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13.2 命 题 与 证 明第 3课 时 三 角 形 内 角 和 定 理 的 证 明 及 推 论 1、 2 1.掌 握 “ 三 角 形 内 角 和 定 理 ” 的 证 明 及 其 简 单 应 用 ，理 解 和 掌 握 三 角 形 内 角 和 定 理 的 推 论 1和 推 论 2;（ 重 点 、 难 点 ）2.了 解 辅 助 线 的 概 念 ， 理 解 辅 助 线 在 解 题 过 程 中 的 用处 ;（ 难 点 ）3.经 历 思 考 、 操 作 、 推 理 等 学 习 活 动 ， 培 养 学 生 的 推理 能 力 和 表 达 能 力 （ 难 点 ）学习目标 我 的 形 状 最小 ， 那 我 的内 角 和 最 小 . 我 的 形 状 最大 ， 那 我 的内 角 和 最 大 .不 对 ， 我 有 一个 钝 角 ， 所 以我 的 内 角 和 才是 最 大 的 . 一 天 ， 三 类 三 角 形 通 过 对 自 身 的 特 点 ， 讲 出 了 自 己 对 三 角形 内 角 和 的 理 解 ， 请 同 学 们 作 为 小 判 官 给 它 们 评 判 一 下 吧 .导入新课情境引入 思 考 ： 除 了 度 量 以 外 ， 你 还 有 什 么 办 法 可 以 验 证 三 角形 的 内 角 和 为 180 呢 ?折 叠 还 可 以 用 拼 接 的方 法 ， 你 知 道 怎样 操 作 吗 ？ 三 角 形 的 三 个 内 角 拼 到 一 起 恰 好 构 成 一 个 平 角 .你 能 用 数 学 的 方 法 说 明 这 个 结 论 吗 ？ 还 有 其 他 的 拼接 方 法 吗 ？讲授新课三角形的内角和的证明一活 动 ： 在 纸 上 任 意 画 一 个 三 角 形 ， 将 它 的 内 角 剪 下拼 合 在 一 起 . l三 角 形 三 个 内 角 的 和 等 于 180 .求 证 ： A+ B+ C=180 .已 知 ： ABC.证 法 1： 过 点 A作 l BC， B= 1.(两 直 线 平 行 ,内 错 角 相 等 ) C= 2.(两 直 线 平 行 ,内 错 角 相 等 ) 2+ 1+ BAC=180 ， B+ C+ BAC=180 . 1 2 证 法 2： 延 长 BC到 D， 过 点 C作 CE BA， A= 1 .(两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 ) B= 2.(两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 )又 1+ 2+ ACB=180 ， A+ B+ ACB=180 . CB A E D1 2 CB AE D F证 法 3： 过 D作 DE AC,作 DF AB. C= EDB, B= FDC.(两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 ) A+ AED=180 , AED+ EDF=180 ，(两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 相 补 ) A= EDF. EDB+ EDF+ FDC=180 ， A+ B+ C=180 .想 一 想 ： 同 学 们 还 有 其 他 的 方 法 吗 ？ 思 考 ： 多 种 方 法 证 明 的 核 心 是 什 么 ？借 助 平 行 线 的 “ 移 角 ” 的 功 能 ， 将 三个 角 转 化 成 一 个 平 角 .C A B 12 3 4 5 l A C B 12 34 5l P 6 m AB C DE 知识要点在 这 里 ， 为 了 证 明 的 需 要 ， 在 原 来 的 图 形 上 添 画 的 线叫 做 辅 助 线 .在 平 面 几 何 里 ， 辅 助 线 通 常 画 成 虚 线 .u思 路 总 结 为 了 证 明 三 个 角 的 和 为 180 ,转 化 为 一 个 平角 或 同 旁 内 角 互 补 等 ， 这 种 转 化 思 想 是 数 学 中 的常 用 方 法 .u作 辅 助 线 问 题 ： 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C=90 ， 两 锐 角 的和 等 于 多 少 呢 ？ 在 Rt ABC中 ， 因 为 C=90 ， 由 三 角 形 内 角 和 定理 ， 得 A + B+ C=90 ,即 A + B=90 .思 考 ： 由 此 ， 你 可 以 得 到 直 角 三 角 形 有 什 么 性 质 呢 ？三角形内角和定理的推论1、2二 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 余 .三 角 形 内 角 和 推 论 1： AB C直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 u应 用 格 式 ：在 Rt ABC 中 ， C =90 ， A + B =90 直 角 三 角 形 的 表 示 ： 直 角 三 角 形 可 以 用 符 号 “ Rt ”表 示 ， 直 角 三 角 形 ABC 可 以 写 成 Rt ABC 总结归纳 方 法 一 （ 利 用 平 行 的 判 定 和 性 质 ） ： B= C=90 ， AB CD， A= D.方 法 二 （ 利 用 直 角 三 角 形 的 性 质 ） ： B= C=90 ， A+ AOB=90 ， D+ COD=90 . AOB= COD， A= D.例 1（ 1） 如 图 ， B= C=90 ， AD交 BC于 点 O， A 与 D有 什 么 关 系 ？ 图 典例精析 解 ： A= C.理 由 如 下 ： B= D=90 ， A+ AOB=90 ， C+ COD=90 . AOB= COD， A= C.（ 2） 如 图 ， B= D=90 ， AD交 BC于 点 O， A与 C有 什 么 关 系 ？ 请 说 明 理 由 . 图 与 图 有 哪些 共 同 点 与不 同 点 ？ 例 2 如 图 ， C= D=90 ,AD,BC相 交 于 点 E. CAE与 DBE有 什 么 关 系 ？ 为 什 么 ？A BC DE解 ： 在 Rt ACE中 ， CAE=90 - AEC. 在 Rt BDE中 , DBE=90 - BED. AEC= BED， CAE= DBE. 解 ： CD AB于 点 D， BE AC于 点 E， BEA= BDF=90 ， ABE+ A=90 ， ABE+ DFB=90 . A= DFB. DFB+ BFC=180 ， A+ BFC=180 .【 变 式 题 】 如 图 ， ABC中 ， CD AB于 D， BE AC于 E， CD， BE相 交 于 点 F， A与 BFC又 有 什 么 关系 ？ 为 什 么 ？ 思 考 ： 通 过 前 面 的 例 题 ， 你 能 画 出 这 些 题 型 的 基 本 图 形 吗 ？ 基 本 图 形 A= C A= D总结归纳 问 题 2： 有 两 个 角 互 余 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 吗 ？ 如 图 ， 在 ABC中 ， A + B=90 ， 那 么 ABC是 直 角 三 角 形 吗 ？ 在 ABC中 ， 因 为 A + B + C=180 ， 又 A + B=90 ， 所 以 C=90 . 于 是 ABC是 直 角 三 角 形 .三 角 形 内 角 和 推 论 2：有 两 个 角 互 余 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 . AB C应 用 格 式 ：在 ABC 中 ， A + B =90 ， ABC 是 直 角 三 角 形 有 两 个 角 互 余 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 . 总结归纳 典例精析例 3 如 图 ， C=90 , 1= 2， ADE是 直 角 三 角 形 吗 ？ 为 什 么 ？ AC BDE ( (1 2解 ： 在 Rt ABC中 ， 2+ A=90 . 1= 2, 1 + A=90 .即 ADE是 直 角 三 角 形 . 例 4 如 图 ， CE AD， 垂 足 为 E， A= C， 求 证 ： ABD是 直 角 三 角 形 .解 ： ABD是 直 角 三 角 形 .理 由 如 下 ： CE AD， CED=90 ， C+ D=90 ， A= C， A+ D=90 ， ABD是 直 角 三 角 形 . 1.如 图 ， 一 张 长 方 形 纸 片 ， 剪 去 一 部 分 后 得 到一 个 三 角 形 ， 则 图 中 1+ 2的 度 数 是 _.902.如 图 ， AB、 CD相 交 于 点 O， AC CD于 点 C， 若 BOD=38 ， 则 A=_.52第 1题 图 第 2题 图当堂练习3.在 ABC中 ， 若 A=43 ， B=47 ， 则 这 个 三角 形 是 _.直 角 三 角 形 4.在 一 个 直 角 三 角 形 中 ， 有 一 个 锐 角 等 于 40 ， 则 另 一 个 锐 角 的 度 数 是 （ ） A 40 B 50 C 60 D 70 B5.具 备 下 列 条 件 的 ABC中 ， 不 是 直 角 三 角 形 的 是 （ ）A A+ B= C B A- B= C C A： B： C=1： 2： 3 D A= B=3 C D 求 证 ： AB CD证 明 ： AD BC， 1 _( )又 BAD BCD， BAD 1 BCD 2，即 3 4, AB _( )6.已 知 ： 如 图 ， AD BC， BAD BCD 2 内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行CD两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 A B CD 4 21 3 三 角 形 内 角 和定 理 的 证 明 及推 论 1、 2课堂小结三 角 形 内 角 和 定 理 的 证 明推 论 1： 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 余 .推 论 2： 有 两 个 角 互 余 的 三 角 形 是直 角 三 角 形 .
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