弹塑性力学2应变分析课件

第二章 应变分析第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系第二节 应变状态分析第三节 主应变第四节 应变张量和应变偏量第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）（Equations of compatibility）第二章 应变分析1第二章 应变分析第一节 一点的应变状态 应变与位移的关1第二章 应变分析2 本章从几何学的观点出发分析研究物体的变形。本章从几何学的观点出发分析研究物体的变形。反映物体反映物体变形规律的数学方程变形规律的数学方程也有两类，即也有两类，即几何方程几何方程和和变形协调方程变形协调方程。由于这两类方程都是基于物体连续性的假定从几何学出发得到由于这两类方程都是基于物体连续性的假定从几何学出发得到的，并不涉及产生变形的原因和物体的材料性质，所以它们均的，并不涉及产生变形的原因和物体的材料性质，所以它们均属于属于“普适方程普适方程”。第二章 应变分析2 2第二章 应变分析3 在外力作用下，物体各点的位置要发生改变，即发生在外力作用下，物体各点的位置要发生改变，即发生位移。如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位移。如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，将这种位移称位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，将这种位移称为为刚体位移刚体位移。如如果果物物体体各各点点发发生生位位移移后后改改变变了了各各点点间间初初始始状状态态的的相相对对位位置置，则则物物体体就就同同时时产产生生了了形形状状的的变变化化，统统称该物体产生了变形称该物体产生了变形.第二章 应变分析3 在外力作3第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二章 应变分析4 为了确定正应变的定为了确定正应变的定义，在一受拉杆上有线段义，在一受拉杆上有线段ABAB，在变形后，变为，在变形后，变为 （见右图）。（见右图）。若线段若线段 AB AB 的长度为的长度为 ，变形后的，变形后的A A点的点的第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二章 应变4第二章 应变分析5 下下面面我我们们讨讨论论一一般般情情况况，给给出出应应变变的的概概念念。设设在在直直角角坐坐标标系系中中，变变形形前前A点点的的坐坐标标是是（x，y，z），变变形形后后的的坐坐标标是是（x+u，y+v，z+w），这这里里u，v，w是是A点点的的位位移移在在x，y，z三三轴轴上上的的投投影影，它它们们都都是是坐坐标标x，y，z的的连连续续函函数数，而而且且位位移移的的导导数数也是连续的也是连续的。定义：定义：正应变正应变（21）显然，如果变形的分布是均匀的，则有显然，如果变形的分布是均匀的，则有:即：即：材料力学的拉伸应变材料力学的拉伸应变。（22）位移是位移是u u，而，而B B 点的位移是点的位移是 u u+u u，则线段，则线段 增加了增加了 u u。第二章 应变分析5 下面我们讨论一般情况，给出应变的5 第二章 应变分析6设由变形体中取出一个微小六面体（见书中图23变形体的投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。由于变形很微小，所以可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶的微量，因而，两个平行面的投影可以合并为一个投影面。第二章 应变分析6设由变形体中取出6第二章 应变分析7 首首先先，研研究究平平行行六六面面体体在在xoz面面上上的的投投影影ABCD（见见书书中中图图24）。在在变变形形前前六六面面体体A点点的的坐坐标标为为（x，y，z），在在六六面面体体变变形形时时，投投影影上的上的A点移到了点移到了 点，同时点，同时而整个而整个ABCD移到移到 。设设A点的位移是点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：，它们是坐标的函数，因此有：（23）第二章 应变分析7 首先，研究平行六面体在xoz面上7而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：第二章 应变分析8根据根据泰勒级数展开式泰勒级数展开式，可得：，可得：略去略去高阶项高阶项后得到：后得到：（24）由于由于 则则AB在在x轴上的投影的伸长量为轴上的投影的伸长量为 ，则有：则有：而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为8同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：（25）当当 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：（29第二章 应变分析10下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。第二章 应变分析10 取变形前的直角取变形前的直角BAC或或 ，变形时，棱边，变形时，棱边 转动转动一个角度一个角度 ，棱边，棱边 转动一个角度转动一个角度 ，在，在xoz平面内，角平面内，角应变用应变用 表示，其值为表示，其值为 和和 之和，即：之和，即：（26）若若A点在点在z 轴方向的位移为轴方向的位移为 ，第二章 应变分析10下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变10第二章 应变分析11则则B点在点在Z 轴方向的位移为轴方向的位移为 ，B点与点与A点点沿沿Z 轴方向的位移之差为轴方向的位移之差为:在直角三角形在直角三角形 中，可得：中，可得：在在分分母母中中 （）与与1相相比比是是一一个个微微量量，故故可可以以略略去去，因因而而得出，得出，第二章 应变分析11则B点在Z 轴方向的位移为 11第二章 应变分析12同理可得：同理可得：所以有剪应变：所以有剪应变：同同理理可可得得另另外外两两个个剪剪应应变变 。即即有有剪剪应应变变的的表表达达式（式（27）（27）说明：剪应变的正负号说明：剪应变的正负号第二章 应变分析12同理可得：所以有剪应变：同理12第二章 应变分析13所以，正应变和剪应变的表达式为（所以，正应变和剪应变的表达式为（28）：）：（28）式式（28）称称为为柯柯西西（Cauchy）几几何何关关系系。式式(28)的的提提出出者者：法法国国工工业业学学院院的的数数学学教教授授柯柯西西（Cauchy）(17891857)，于，于1822年发表的论文提出的年发表的论文提出的可知：如果可知：如果已知位移分已知位移分量可以很简量可以很简单的求出应单的求出应变分量；反变分量；反之，则问题之，则问题比较复杂。比较复杂。第二章 应变分析13所以，正应变和剪应变的表达式为（2813第二章 应变分析14 利利用用类类似似的的方方法法，可可以以导导出出柱柱坐坐标标表表示示的的几几何何方方程程为式（为式（29）：）：（29）第二章 应变分析14 利用类似的方法，可以导出柱坐标14第二章 应变分析15其其中中，分分别别表表示示一一点点位位移移在在径径向向（r方方向向），环环向向（方向）以及轴向（方向）以及轴向（z方向）的分量。方向）的分量。对对于于平平面面问问题题，柱柱坐坐标标变变为为极极坐坐标标，则则平平面面极极坐坐标标表表示示的的几何方程为几何方程为：（210）下面给出式（下面给出式（210）的推导过程。）的推导过程。第二章 应变分析15其中，分别表示一点位移15第二章 应变分析16首先假定只有径向位移而没有环向位移首先假定只有径向位移而没有环向位移：如如图图（26）所所示示，在在P点点沿沿径径向向和和环环向向取取两两个个微微段段PA和和PB，设设PA移移到到了了 ，位位移移为为u；PB移移到到了了 ，则则P，A，B三点的位移分别为：三点的位移分别为：径向位移图径向位移图第二章 应变分析16首先假定只有径向位移而没有环向位移：16第二章 应变分析17则则PA的正应变为：的正应变为：PB的正应变为：的正应变为：径向线段径向线段PA的转角为：的转角为：环向线段环向线段PB的转角为：的转角为：所以有：所以有：第二章 应变分析17则PA的正应变为：PB的正应变为：17第二章 应变分析18其次，假定只有环向位移而没有径向位移其次，假定只有环向位移而没有径向位移:见图见图27，由于，由于P点的环向位移点的环向位移v，径向线，径向线段段PA移段到了移段到了 ，环，环向线段向线段PB移到了移到了 ，则则P，A，B三点的位移三点的位移分别为：分别为：可见：径向线段可见：径向线段PA的正应变为的正应变为：图图2-7 环向位移图环向位移图第二章 应变分析18其次，假定只有环向位移而没有径向位移:18第二章 应变分析19环向线段环向线段PB的正应变为：的正应变为：径向线段径向线段PA的转角为：的转角为：环向线段环向线段PB的转角为：的转角为：第二章 应变分析19环向线段PB的正应变为：径向线段PA19第二章 应变分析20所以剪应变为：所以剪应变为：因因此此，如如沿沿径径向向和和环环向向都都有有位位移移，则则根根据据叠叠加加原原理理可可得得式式（210）。）。对对于于轴轴对对称称问问题题：，则则式式（210）的的平平面极坐标几何方程为（面极坐标几何方程为（211）（211）对于球对称问题：变形的几何方程为式（对于球对称问题：变形的几何方程为式（212）（212）第二章 应变分析20所以剪应变为：因此，如沿径向20第二章 应变分析21 注意：书中注意：书中P47对方程（对方程（210）的相关项进行了解释）的相关项进行了解释.第二章 应变分析21 注意：书中P47对方程（221第二节 应变状态分析 第二章 应变分析22 现现在在已已知知物物体体内内任任一一点点P P 的的六六个个应应变变分分量量 ，试试求求经经过过该该点点（P点点）的的沿沿N方方向向的的任任一一微微小小线线段段PNdr的的正正应应变变，以以及及经经过过P点的微小线段点的微小线段PN和和 的夹角的改变。的夹角的改变。令令PN的方向余弦为的方向余弦为l、m、n，则，则PN在坐标轴上的投影为：在坐标轴上的投影为：第二节 应变状态分析 第二章 应变分析22 现在22第二章 应变分析23（213）设设P点的位移分量为点的位移分量为u，v，w，则，则N点的位移分量为：点的位移分量为：略去高阶项（小量）得：略去高阶项（小量）得：同理可得同理可得：即有式（即有式（214）第二章 应变分析23（213）设P点的位移分量为u，v23第二章 应变分析24（214）在变形后，线段在变形后，线段PN在坐标轴上的投影为（在坐标轴上的投影为（215）式：即）式：即（215）第二章 应变分析24（214）在变形后，线段PN在坐标24第二章 应变分析25 令线段令线段PN的正应变为的正应变为 ，则该线段变形后的长度为：，则该线段变形后的长度为：而且有而且有（216）上式两边同除以上式两边同除以 ，并利用，并利用（213）式得：式得：第二章 应变分析25 令线段PN的正应变为 ，则25第二章 应变分析26 因因为为 和和位位移移分分量量的的导导数数都都是是微微小小的的，它它们们的的平平方方和和乘乘积可以不计，可得：积可以不计，可得：利用利用 ，上式可得：，上式可得：再利用几何方程可得：再利用几何方程可得：（217）第二章 应变分析26 因为 和位移分量的导数都是26第二章 应变分析27下面来求下面来求PN和和 的夹角的改变的夹角的改变 设设PN在在变变形形后后的的方方向向余余弦弦为为 ，则则由由式式（213）和式（和式（215）可以得到：）可以得到：注注意意到到 ，都都是是微微小小量量，在在展展开开上上式式后后，略略去去二阶以上的微小量得：二阶以上的微小量得：第二章 应变分析27下面来求PN和 的夹角的改变 设27第二章 应变分析28同理可得出同理可得出 ，即得出式（，即得出式（218）（218）与与 此此 类类 似，设线段似，设线段 在在 变形变形 之之 前前 的的 方方 向向 余余 弦弦 为，为，则其在变形后的方向余弦为：则其在变形后的方向余弦为：第二章 应变分析28同理可得出 ，即得出式（28第二章 应变分析29（219）（220）其中，其中，是是 的正应变。的正应变。令令PN和和 在变形之前的夹角为在变形之前的夹角为 ，变形之后的夹角为，变形之后的夹角为 ，则有：则有：第二章 应变分析29（219）（220）其中，29将式（将式（218）和（）和（219）代入，并略去高阶微量可得：）代入，并略去高阶微量可得：利用几何方程，并注意到利用几何方程，并注意到 ，则有：，则有：（221）由此可求出由此可求出 ，进而可求得，进而可求得 。30将式（218）和（219）代入，并略去高阶微量可得：利 由此可见：在物体内的任一点，如果已知六个应变分量，就可以求出经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两线段之间的夹角的改变。这就是说，六个应变分量完全决定了这一点的应变状态。31 由此可见：在物体内的任一点，如果已知六个应变分量第三节 主应变 在研究一点的应力状态时，可以找到三个相互垂直的没有剪应力作用的平面，将这些面称为主平面，而这些平面的法线方向称为主方向。在研究应变问题时，同样可以找到三个相互垂直的平面，在这些平面上没有剪应变，将这些面称为应变主平面，而这些平面的法线方向称为应变主方向。对应于该主方向的正应变称为主应变。第二章 应变分析32第三节 主应变 在研究一点的应力状态时32 一点的应变状态也可以用张量表示，这时引进符号 第二章 应变分析33（222）（书：（书：213）则应变张量为：则应变张量为：（223）（书：（书：214）通常通常称为称为“工程剪应变工程剪应变”一点的应变状态也可以用张量表示，这时引进符号 第二章33第二章 应变分析34应变张量还可以写为：应变张量还可以写为：式中的不同符号可以交换使用，这就要看在某些特定用途中哪个哪个用起来更方便。第二章 应变分析34应变张量还可以写为：34第二章 应变分析35下面分析如何确定主应变：下面分析如何确定主应变：在在直直角角坐坐标标系系空空间间中中取取一一微微小小线线段段 ，设设A点点在在x方向的位移为方向的位移为u，则有，则有B点在点在x方向的位移为：方向的位移为：图图2-8略去高阶微量得：略去高阶微量得：显然（或由全微分概念）有：显然（或由全微分概念）有：第二章 应变分析35下面分析如何确定主应变：在直35第二章 应变分析36进一步可写成式（进一步可写成式（224）（书：）（书：215）（224）（书：（书：215）这里要注意的是：当一个物体从一个这里要注意的是：当一个物体从一个位置变形到另一个空间位置（图位置变形到另一个空间位置（图29）时，）时，其中可能包括一部分刚体位移（平动或转其中可能包括一部分刚体位移（平动或转动），而这部分位移不引起形变，其实式动），而这部分位移不引起形变，其实式（224）中的）中的 和和 恰恰恰恰表示物体的微小刚性转动。（表示物体的微小刚性转动。（下页图下页图）图图2-9第二章 应变分析36进一步可写成式（224）（书：2136第二章 应变分析37B点的三部分位移点的三部分位移 一般来说，对于可变形固体而言，与物体内任一点A无限临近的一点B的位移有三个部分组成：1、随同A点的一个平动位移，如图中的 所示；2、绕A点的刚性转动在B点所产生的位移，如图中的 所示；3、由于A点临近微元体的形状变化在B点引起的位移，如图 所示，这部分位移与应变张量分量有关。第二章 应变分析37B点的三部分位移 一般来37第二章 应变分析38因此，当考虑纯变形时有：因此，当考虑纯变形时有：（225）（书：）（书：216）如果用张量表示，则为如果用张量表示，则为 其中，其中，j 称为称为“哑标哑标”（表示求和）（表示求和）。现现在在取取一一微微小小四四面面体体O123（图图210），为为法法线线方方向向，设设斜斜面面123上上只有正应变只有正应变 （即主平面），则有：（即主平面），则有：第二章 应变分析38因此，当考虑纯变形时有：（225）38第二章 应变分析39并且并且 一定为要求的主应变。一定为要求的主应变。（成比例是因为（成比例是因为 与与 方向一致）方向一致）（书：（书：217）代入式（代入式（225）（书：）（书：216）得出：（书：）得出：（书：218）（226）（书：）（书：218）第二章 应变分析39并且 一定为要求的主应变。（成比39第二章 应变分析40若上式有非零解，必须有若上式有非零解，必须有“系数行列式为零系数行列式为零”，可得：，可得：（227）（书：）（书：219）其中，其中，为应变第一、二、三不变量，且有：为应变第一、二、三不变量，且有：（228）（书：（书：220）第二章 应变分析40若上式有非零解，必须有“系数行列式为零40第二章 应变分析41若方程式（若方程式（227）可以因式分解，则应有：）可以因式分解，则应有：式中，式中，为主应变。为主应变。用主应变表示的应变不变量将为：用主应变表示的应变不变量将为：（书：（书：220）在主应变平面上，剪应变为零。在主应变平面上，剪应变为零。则由方程（则由方程（227）可以求出三个主应变。）可以求出三个主应变。第二章 应变分析41若方程式（227）可以因式分解，则应41第二章 应变分析42例：已知物体中任意一点的位移分量如下式表示，试比较点A（1，2，3）与点B（0.5，-1，0）的最大伸长值（绝对值）。解：利用几何方程求得应变分量为：第二章 应变分析42例：已知物体中任意一点的位移分量如下式42第二章 应变分析43点A 的应变分量值为：应变不变量为：该点的主应变值可由下式确定，即为计算方便，令 代入上式，得第二章 应变分析43点A 的应变分量值为：应变不变量为：该43第二章 应变分析44以 代入上式，消去二项式，得此方程的解为：由此得A点的主应变为：故点A的最大伸长的绝对值为 可以用获可以用获得的三个主得的三个主应变之和是应变之和是否等于第一否等于第一应变不变量应变不变量的值，检验的值，检验所得结果是所得结果是否正确。否正确。第二章 应变分析44以 代入上44第二章 应变分析45 用同样的方法可以求得点B的主应变为：故点B的最大伸长的绝对值为 由以上计算可知，点A最大伸长值大于点B 的最大伸长的绝对值。第二章 应变分析45 用同样的方法可以求得点B的45第二章 应变分析46例：已知物体中某点的应变分量为：试求该点的主应变方向。解：首先计算应变不变量，并解三次方程，求得主应变值为为求解主应变方向，利用下列方程组：第二章 应变分析46例：已知物体中某点的应变分量为：试求该46第二章 应变分析47将 代入上式，第一式自然满足，其余两个方程式为以上两式的唯一解为 。为满足 ，则有 。即 的方向余弦为（1，0，0）。第二章 应变分析47将 代入上式，47第二章 应变分析48将 代入方程组，得 由第一式得 。由二、三式可得 。再由 得 ，由该式求得 ，而 。即 的方向余弦为（0，0.585，0.811）。同样可求得 的方向余弦为（0，-0.811，0.585，）第二章 应变分析48将 代入方程组48第四节 应变张量和应变偏量 仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（214）式可以分解为：第二章 应变分析49其中球形应变张量为：其中球形应变张量为：（230）（书：）（书：222）一、应变张量的分解一、应变张量的分解第四节 应变张量和应变偏量 仿照应力张量分解49第二章 应变分析50应变偏量应变偏量 可写为：可写为：式中，式中，为平均正应变。为平均正应变。其其中中，称称为为“应应变偏量分量变偏量分量”。可写为：。可写为：第二章 应变分析50应变偏量 可写为：式中，为50第二章 应变分析51（232）（书：）（书：223）第二章 应变分析51（232）（书：223）51第二章 应变分析52若若用用主主应应变变表表示示应应变变偏偏量量，则则有有式式（233）（书书：224）（233）（书：（书：224）三个坐标平面三个坐标平面为应变主平面为应变主平面在主应变为坐标的应变空间中有：在主应变为坐标的应变空间中有：由由应应变变偏偏量量张张量量的的定定义义式式（书书2-23）可可见见，它它是是一一个个实实对对称称二二阶阶张张量量，因因此此，存存在在三三个个主主值值及及其其相相应应的的主主方方向向。可可以以证证明明，应应变变偏偏量量张张量量的的主主方方向向与与应应变变张张量量的的主主方方向向一一致致，而而且且它它的的主主值值e1，e2，e3与与应应变变张张量量的的主主应变存在如左的关系。应变存在如左的关系。第二章 应变分析52若用主应变表示应变偏量，则有式（2352第二章 应变分析53同样，应变偏量增量也存在三个不变量，它们分别表示为：当用张量给出一点的应变状态时，需注意第二章 应变分析53同样，应变偏量增量也存在三个不变量，它53第二章 应变分析54其三次方程为：二、体积应变二、体积应变 在在考考虑虑塑塑性性变变形形时时，经经常常采采用用“体体积积不不变变”假假设设，这这时时球球形形应应变变张张量量为为零零，应应变变偏偏量量等等于于应应变变张张量量，即即“应应变变分分量量与与应应变变偏偏量量的的分分量量相相等等”，这这一一假假设设，对对于于简简化化计计算算来来了了方方便。便。现在我们来研究每单位体积的体积改变，即现在我们来研究每单位体积的体积改变，即体积应变体积应变。第二章 应变分析54其三次方程为：二、体积应变54第二章 应变分析55 设有微小的正平行六面体，它的设有微小的正平行六面体，它的棱边长度棱边长度是：是：变形前变形前它的体积为：它的体积为：变形后变形后它的体积称为：它的体积称为：因此，它的因此，它的体积应变体积应变为：为：对于对于小应变（忽略高阶微量）小应变（忽略高阶微量）有：有：第二章 应变分析55 设有微小的正平行六面体，它的棱55第二章 应变分析56（234）由此则有：由此则有：显显然然，若若体体积积不不变变，则则必必有有球球形形应应变变张张量量为为零零成成立立，且且有有 。在主应变空间在主应变空间：对于对于小应变小应变有：有：第二章 应变分析56（234）由此则有：显然56第二章 应变分析571 1、主剪应变（工程主剪应变）、主剪应变（工程主剪应变）（235）（书：）（书：225）三、相关结论三、相关结论 与应力分析类似。在应变分析中也有一些相应的公式，下与应力分析类似。在应变分析中也有一些相应的公式，下面给出有关结论：面给出有关结论：如果如果 ，则，则最大剪应变最大剪应变为：为：（236）（书：）（书：226）第二章 应变分析571、主剪应变（工程主剪应变）（2357第二章 应变分析58（1 1）等倾面等倾面（或称八面体面）的（或称八面体面）的剪应变剪应变为为 ，则有：，则有：（237）（书：）（书：227）2、八面体应变（正应变、剪应变）对任意一组坐标轴对任意一组坐标轴x，y，z的应变分量的八面体剪应变可写为：的应变分量的八面体剪应变可写为：第二章 应变分析58（1）等倾面（或称八面体面）的剪应变为58第二章 应变分析59单向拉伸情况单向拉伸情况：可得：可得 此时的此时的应变张量应变张量为：为：平均应变平均应变为为:3 3、单向拉抻时的应变、单向拉抻时的应变（2 2）等倾面等倾面（或称八面体面）的（或称八面体面）的正应变正应变为为 ，则有：，则有：（三个主应变的平均值）第二章 应变分析59单向拉伸情况：可得 此时的应变张量为：59第二章 应变分析60应变偏量的分量应变偏量的分量为：为：（书：（书：228）球形应变张量球形应变张量为：为：第二章 应变分析60应变偏量的分量为：（书：228）60第二章 应变分析61应变偏量应变偏量为：为：在以主应变在以主应变 为坐标轴的为坐标轴的主应变空间主应变空间内讨论。内讨论。4 4、应变强度（等效应变）、应变强度（等效应变）（239）（书：（书：230）当体积不可压缩时，令当体积不可压缩时，令 ，称为称为应变强度应变强度或或等效应变等效应变。这这里里之之所所以以不不称称 为为应应变变强强度度，而而又又引引进进符符号号 ，是是因因为要与应力分析中的情况相一致。为要与应力分析中的情况相一致。第二章 应变分析61应变偏量为：在以主应变 61第二章 应变分析625 5、应变率、应变率 应应变变率率：在在变变形形过过程程中中，单单位位时时间间中中应应变变值值的的增增量量称称为为“应变率应变率”。即：。即：（241）（书：）（书：231）根据小变形的几何关系，可得根据小变形的几何关系，可得应变率分量应变率分量：即：即：应变率应变率分量等于位移率分量对相应坐标的偏导数，也等于应变分量分量等于位移率分量对相应坐标的偏导数，也等于应变分量对时间的偏导数对时间的偏导数。第二章 应变分析625、应变率 应变率：在变形过程中62第二章 应变分析63（242）（书：（书：234）第二章 应变分析63（242）63第二章 应变分析64 在在塑塑性性力力学学中中经经常常使使用用应应变变增增量量的的概概念念。实实验验证证明明，静静力力学学中中塑塑性性变变形形规规律律和和时时间间因因素素是是没没有有关关系系的的，因因此此，用用应应变变增增量量来来代代替替应应变变率率往往往往更更能能表表示示塑塑性性静静力力学学应应变变不不受受时时间间参数影响的特点参数影响的特点。即即：通通常常使使用用的的不不是是应应变变率率张张量量，而而是是在在时时间间步步长长 或或dtdt 内内的的应应变增量。变增量。应变增量应变增量：6 6、应变增量、应变增量 有有了了应应变变增增量量的的概概念念，则则可可描描述述应应变变成成比比例例变变化化或或不不成成比例变化时的规律。比例变化时的规律。第二章 应变分析64 在塑性力学中经常使用应64第二章 应变分析657 7、应变强度增量、应变强度增量 应应变变强强度度与与初初始始应应变变状状态态和和最最终终应应变变状状态态有有关关，而而且且还还与与应应变变历史即变形过程有关。历史即变形过程有关。各增量间的关系：应变强度增量各增量间的关系：应变强度增量 与应变增量分量与应变增量分量 ，和和 有关。有关。（243）（书：）（书：236）注：注：的表达式中，只有简单加载条件下才有的表达式中，只有简单加载条件下才有 第二章 应变分析657、应变强度增量 应变强度与初始应变状65第二章 应变分析66 此此式式即即为为应应变变强强度度增增量量的的表表达达式式，它它是是各各应应变变分分量量增增量量的的函数函数。在塑性力学中，当在塑性力学中，当应变较大应变较大时，需采用另外一种表示应变时，需采用另外一种表示应变的方法的方法。8、工程应变、工程应变 有有一一截截面面为为 而而长长度度为为 的的受受拉拉构构件件，在在某某一一时时刻刻其其长长度度达达到到 而而截截面面积积为为 ，且且杆杆件件伸伸长长量量为为 ，则则应应变变增增量量及及应变的表达方法如下：应变的表达方法如下：工程应变工程应变：假设两质点相距：假设两质点相距 ，变形后为，变形后为 ，则有工程应，则有工程应变表达式（变表达式（244）：）：第二章 应变分析66 此式即为应变强度增量的66第二章 应变分析67（244）对对数数应应变变：设设某某瞬瞬时时的的应应变变增增量量为为 ，积积分分后后得得到对数应变的表达式（到对数应变的表达式（245）：）：（245）（书：）（书：237）（246）（书：）（书：238）显然有对数应变和工程应变之间的关系为：显然有对数应变和工程应变之间的关系为：第二章 应变分析67（244）对数应变：67第二章 应变分析68截面收缩率截面收缩率 ：（247）其中其中A0为初始时截面面积，为初始时截面面积，A为某一时刻的截面面积。为某一时刻的截面面积。若材料为不可压缩，则有：若材料为不可压缩，则有：（）或或 （248）不同应变指数之间的关系不同应变指数之间的关系见书中表见书中表2-2（P65）第二章 应变分析68截面收缩率 ：（247）68第二章 应变分析69例：给定一点的应变张量计算：（a）主应变 、和 ；（b）最大剪应变 ；（c）八面体应变 和 。解：（a）计算应变不变量，求主应变。第二章 应变分析69例：给定一点的应变张量计算：（a）主应69第二章 应变分析70特征方程变为或求得三个主应变为第二章 应变分析70特征方程变为或求得三个主应变为70第二章 应变分析71校核：用 、和 的值代入三个不变量的表达式，以校核所得结果。（b）计算最大剪应变 。（c）八面体应变 和 。第二章 应变分析71校核：用 、和 71第二章 应变分析72例：一点的应变状态由给定的应变张量 表示确定：（a）应变偏量张量 ；（b）应变偏量不变量 和 ；（c）单位体积的体积变化（膨胀）。第二章 应变分析72例：一点的应变状态由给定的应变张量 72第二章 应变分析73解：（a）计算平均应变。所以有应变偏量张量为：（b）计算不变量。第二章 应变分析73解：（a）计算平均应变。所以有应变偏量73第二章 应变分析74（c）单位体积的体积变化（膨胀）。即在该应变张量表示的应变状态下，该点附近体元的体积减小。第二章 应变分析74（c）单位体积的体积变化（膨胀）74第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）（Equations of compatibility）第二章 应变分析75 在在研研究究物物体体变变形形时时，一一般般都都取取一一个个平平行行六六面面体体进进行行分分析析，物物体体在在变变形形时时，各各相相邻邻的的小小单单元元不不能能是是互互相相无无关关的的，必必然然是是相相互互有有联联系系的的，因因此此应应该该认认为为是是物物体体在在变变形形前前是是连连续续的的，变变形形后后仍仍然然是是连连续续的的，连连续续物物体体应应变变之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式即即为为“应应变协调方程变协调方程”。第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）（Equa75第二章 应变分析76（28）方方程程组组(2-8)表表示示的的几几何何方方程程表表明明，六六个个应应变变分分量量是是通通过过三三个个位位移移分分量量表表示示的的，这这六六个个应应变变分分量量不不是是互互不不相相关关的的，它它们们之之间间必必然然存存在在着着一一定定的的联联系系。这这一一事事实实很很重重要要，因因为为如如果果我我们们知知道道了了位位移移分分量量，则则容容易易通通过过(2-8)式式获获得得应应变变分分量量；但但是反过来，如果纯粹从数学角度任意给出一组是反过来，如果纯粹从数学角度任意给出一组“应变分量应变分量”,第二章 应变分析76（28）方程组(276第二章 应变分析77则则几几何何方方程程给给出出了了包包含含六六个个方方程程而而只只有有三三个个未未知知函函数数的的偏偏微微分分方方程程组组，由由于于方方程程的的个个数数超超过过了了未未知知函函数数的的个个数数，方方程程组组可可能能是是矛矛盾盾的的。要要使使这这方方程程组组不不矛矛盾盾，则则六六个个应应变变分分量量必必须须满满足足一一定定的的条条件件。下下面面的的任任务务就就是是建建立立这这个个条条件件。为为此此，我我们要设法从方程组（们要设法从方程组（2-8）中消去所有的位移分量。）中消去所有的位移分量。设设物物体体中中的的某某一一点点的的坐坐标标是是（x，y，z），其其位位移移是是u、v、w，应应变变为为，若若已已知知u、v、w，则则应应变变便便可可用用位位移移表表示示；如如果果在在表表达达式式中中消消去去位位移移u、v、w，则可得到应变之间的关系。，则可得到应变之间的关系。第二章 应变分析77则几何方程给出了包含六个方程而只有三个77第二章 应变分析78 处理方式：现对正应变处理方式：现对正应变 分别对分别对y、x 取两次偏微取两次偏微分，则有：分，则有：将以上两式相加，可得：将以上两式相加，可得：这里这里,我们利用了我们利用了位移分量具有三阶的连续偏导数位移分量具有三阶的连续偏导数的性质。的性质。因为，因为，所以有：所以有：第二章 应变分析78 处理方式：现对正应变 78第二章 应变分析79同理可得另外两个类似的方程，故有式（同理可得另外两个类似的方程，故有式（249）（书：）（书：239）（249）（书：）（书：239）这是一组这是一组相容方程相容方程。第二章 应变分析79同理可得另外两个类似的方程，故有式（279第二章 应变分析80若取剪应变的表达式：若取剪应变的表达式：将上式的将上式的 分别对分别对 求一阶偏导数，可得：求一阶偏导数，可得：第二章 应变分析80若取剪应变的表达式：将上式的 80第二章 应变分析81将上式中的第一式与第三式相加，然后减去第二式，则可得：将上式中的第一式与第三式相加，然后减去第二式，则可得：再对再对 求导得出：求导得出：同理可得另外两式，即有式（同理可得另外两式，即有式（250）（书：）（书：240）：）：（250）（书：）（书：240）这是又一组这是又一组相容方程相容方程。第二章 应变分析81将上式中的第一式与第三式相加，然后减去81第二章 应变分析82综合以上（综合以上（2-49、50）书书2-39、40两式，有：两式，有：该该式式称称为为“变变形形协协调调方方程程式式”或或“变变形形的的协协调调方方程程”，又又称称为为圣圣维维南南（Saint-Venant）方方程程。是是圣圣维维南南首首次次导出的。导出的。(2-51)第二章 应变分析82综合以上（2-49、50）书2-3982第二章 应变分析83 其其实实，通通过过上上述述相相似似的的变变化化，可可以以导导出出无无穷穷多多组组相相容容方方程程，但但是是可可以以证证明明，如如果果满满足足了了上上式式(249)和和(250)两两组相容方程组相容方程，就可以保证位移的连续性。，就可以保证位移的连续性。上上式式表表示示要要使使以以位位移移分分量量为为未未知知函函数数的的六六个个几几何何方方程程不不相矛盾，则相矛盾，则六个六个应变分量必须满足应变协调方程应变分量必须满足应变协调方程。方方程程意意义义的的几几何何解解释释：如如将将物物体体分分割割成成无无数数个个微微分分平平行行六六面面体体，并并使使每每一一个个微微元元体体发发生生变变形形。这这时时如如果果表表示示微微元元体体变变形形的的六六个个应应变变分分量量不不满满足足一一定定的的关关系系，则则在在物物体体变变形形后后，微微元元体体之之间间就就会会出出现现“撕撕裂裂”或或“套套叠叠”等等现现象象，从从而而破破坏坏了了变变形形后后物物体体的的整整体体性性和和连连续续性性。为为使使变变形形后后的的微微元元体体能能重重新拼新拼第二章 应变分析83 其实，通过上述相似的变化，可以83第二章 应变分析84合合成成连连续续体体，则则应应变变分分量量就就要要满满足足一一定定的的关关系系，这这个个关关系系就就是是应应变变协协调调方方程程。因因此此说说，应应变变分分量量满满足足应应变变协协调调方方程程，是是保证物体保证物体连续连续的一个必要条件的一个必要条件。需要说明的几点：需要说明的几点：1、可可以以证证明明：如如果果物物体体是是单单联联通通的的，则则应应变变分分量量满满足足应应变协调方程还是物体连续的变协调方程还是物体连续的充分条件充分条件。从从数数学学的的观观点点来来看看，也也就就是是说说，如如果果应应变变分分量量满满足足应应变变协协调调方方程程，则则对对于于单单联联通通物物体体，就就一一定定能能通通过过几几何何方方程程的的积积分求得分求得单值连续的位移分量单值连续的位移分量。2、如如果果能能正正确确地地求求出出物物体体各各点点的的位位移移函函数数u，v，w，并并根据几何方程求出各应变分量，则根据几何方程求出各应变分量，则应变协调方程自然满足应变协调方程自然满足。第二章 应变分析84合成连续体，则应变分量就要满足一定的关84第二章 应变分析85 3、从从物物理理意意义义来来看看，如如果果位位移移函函数数是是连连续续的的，变变形形自自然然也就是可以协调。也就是可以协调。4、计计算算时时，采采用用位位移移法法求求解解，应应变变协协调调方方程程可可以以自自然然满满足足；而采用；而采用应力法求解应力法求解，则需要，则需要同时考虑应变协调方程同时考虑应变协调方程。5、对对于于多多联联通通物物体体，我我们们总总可可以以作作适适当当的的截截面面使使它它变变成成单单联联通通物物体体，如如此此则则上上述述的的结结论论完完全全适适用用。具具体体的的说说，如果应变分量满足应变协调方程，则在如果应变分量满足应变协调方程，则在此此被被割割开开后后的的区区域域里里，一一定定能能求求得得单单值值连连续续的的函函数数u，v，w。但但是是对对求求得得的的u，v，w，他他们们在在截截面面两两侧侧趋趋向向于于截截面面上上某某一一点点的值一般是不相同的，的值一般是不相同的，为了使考察的多联通物体在变形后仍为了使考察的多联通物体在变形后仍第二章 应变分析85 3、从物理意义来看，如85第二章 应变分析86保持为连续体，必须加上下列的补充条件：保持为连续体，必须加上下列的补充条件：式中：式中：分别为与截面同一点无分别为与截面同一点无限临近的两侧点的位移。限临近的两侧点的位移。因此，对于因此，对于多联通物体多联通物体，应变分量满足应变协调方程，应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件，只有加上只是物体连续的必要条件，只有加上补充条件补充条件，条件才是充，条件才是充分的。分的。6、对于对于平面应变问题平面应变问题，有：，有：则相容方程只有（则相容方程只有（249）中的第一式。）中的第一式。第二章 应变分析86保持为连续体，必须加上下列的补充条件：86第二章 应变分析87 柱坐标中的相容方程：柱坐标中的相容方程：用用相相同同的的方方法法可可以以导导出出柱柱坐坐标标中中的的变变形形协协调调条条件件为为式式（252）（书：）（书：241），即：），即：已知柱坐标系中物体内任意一点的六个应变分量所满足的已知柱坐标系中物体内任意一点的六个应变分量所满足的几何方程的形式为：几何方程的形式为：（29）第二章 应变分析87 柱坐标中的相容方程：用相同87第二章 应变分析88（252）（书：（书：241）第二章 应变分析88（252）88第二章 应变分析89极坐标中相容方程（平面应变问题极坐标中相容方程（平面应变问题）我们知道：对平面问题，柱坐标变为极坐标我们知道：对平面问题，柱坐标变为极坐标()，几，几何方程为（何方程为（2-10）：）：由由于于 ，变变形形协协调调条条件件只只剩剩下下（252）中中的第三式，即：的第三式，即：（210）第二章 应变分析89极坐标中相容方程（平面应变问题）89第二章 应变分析90（253）（书：（书：242）轴对称问题的相容方程：轴对称问题的相容方程：对对于于轴轴对对称称平平面面应应变变问问题题，应应变变分分量量与与 无无关关，变变形形协协调调条条件简化为式（件简化为式（254），即：），即：（254）（书：）（书：243）式（式（254）的左边项可由式（）的左边项可由式（253）的第二项获得：即：）的第二项获得：即：第二章 应变分析90（253）轴对称问题的相容方程：90第二章 应变分析91 应应变变协协调调方方程程的的物物理理意意义义：如如果果将将变变形形体体分分解解为为许许多多微微元元体体，每每个个微微元元体体的的变变形形都都用用六六个个应应变变分分量量描描述述。若若应应变变分分量量不不满满足足应应变变协协调调方方程程，则则这这些些微微元元体体将将不不能能构构成成一一个个连连续续体体，因因为为这这时时可可能能会会出出现现裂裂纹纹或或发发生生重重叠叠。满满足足应应变变协协调调方方程程便便能能保保证证变变形形前前后后物物体体的的连连续续性性，因因此此，连连续续介介质质的的应应变变状状态态是是否否可可能，需要利用应变协调方程来能，需要利用应变协调方程来检验检验。球坐标系下的相容方程：球坐标系下的相容方程：几何方程和应变协调方程见相关书籍。几何方程和应变协调方程见相关书籍。第二章 应变分析91 应变协调方程的物理意义：如果将91第二章 应变分析92例例 （书中（书中P68）已知下列的应变分量是物体变形时产生的，试）已知下列的应变分量是物体变形时产生的，试求系数之间应满足的关系式。求系数之间应满足的关系式。平面应变问题 解：该应变状态属于平面应变状态，这些应变分量应满足变形协调条件，即书中（2-39）式的第一式。本题的目本题的目的是的是应变协调方程的应用应变协调方程的应用。第二章 应变分析92例 （书中P68）已知下列的应变分量92第二章 应变分析93由应变分量可得：将以上各式代入应变协调条件可得：在物体内任一点上，即x、y为任意值时，上式皆应成立，因此得上式即为系数应满足的条件，而系数 可为任意常数。第二章 应变分析93由应变分量可得：将以上各式代入应变协调93第二章 应变分析94 例例2（书书P69）：在在平平面面轴轴对对称称情情况况下下，轴轴向向应应变变 为为常常数数，试试确确定定其其余余两两个个应应变变分分量量 和和 的的表表达达式式（材材料料是是不不可可压缩的）。压缩的）。该问题是该问题是轴对称平面应变问题轴对称平面应变问题。解释：解释：轴对称平面应变问题的相容方程（书中式轴对称平面应变问题的相容方程（书中式2-432-43）为：）为：积分该式可得出上式。积分该式可得出上式。令：令：第二章 应变分析94 例2（书P69）：在平94第二章 应变分析95分部积分法：分部积分法：协调方程为：协调方程为：注意：注意：第二章 应变分析95分部积分法：协调方程为：注意：95第二章 应变分析96说明：说明：将将 代入代入按商的求导法则：按商的求导法则：当材料不可压缩时，体积应变应为零，即第二章 应变分析96说明：将 96第二章 应变分析97式中 C 可由边界条件确定。第二章 应变分析97式中 C 可由边界条件确定。97第二章 应变分析98例：推导书中（2-42）式。在平面应变问题中，以极坐标表示的应变分量与位移之间的关系为试推导其变形协调条件。解：为从应变与位移之间的关系中消去位移分量u、v，进行如下计算：第二章 应变分析98例：推导书中（2-42）式。试推导其变98第二章 应变分析99由以上可得：第二章 应变分析99由以上可得：99第二章 应变分析100将上式等号右端代进以下关系式：则得到变形协调条件为：（与书中2-42式相同）第二章 应变分析100将上式等号右端代进以下关系式：则得到100第二章 应变分析101例：若物体处于平面应变状态下，即 试证明在单连域 内，为保证 和 的单值，应变分量 必须满足变形协调条件并证明其充分性。证明：由所给出的几何方程可求得第二章 应变分析101例：若物体处于平面应变状态下，即 试101第二章 应变分析102由此可得：上式即为变形协调条件。由此可知，几何方程的成立必然可导出协调方程（必要性）。为证明其充分性，应有：若协调条件成立，则必定存在u、v，而且在域内是单值连续函数。在求u时，需先求 和 ，而 可由几何方程得到。为求 ，沿通过坐标原点 与点 的某一曲线进行积分，并应用几何方程，则得第二章 应变分析102由此可得：上式即为变形协102第二章 应变分析103 为使上式的积分在单连域内与路径无关,必须满足即:第二章 应变分析103 为使上式的积分在单连103第二章 应变分析104 上式即为变形协调条件,亦即满足协调条件时 可以唯一的被确定。因此，可以计算位移u，即 同样，为由 、唯一地确定u，即与积分路径无关，必须满足 对于连续函数，求导数时与微分顺序无关，故上式是满足的。因此，可以唯一地确定u。第二章 应变分析104 上式即为变形协调条件,亦即满足104第二章 应变分析105 用同样的方法可以证明，只要满足变形协调条件，可以唯一地确定v（充分性）。由以上证明可知，变形协调条件是确定u(x,y)、v(x,y)有解的必要而充分条件。第二章 应变分析105 用同样的方法可以证明，105第二章 应变分析106例：若物体处于平面应变状态下，利用直角坐标中的应变分量与位移分量之间的关系式，并利用坐标转换公式，试导出以极坐标表示的应变分量与位移分量之间的关系式（2-10）。解：由直角坐标变换为极坐标时坐标轴之间的转换公式可得当坐标轴旋转时，位移分量之间的关系为由上式可得第二章 应变分析106例：若物体处于平面应变状态下，利用直106第二章 应变分析107又有将（c）代入（d），得第二章 应变分析107又有将（c）代入（d），得107第二章 应变分析108将直角坐标中的应变分量写成将（a）及（e）代入（f），得第二章 应变分析108将直角坐标中的应变分量写成将（a）及108第二章 应变分析109 将（g）代入平面应变状态下直角坐标和极坐标的应变分量转换关系式，即并经整理和化简后，得第二章 应变分析109 将（g）代入平面应变状109