的条件中,需要限定各数需要限定各数值的大小关系的大小关系,如果如果对于它于它们之之间并没有并没有预先先规定大小定大小顺序序,那么在解那么在解答答问题时,我我们要根据各字母在不等式中的地位的要根据各字母在不等式中的地位的对称称性将它性将它们按一定按一定顺序排列起来序排列起来,进而用不等关系来解而用不等关系来解题.(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关系,如果对【变式式训练】设x,y,zRx,y,zR+,且且x+y+z=1,x+y+z=1,则P=P=与与1 1的大小关系的大小关系为()A.P=1A.P=1B.P1B.P0,0,使得使得b b1 1=,b=,b2 2=,b=,bn-1n-1=,b=,bn n=.=.由排序不等式有由排序不等式有:b:b1 1+b+b2 2+b+bn n=x x1 1 +x +x2 2 +x +xn n =n,=n,【解析】令bi=(i=1,2,n),则b1b2当且仅当当且仅当x x1 1=x=x2 2=x=xn n时取等号时取等号,所以所以 n,n,即即 G Gn n.即即A An nGGn n.当且仅当x1=x2=xn时取等号,所以 排序不等式ppt课件