第五节(洛朗级数展开)

第五节第五节(洛朗级数展开洛朗级数展开)2二二.双边幂级数双边幂级数其中被称为双边幂级数的正幂部分被称为双边幂级数的负幂部分3三三.收敛环的确定收敛环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。4正幂部分负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R15积分路径积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合曲线曲线.四四.洛朗定理洛朗定理6证明证明证明证明:为了避免讨论在圆周上函数的为了避免讨论在圆周上函数的解析性及级数的收敛性问题解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微将外圆稍微缩小为缩小为 ,内圆稍微扩大为内圆稍微扩大为 ,如图如图应用复通区域上的柯西公式有应用复通区域上的柯西公式有下面将下面将 展开为幂级数展开为幂级数,对于沿对于沿 的积分的积分,展开如下展开如下:而对于沿而对于沿 的积分的积分,考虑到考虑到用以下方法将其展开用以下方法将其展开7把分别沿把分别沿 和和 的展开式代入下式的展开式代入下式,然后逐项积分可得然后逐项积分可得把第二部分中的把第二部分中的k=-(l+1)代替代替l作为求和指标作为求和指标,并根据柯西定理并根据柯西定理8把积分回路改为把积分回路改为可得可得其中其中C为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为上式称之为f(z)的的洛朗展开洛朗展开洛朗展开洛朗展开,右端的级数称为右端的级数称为洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数说明说明:(1)虽然级数中含有虽然级数中含有z-z0的负幂项的负幂项,而这些项在而这些项在z=z0时都是时都是(2)奇异的奇异的,但点但点z0可能是也可能不是函数可能是也可能不是函数f(z)的奇点的奇点(2)虽然展开系数虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数的公式与泰勒展开系数ak的公式形式的公式形式(3)相同相同,但这里但这里不论不论z0是不是是不是f(z)奇点奇点.如果是奇点如果是奇点,则则根本不存在根本不存在9如果如果z0不是奇点不是奇点,则则因为因为成立的条件是以成立的条件是以C为边界的为边界的区域上区域上f(z)解析解析,但现在区域上有但现在区域上有f(z)的奇点的奇点,(如果没有奇点如果没有奇点,就不用就不用考虑洛朗级数的展开考虑洛朗级数的展开)不是不是z0(3)如果只有环心如果只有环心z0是是f(z)的奇点的奇点,则内圆半径可以任意小则内圆半径可以任意小,同时同时z可以无限接近可以无限接近z0,这个时候称为这个时候称为f(z)在它的孤立奇点在它的孤立奇点z0的邻域内的邻域内的洛朗级数展开式的洛朗级数展开式,这种情况特别重要这种情况特别重要,以后将利用它研究函以后将利用它研究函数在孤立奇点附近的性质数在孤立奇点附近的性质.(4)洛朗级数展开式也是唯一的洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的这点和泰勒级数是一致的,此唯一此唯一 性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式存在存在,但但 仍然不等于仍然不等于10例例例例1:1:在在z0=0的邻域上把的邻域上把(sinz)/z展开展开解解:函数函数(sinz)/z在原点没有定义在原点没有定义,z0=0是奇点是奇点引用引用sinz在原点的邻域上的展开式在原点的邻域上的展开式:同时为了避开奇点同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上在挖去奇点的复数平面上用用z遍除遍除sinz的展开式的展开式,就得到就得到(sinz)/z的展开式的展开式如果我们定义一个函数如果我们定义一个函数f(z)如下如下:11则则f(z)在整个开平面上是解析的在整个开平面上是解析的,由上我们可得到由上我们可得到f(z)在在z0=0的的邻域上的展开式邻域上的展开式:同时也是解析函数同时也是解析函数f(z)的泰勒级数的泰勒级数!例例例例2:2:解解:在在 的环域上将函数的环域上将函数f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数展开为洛朗级数在展开式中出现无限多负幂次项在展开式中出现无限多负幂次项,但但z=0本身不是函数的奇点本身不是函数的奇点奇点为奇点为z=士士112例例例例3:3:在在z0=1的邻域上把的邻域上把f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数展开为洛朗级数解解:先把先把f(z)分解为分项公式分解为分项公式第二项只有一个奇点第二项只有一个奇点z=-1,因此可在因此可在z0=1的邻域的邻域|z-1|2上可以展上可以展为泰勒级数如下为泰勒级数如下:由此我们可得由此我们可得展开式里边出现了展开式里边出现了-1次项次项13例例例例4:4:解解:我们知道我们知道ex在原点邻域上的展开式为在原点邻域上的展开式为把把z全换成全换成1/z,可得到以下结果可得到以下结果:即即这里出现无限多负幂项这里出现无限多负幂项.在在z0=0的邻域上把的邻域上把 展开为洛朗级数展开为洛朗级数14例例例例5:5:解解:在在z0=0的邻域上把的邻域上把 展开为洛朗级数展开为洛朗级数由前边的结论我们可得绝对收敛级数由前边的结论我们可得绝对收敛级数以上两个绝对收敛级数可以逐项相乘以上两个绝对收敛级数可以逐项相乘,乘积中既有无限多正幂项乘积中既有无限多正幂项又有无限多负幂项又有无限多负幂项,为了得到乘积中某个正幂为了得到乘积中某个正幂zm(1)(2)应取应取(2)中所有各项分别用中所有各项分别用(1)中的中的l=n+m项去乘项去乘,为得到某个负幂项为得到某个负幂项z-h应取应取(1)中所有项而分别用中所有项而分别用(2)中的中的n=l+h项去乘项去乘,由此可以得到以下结果由此可以得到以下结果:15将将-h记为记为m,l记为记为n,则有则有利用贝塞尔函数可以把上式写成利用贝塞尔函数可以把上式写成中括号里边是中括号里边是m阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数Jm(x)161718191220应当指出应当指出应当指出应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得而不能像泰勒级数通过求导得到到,但是根据洛朗级数的唯一性但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如可以利用已知函数如等的泰勒展开式和幂级数等的泰勒展开式和幂级数的运算的运算,特别是代数运算特别是代数运算,变量代换变量代换,求导和积分等方法求一些求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况直接利用公式只是个别情况!