7-6-7波动方程和能量1课件

1第三节 振动合成7-67-67-6 波动方程和波的能量波动方程和波的能量无色散介质无色散介质 一维波动方程一维波动方程综量是综量是的函数的函数解的形式：解的形式：当然包括当然包括平面简谐波平面简谐波介质中介质中的波速的波速由由知知(2)不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；化学中的扩散等过程；(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程说明说明弦上弦上横波横波a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为拉紧的绳子或弦线中横波的波速为 张力张力 线密度线密度细棒中纵波细棒中纵波杨氏模量：单杨氏模量：单位形变时单位位形变时单位面积受的力。面积受的力。b.均匀细棒中，纵波的波速为：均匀细棒中，纵波的波速为：固体棒的杨氏模量固体棒的杨氏模量 固体棒的密度固体棒的密度c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：固体媒质中传播的横波速率由下式给出：固体的切变弹性模量固体的切变弹性模量 固体密度固体密度d.液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：流体的容变弹性模量流体的容变弹性模量 流体的密度流体的密度 e.稀薄大气中的纵波波速为稀薄大气中的纵波波速为 气体摩尔热容比气体摩尔热容比 气体摩尔质量气体摩尔质量 气体摩尔常数气体摩尔常数(1)波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。波源振动的周期和频率相同。(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明说明f.电磁波传播速率电磁波传播速率真空中真空中电磁波场分量电磁波场分量7波动方程是线性的方程，从理论上保证了波动满足波动方程是线性的方程，从理论上保证了波动满足叠加原理；叠加原理；如果如果y1和和y2都是波动方程的解都是波动方程的解 将以上两式相加，得将以上两式相加，得 是波动方程的解，是两列波的叠加。所以是波动方程的解，是两列波的叠加。所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理加原理 8在比例极限以内，应力与应变满足线性关系在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的形变是很小的。当这样的波传来时，所引起的形变是很小的。9二二、波的能量、波的能量 波源的能量随着波传播到波所到达的各处。波源的能量随着波传播到波所到达的各处。以平面简谐以平面简谐纵波纵波为例，如图。取棒元为例，如图。取棒元x，质量为质量为m=Sx 其动能其动能波函数为波函数为振动速度振动速度 棒元的动能棒元的动能 波传到时棒元的波传到时棒元的应变应变 10式中式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。势能为势能为根据胡克定律根据胡克定律11由波函数和波速由波函数和波速 可得可得棒元的总机械能棒元的总机械能 这与振动的情形是不同的，对于振动，系统的这与振动的情形是不同的，对于振动，系统的总机械能是恒定的。总机械能是恒定的。12讨论：讨论：1.参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规律在随时间变化：律在随时间变化：当当某某介介质质体体元元通通过过平平衡衡位位置置时时，形形变变和和速速度度都都达达到到最最大大，故故势势能能和和动动能能也也都都出出现现最最大大值值；当当达达到到最最大大位位移移时时，形形变变和和速速度度都都为为零零，故故势势能能和和动动能也都出现零值。即：能也都出现零值。即：平衡位置时的总能量：平衡位置时的总能量：最大位置时的总能量：最大位置时的总能量：132.还有一点需要指出的，这就是势能属于谁的问还有一点需要指出的，这就是势能属于谁的问题。题。在波动中介质体元的势能是由介质体元自身在波动中介质体元的势能是由介质体元自身的形变引起的，所以这份的形变引起的，所以这份势能就应该属于形变体势能就应该属于形变体元自身所具有元自身所具有。形变体元实际上已经包含了相互。形变体元实际上已经包含了相互作用着的各个物体，或者说，作用着的各个物体，或者说，形变体元自身就是形变体元自身就是一个由相互作用的物体所组成的系统一个由相互作用的物体所组成的系统.比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同 波动过程波动过程振动过程振动过程波动过程，某质元具有的波动过程，某质元具有的能量能量w w是时间是时间t t的的周期函数周期函数振动过程，质元总能量不变振动过程，质元总能量不变传播能量传播能量不传播能量不传播能量和和 同相变化同相变化最大时、最大时、为为0最大时、最大时、为为015三、三、波的能量密度和平均能量密度波的能量密度和平均能量密度1.波的能量密度波的能量密度介质中单位体积的波动能量，称为介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度波的能量密度。16 波的能量密度在一个周期内的平均值，称为波的能量密度在一个周期内的平均值，称为平平均能量密度均能量密度。上式表示，上式表示，波的平均能量密度与振幅的平方、波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比频率的平方和介质密度的乘积成正比。2.波的平均能量密度波的平均能量密度17四四、波的能流和能流密度、波的能流和能流密度 (energy flux density)单位时间内通过介质中某单位时间内通过介质中某面积的能量面积的能量，称为通过该面，称为通过该面积的积的能流能流。Su1.能流能流2.平均能流平均能流在一个周期内的平均值，称为通过在一个周期内的平均值，称为通过该该面的面的平均能流平均能流。18 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流，称为能流密度能流密度，也称，也称波强度波强度。3.能流密度能流密度五、波的吸收五、波的吸收 波在介质中传播时，实际是衰减的，传播的越波在介质中传播时，实际是衰减的，传播的越远，振幅越小，减小的能量转变为介质的热能。远，振幅越小，减小的能量转变为介质的热能。设振幅的减小量为设振幅的减小量为dA，则：，则：19dx为传播的距离，为传播的距离，A为为dx处的振幅，处的振幅，为衰减系数为衰减系数由该式知，由该式知，振幅是指数性衰减的振幅是指数性衰减的。由于波的强度与振幅的平方成正比，所以平面由于波的强度与振幅的平方成正比，所以平面波波强度的衰减规律为：波波强度的衰减规律为：平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅1.1.平面波平面波（不吸收能量不吸收能量）由由得得这表明平面波在媒质不吸收的情况下这表明平面波在媒质不吸收的情况下,振幅不变。振幅不变。2.2.球面波球面波由由令令得得球面波的振幅在媒质不吸收的情况下球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随随 r 增大而减小。增大而减小。则则球面简谐波的波函数为球面简谐波的波函数为（A0为离原点（波源）单位距离处波的振幅）为离原点（波源）单位距离处波的振幅）221.3 kg m-3一频率为 1000 Hz波强为310-2 W m 2 330 m s-1此声波的振幅的声波在空气中传播波速为空气密度为波强2则122 310-21.33302000121.810 6 (m)因在空气中传播的声波是纵波，此振幅值表示媒质各体积元作振动时，在波线方向上相对于各自平衡位置的最大位移。例例 有一点波源有一点波源O发出球面波，设发出球面波，设O点的振动方程为点的振动方程为半径为半径为10m的波面上，某点的波面上，某点a 的振动方程为：的振动方程为：(1)求此波的波长求此波的波长；(2)求半径为求半径为25m的球形波面上任一点的球形波面上任一点b 的振幅和振动方程的振幅和振动方程。解解：(1)球面波的波动方程为球面波的波动方程为又 (2)25 小小 结结一一.平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数注意：注意：1.如波线与如波线与x轴的方向一致，轴的方向一致，x 前取负号，前取负号，否则取正号；否则取正号；2.坐标原点的选取与波源的位置无关；坐标原点的选取与波源的位置无关；3.当当x 一定时，波函数表示了距原点为一定时，波函数表示了距原点为x 处的质点在不同处的质点在不同时刻的位移。即时刻的位移。即x 处质点的振动方程；处质点的振动方程；4.当当t 一定时，波函数表示了给定时刻一定时，波函数表示了给定时刻Ox轴上各质点的位轴上各质点的位移分布情况；移分布情况；5.当当t 和和x都变化时，波函数表示了所有质点的位移随时间都变化时，波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况变化的整体情况26二二.平面波的波动方程平面波的波动方程三三、波的能量、波的能量 当当某某介介质质体体元元通通过过平平衡衡位位置置时时，形形变变和和速速度度都都达达到到最最大大，故故势势能能和和动动能能也也都都出出现现最最大大值值；当当达达到到最最大大位位移移时时，形形变变和和速速度度都都为为零零，故故势势能能和和动动能也都出现零值。能也都出现零值。27四、四、波的能量密度和平均能量密度波的能量密度和平均能量密度1.波的能量密度波的能量密度介质中单位体积的波动能量，称为介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度波的能量密度。2.波的平均能量密度波的平均能量密度28五五、波的能流和能流密度、波的能流和能流密度1.能流能流2.平均能流平均能流3.能流密度能流密度 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流，称为能流密度能流密度，也称，也称波强度波强度。297-77-7Wave interference 30一、波的干涉现象和规律一、波的干涉现象和规律 1.波的叠加原理波的叠加原理 两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域一区域；在相遇区域内共同在某质点引起的振动在相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。31 媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波面。的包络面就是该时刻的波面。.t 时刻的波面时刻的波面t+t时刻的波面时刻的波面子波波源子波波源tu32能够产生干涉现象的波，称为能够产生干涉现象的波，称为相干波相干波。激发相干波的波源激发相干波的波源，称为，称为相干波源相干波源。3.干涉现象干涉现象波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象 在两列波叠加的区域内，出现有些地方始终加强在两列波叠加的区域内，出现有些地方始终加强的，另一些地方始终减弱或完全抵消的现象的，另一些地方始终减弱或完全抵消的现象干干涉现象涉现象33（1）频率相同频率相同：若两列波的频率不同，则两者的：若两列波的频率不同，则两者的相位差随时间变化，合振动的振幅也随时间变化，相位差随时间变化，合振动的振幅也随时间变化，因而不可能观察到稳定的结果；因而不可能观察到稳定的结果；4.相干条件相干条件A 随时间变化随时间变化（2）振动方向相同振动方向相同：若两列波的振动方向不同，则：若两列波的振动方向不同，则它们对于同一质点引起的振动不在一条直线上，合它们对于同一质点引起的振动不在一条直线上，合成的振动一般为平面振动，不产生加强或减弱；成的振动一般为平面振动，不产生加强或减弱；如：如：两相互垂直振动的波两相互垂直振动的波34（3 3）相位差恒定相位差恒定：合振动的振幅要稳定，除了要：合振动的振幅要稳定，除了要求两列波的频率相同以外，还必须要求初位相差求两列波的频率相同以外，还必须要求初位相差恒定，要达到初相位差恒定，恒定，要达到初相位差恒定，必须要求两列波的必须要求两列波的波源稳定，而且传播介质的状况不变波源稳定，而且传播介质的状况不变。355.相干波的获得相干波的获得分波面法分波面法和和分振幅法分振幅法频率相同频率相同振动方向相同振动方向相同相位差恒定相位差恒定36设有两个相干波源设有两个相干波源S1和和S2，其其波源振动表达式波源振动表达式 4.干涉分析干涉分析两列波传播到两列波传播到P点引起的振动为点引起的振动为 37P点的合振动为点的合振动为 y=y1+y2=A cos(t+)其中其中 讨论：讨论：(1)干涉加强干涉加强的条件：的条件：A=A1+A2 38（2）干涉减弱）干涉减弱的条件：的条件：A=A1 A2 （3）若若1=2，则有，则有干涉加强干涉加强 干涉减弱干涉减弱 称为波程差。称为波程差。39（4 4）无论是干涉加强还是干涉减弱，该质点仍）无论是干涉加强还是干涉减弱，该质点仍然是振动的，只是振幅不同而已。但是如果干涉然是振动的，只是振幅不同而已。但是如果干涉相消，那么该质点是静止不动的。即：相消，那么该质点是静止不动的。即：若若 A1A2时，时，A0 干涉相消干涉相消（5）干涉现象不改变波的能量，只是改变空间的能量）干涉现象不改变波的能量，只是改变空间的能量分布。干涉加强处能量增加，干涉减弱处能量减少。分布。干涉加强处能量增加，干涉减弱处能量减少。二、驻二、驻 波波 (standing wave)当两列振幅相同、振动方向相同、频率相同、相当两列振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差恒定的两列波在同一直线上沿相反的方向传播位差恒定的两列波在同一直线上沿相反的方向传播时叠加而成的波时叠加而成的波称为称为驻波驻波。40驻波形成图解t=0t=T/8t=T/4t=3T/8t=T/2t=5T/8t=3T/4t=7T/8t=T 右行波右行波左行波左行波合成驻波合成驻波1 驻驻波波的的形形成成及及特特点点 振振幅幅相相同同、振振动动方方向向相相同同、频频率率相相同同、相相位位差差恒恒定定的的两两列列波波在在同同一一直直线线上上沿沿相相反反的的方方向向传传播播412 驻波的特点：驻波的特点：（1）驻波的波形不传播，只是幅度发生了变化）驻波的波形不传播，只是幅度发生了变化 行波的波形传播，而幅度不发生变化；行波的波形传播，而幅度不发生变化；（2）幅度在幅度在T的时间内，由平衡位置出发又恢复到的时间内，由平衡位置出发又恢复到平衡位置，即合成波的频率同两列波的频率相同；平衡位置，即合成波的频率同两列波的频率相同；（3）在波型上，有振动始终为）在波型上，有振动始终为0的几个点的几个点波波节，节，两波节相距两波节相距 ；42（4）在波型上，有振动始终处于最大值的几个）在波型上，有振动始终处于最大值的几个点点波腹波腹，两波腹相距为，两波腹相距为 ；（5）波型上各点的振幅是定值，只是不同点的振）波型上各点的振幅是定值，只是不同点的振幅不同。各点都有相同的振动频率；幅不同。各点都有相同的振动频率；（6）两波节之间各点振动相位相同，即同时达到）两波节之间各点振动相位相同，即同时达到最大值，同时达到平衡位置；最大值，同时达到平衡位置；波节两旁的各点振动相位相反，一边达最大，一波节两旁的各点振动相位相反，一边达最大，一边达最小。边达最小。432.驻波分析驻波分析 设有两列相干波，分别沿设有两列相干波，分别沿 x 轴正、负方向传轴正、负方向传播播,表达式为表达式为根据叠加原理，合成的波为根据叠加原理，合成的波为 注意到三角函数关系驻波方程驻波方程44讨论：讨论：（1）驻波各点的振幅是确定的，点不同，振）驻波各点的振幅是确定的，点不同，振幅不同，而行波各点具有相同的振幅；幅不同，而行波各点具有相同的振幅；（2）各点振动的相位与位置无关，只与时间）各点振动的相位与位置无关，只与时间有关，即波形不传播；有关，即波形不传播；驻波方程驻波方程45（3）波腹和波节的位置波腹和波节的位置振幅最大的位置振幅最大的位置：波腹，对应于：波腹，对应于即即驻波方程驻波方程振幅为零的位置振幅为零的位置：波节，对应于：波节，对应于即即结论：结论：凡是凡是 偶数倍处为波腹，奇数倍处为波节偶数倍处为波腹，奇数倍处为波节46（4）驻波的能量：）驻波的能量：(a)质点处于最大位移时，驻波能量为势能，且质点处于最大位移时，驻波能量为势能，且分布在波节附近；分布在波节附近；(b)质点在平衡位置时，驻波的能量为动能，且质点在平衡位置时，驻波的能量为动能，且分布在波腹附近；分布在波腹附近；（d）由于驻波是两列振幅相等，方向相反的两）由于驻波是两列振幅相等，方向相反的两列行波合成的，故两列波的平均能流密度相等，列行波合成的，故两列波的平均能流密度相等，方向相反，所以驻波的能流密度为零，即驻波不方向相反，所以驻波的能流密度为零，即驻波不传播能量。传播能量。(c)其他时刻的能量是动能其他时刻的能量是动能 势能的相互转化，势能的相互转化，并在波腹和波节之间往返集结并在波腹和波节之间往返集结;47（5）半波损失）半波损失(half-wave loss)称媒质称媒质 1 为为 波疏媒质；波疏媒质；uu2211 若若媒质媒质2媒质媒质 2 为为 波密媒质。波密媒质。媒质媒质1入射波从入射波从波疏介质波疏介质进入进入波密介质波密介质时的反射波发时的反射波发生生相位相位突变称为突变称为半波半波损失损失。u11波阻抗波阻抗u22波阻抗波阻抗48 当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射被反射到波疏介质时形成到波疏介质时形成波节波节.入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相位时时位时时相反相反,即反射波在即反射波在分界处分界处产生产生 的相位的相位跃变跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失半波损失.波波密密介介质质较较大大波波疏疏介介质质较较小小入射波驻波反射波波密媒质波疏媒质49 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射被反射到波密介质时形成到波密介质时形成波腹波腹.入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相位时时位时时相同相同，即反射波在分界处，即反射波在分界处不不产生相位产生相位跃变跃变.波波疏疏介介质质较较小小波波密密介介质质较较大大驻波入射波反射波波疏媒质波密媒质50声 源水空气声 源水玻璃由波密媒质到波疏媒质界面反射由波疏媒质到波密媒质界面反射当形成驻波时反射界面上总是出现波腹反射界面上总是出现波节振源固定端反射软绳自由端反射总是出现波腹总是出现波节当形成驻波时 Z=u 波阻抗波阻抗 较大的介质称为较大的介质称为波密介质波密介质波阻抗波阻抗 较小的介质称为较小的介质称为波疏介质波疏介质 Z=u 即讨论边界两侧波的振幅和相位关系即讨论边界两侧波的振幅和相位关系界面界面o o入射波入射波 反射波反射波 折射波的折射波的 振幅关系和相位关系振幅关系和相位关系入射波入射波反射波反射波透射波透射波1.推导步骤推导步骤波的表达式波的表达式设：入射波、反射波、透射波表达式如下设：入射波、反射波、透射波表达式如下注意，入射波在坐标原点（交界注意，入射波在坐标原点（交界 x=0）处）处 初相初相 10由边界条件给出关系由边界条件给出关系由由振动位移连续振动位移连续条件条件由应力连续由应力连续条件条件再利用关系再利用关系有式有式有式有式关系式关系式2.相位关系相位关系方程右端是实数方程右端是实数 只能是实数只能是实数要求要求结果：结果：反射波反射波透射波透射波波密波密波疏波疏波疏波疏 波密波密注意到注意到 入射波在界面的相位入射波在界面的相位从从波疏向波密波疏向波密介质入射的介质入射的反射波反射波相位有相位有 的突变的突变从从波密向波疏波密向波疏介质入射的介质入射的反射波反射波相位不变相位不变结论：结论：在界面处在界面处透射波透射波在任何情况下相位都不变在任何情况下相位都不变（与入射波同）（与入射波同）A1A 1A2入射波入射波反射波反射波透射波透射波媒质媒质1(Z1小小)媒质媒质2(Z2大，大，Z2=2Z1)界面界面A 1=-(1/3)A1，R=1/9A2=(2/3)A1，T=8/9 入射波入射波反射波反射波透射波透射波媒质媒质1(Z1大，大，Z1=2Z2)媒质媒质2(Z2小小)界面界面A1A 1A2A 1=(1/3)A1，R=1/9A2=(4/3)A1，T=8/9 脉冲波在界面处的反射和透射脉冲波在界面处的反射和透射 形象说明：形象说明：3.振幅关系振幅关系4.光波情况光波情况光波光波光从光疏介质入射光密介质光从光疏介质入射光密介质反射光的反射光的电矢量电矢量在反射处相位有在反射处相位有 的的突变突变通常称为通常称为半波损失半波损失例例1 1 已知入射波的表达式已知入射波的表达式,写反射波的表达式。写反射波的表达式。若全反射若全反射以以b b为参考点写反射波，为参考点写反射波，b b点的振动：点的振动：正号正号若波从波疏向波密介质入射若波从波疏向波密介质入射b b点振动为：点振动为：表示沿表示沿 x 负方向传播的波。负方向传播的波。思考：思考：若考虑透射若考虑透射波，试写出透波，试写出透射波表达式。射波表达式。60弦驻波演示实验61续上62续上63 小小 结结一、波的干涉现象和规律一、波的干涉现象和规律 1.干涉现象干涉现象:在两列波叠加的区域内，出现有些地方在两列波叠加的区域内，出现有些地方始终加的，另一些地方始终减弱或完全抵消的现象始终加的，另一些地方始终减弱或完全抵消的现象.2.相干条件相干条件:频率相同，振动方向相同，相位差恒定频率相同，振动方向相同，相位差恒定64两列波传播到两列波传播到P点引起的振动为点引起的振动为 干涉分析干涉分析P点的合振动为点的合振动为 y=y1+y2=A cos(t+)A=A1+A2 A=A1 A2 65二、驻二、驻 波波 (standing wave)两列振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位两列振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差恒定的两列波在同一直线上沿相反的方向传播时差恒定的两列波在同一直线上沿相反的方向传播时叠加而成的波叠加而成的波 驻波方程驻波方程66（1）驻波各点的振幅是确定的，点不同，振）驻波各点的振幅是确定的，点不同，振幅不同，而行波各点具有相同的振幅；幅不同，而行波各点具有相同的振幅；（2）各点振动的相位与位置无关，只与时间）各点振动的相位与位置无关，只与时间有关，即波形不传播；有关，即波形不传播；（3）波腹和波节的位置波腹和波节的位置 偶数倍处为波腹，奇数倍处为波节偶数倍处为波腹，奇数倍处为波节驻波方程驻波方程波节波腹67(a)质点处于最大位移时，驻波能量为势能，且分布在质点处于最大位移时，驻波能量为势能，且分布在波节附近；波节附近；(b)质点在平衡位置时，驻波的能量为动能，且分布质点在平衡位置时，驻波的能量为动能，且分布在波腹附近；在波腹附近；(c)其他时刻的能量时动能其他时刻的能量时动能 势能的相互转化，并在势能的相互转化，并在波腹和波节之间往返集结波腹和波节之间往返集结;(d)驻波不传播能量。驻波不传播能量。（4）驻波的能量：驻波的能量：波节波腹68（5）半波损失）半波损失(half-wave loss)当波由波疏介质向波密介质传播时，入射波与当波由波疏介质向波密介质传播时，入射波与反射波存在半波损失；反射波存在半波损失；当波由波密介质向波疏介质传播时，入射波与当波由波密介质向波疏介质传播时，入射波与反射波不存在半波损失；反射波不存在半波损失；69 例例1：在同一介质中有两个相干波源分别处于点在同一介质中有两个相干波源分别处于点P和和点点Q，假设平面简谐波沿，假设平面简谐波沿P到到Q连线的方向传播。已知连线的方向传播。已知PQ=3.0 m。两波源的频率。两波源的频率 =100 Hz，振幅相等，振幅相等，P比比Q的相位超前的相位超前/2，波速，波速u=400 m s 1。在。在P、Q延延长线上长线上Q一侧有一点一侧有一点S，S到到Q的距离为的距离为r，试写出两波，试写出两波源在该点产生的分振动，并求它们的合成。源在该点产生的分振动，并求它们的合成。解：解：取点取点P为坐标原点，建立如图所示的坐标系为坐标原点，建立如图所示的坐标系 由题意知由题意知 P Q=/2，=2 =200 rad s 1 设设 Q=0，则有则有 P=/2 P在点在点S 引起的振动为引起的振动为 PQSxr70Q在点在点S引起的振动为引起的振动为两个分振动的相位差两个分振动的相位差为为满足满足 =(2k+1)的条件，点的条件，点S的振动是干涉相消。的振动是干涉相消。由于由于与与r无关，所以在无关，所以在 x 轴上轴上Q以右的区域都满足以右的区域都满足干涉相消条件，该区域的所有质点都是静止不动的。干涉相消条件，该区域的所有质点都是静止不动的。PQSxr71例例2 在同一介质中，两相干波源位于在同一介质中，两相干波源位于A、B两点，振两点，振幅相等，频率均为幅相等，频率均为100Hz，相位差为，相位差为 ，波速，波速 ，求求:(1)A、B之间连线上干涉相消各点的位置；之间连线上干涉相消各点的位置；(2)在在B点外侧各点合成波的强度。点外侧各点合成波的强度。AB30m 解：解：设设A，B两点的振动两点的振动方程分别为方程分别为x(1)在在AB之间任取一点之间任取一点 x，则则 x 处的分振动处的分振动72AB30mx相位差：相位差：若若则：则：73(2)AB30mx说明：说明：B点外的振动恒加强点外的振动恒加强74 例例3 一沿弹性绳的简谐波一沿弹性绳的简谐波波在波在y=11m处的固定端反射。设传播中无能量损处的固定端反射。设传播中无能量损失，反射是完全的。试求失，反射是完全的。试求：（1）该简谐波的波长和波速；）该简谐波的波长和波速；（2）反射波的波函数；）反射波的波函数；（3）驻波方程，并确定波节的位置。）驻波方程，并确定波节的位置。解：解：（1）将）将 与标准形与标准形式波函数式波函数 对比，得对比，得75（2）入射波在反射点的振动方程为）入射波在反射点的振动方程为 由于反射处固定，有半波损失，故反射波在由于反射处固定，有半波损失，故反射波在反射点的振动方程为反射点的振动方程为反射波在坐标原点的振动方程为反射波在坐标原点的振动方程为76所以反射波的波动方程为：所以反射波的波动方程为：（3）驻波方程）驻波方程波节的位置波节的位置