（统考版）高考数学二轮复习 专题限时集训9 三角函数与解三角形（含解析）（文）-人教版高三数学试题

专题限时集训(九)三角函数与解三角形1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求A；(2)若ab2c，求sin C解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.2(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225，所以ab5(负值舍去)所以ABC的周长为5.3(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos A.(1)求A；(2)若bca，证明：ABC是直角三角形解(1)由已知得sin2Acos A，即cos2Acos A0.所以0，cos A.由于0A，故A.(2)由正弦定理及已知条件可得sin Bsin Csin A由(1)知BC，所以sin Bsinsin .即sin Bcos B，sin.由于0B，故B.从而ABC是直角三角形4(2015全国卷)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC(1)求；(2)若BAC60，求B解(1)由正弦定理，得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，所以B30.1(2020安庆二模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若ABC的周长等于15，面积等于，求a，b，c的值解(1)由，根据正弦定理得b2c2a2aca2c2b2ac，根据余弦定理得cos B，由0B0，所以sin Bcos B2.所以2sin2，B(0，)所以B，所以B.(2)依题意得，所以ac4.所以ac24，当且仅当ac2时取等号又由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac3ac12.b2，当且仅当ac2时取等号所以ABC的周长最小值为42.2结构不良试题已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：A；a13；c15；sin C.(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC的面积解(1)ABC同时满足.理由：若ABC同时满足，因为是锐角三角形，所以sin Csin ，C.与题设矛盾故ABC同时满足不成立所以ABC同时满足.因为ca，所以CA若满足，则AC，与题设矛盾，故此时不满足.ABC同时满足.(2)因为a2b2c22bccosA，所以132b21522b15.解得b8或7.当b7时，cos C0，C为钝角，与题设矛盾所以b8，SABCbcsin A30.3.如图，在ABC中，C，ABC的平分线BD交AC于点D，且tanCBD.(1)求sin A；(2)若28，求AB的长解(1)设CBD，因为tan ，又，故sin ，cos .则sinABCsin 22sin cos 2，cosABCcos 22cos2121，故sin Asinsin(sin 2cos 2).(2)由正弦定理，即，所以BCAC又|28，所以|28，所以AC4，又由，得，所以AB5.4已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若a2，b2，求c的大小；(2)若b2，且C是钝角，求ABC面积的取值范围解(1)在ABC中，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0B，sin B0，sin Acos A，tan A.又0A，A.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即204c24c，解得c1(舍去)，c1.c1.(2)由(1)知A，SABCbcsin Ac.由正弦定理，得，c1.A，C为钝角，0B，0tan B4，SABC2.即ABC面积的取值范围是(2，)