中国矿业大学 环境与测绘学院 应用大地测量学王中元 地球椭球与测量计算

会计学1中国矿业大学中国矿业大学 环境与测绘学院环境与测绘学院 应用大地应用大地测量学王中元测量学王中元 地球椭球与测量计算地球椭球与测量计算本章解决的主要问题本章解决的主要问题本章解决的主要问题本章解决的主要问题1 1、基础知识、基础知识、基础知识、基础知识椭球的几何特征；地球椭球的几何特征；地球椭球的几何特征；地球椭球的几何特征；地球椭球及其定位；椭球面椭球及其定位；椭球面椭球及其定位；椭球面椭球及其定位；椭球面上的弧长计算。上的弧长计算。上的弧长计算。上的弧长计算。2 2、地面观测元素化算、地面观测元素化算、地面观测元素化算、地面观测元素化算至椭球面至椭球面至椭球面至椭球面3 3、椭球面上大地坐标、椭球面上大地坐标、椭球面上大地坐标、椭球面上大地坐标的计算问题的计算问题的计算问题的计算问题12345A1NA2S S(B1,L1)平面坐标计算平面坐标计算球面坐标计算球面坐标计算(x1,y1)第1页/共80页第五章第五章第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）第2页/共80页第五章第五章第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）第3页/共80页5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表示地球必须解决地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表示地球必须解决2 2个问题：个问题：一是椭球一是椭球参数参数的选择的选择(椭球的大小和形状椭球的大小和形状)；二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位定位(椭球与大地水准面包围的大地体应当最密合椭球与大地水准面包围的大地体应当最密合)。第4页/共80页5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 具有一定几何参数，经过定位，在具有一定几何参数，经过定位，在全球范围内全球范围内与大地体最为接近、密合最好的椭球称为与大地体最为接近、密合最好的椭球称为地球椭球地球椭球。在在某一地区某一地区与大地水准面密合最好的椭球，称为与大地水准面密合最好的椭球，称为参考椭球参考椭球。第5页/共80页5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位第6页/共80页5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位第7页/共80页5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系 应用大地测量学应用大地测量学第8页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学偏心距：偏心距：第一偏心率：第一偏心率：（5-15-1）第二偏心率：第二偏心率：扁率：扁率：（5-25-2）椭球长半径椭球长半径a a，短半径，短半径b b 5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系第9页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学a a、b b、e e、e e之间的关系：之间的关系：（5-35-3）（5-45-4）（5-55-5）5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系第10页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球19801980国家大地坐标系国家大地坐标系WGS-84WGS-84a a637824563782456378140637814063781376378137b b6356863.018776356863.018776356755.288166356755.288166356752.31426356752.3142e2e20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013e2e20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.006739501819470.006739496742270.00673949674227f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.2572235631:298.257223563几种椭球几何参数几种椭球几何参数 5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系第11页/共80页5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位第12页/共80页5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学垂线偏差垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角u。垂线偏差垂线偏差u u的分量的分量子午圈分量子午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量计算公式：计算公式：（5-75-7）（5-85-8）第13页/共80页5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学 天文方位角与大地方位角之间的关系式：天文方位角与大地方位角之间的关系式：（5-145-14）（5-155-15）以上公式称为以上公式称为拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式。第14页/共80页5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学 椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角欧拉角，设为，设为 。此时垂线偏差公式（。此时垂线偏差公式（5-85-8）及拉普拉斯方程式（）及拉普拉斯方程式（5-155-15）扩展为：）扩展为：（5-165-16）上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程。上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程。第15页/共80页5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位第16页/共80页5.1.3 5.1.3 椭球定位椭球定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭球定位椭球定位将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。包括：定位和定向两方面。定位是指确定椭球中心的位置，定向是指确定该椭球坐标轴的指向。从数学上讲就是要确定三个平移参数包括：定位和定向两方面。定位是指确定椭球中心的位置，定向是指确定该椭球坐标轴的指向。从数学上讲就是要确定三个平移参数 和三个旋转角度和三个旋转角度 。椭球定位三个条件：椭球定位三个条件：（1 1）椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；）椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；（2 2）起始大地子午面与起始天文子午面相平行；）起始大地子午面与起始天文子午面相平行；（3 3）在一定区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大地水准面）最为密合。）在一定区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大地水准面）最为密合。第17页/共80页5.1.3 5.1.3 椭球定位椭球定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点：椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点：B0=0-0B0=0-0L0=0-0L0=0-0sec0sec0A0=0-0A0=0-0tan0tan0H0=H0H0=H0常常+0+0 初期定位时，初期定位时，00，00，00未知，可取为未知，可取为0 0。称为。称为一点定位一点定位。根根据据大大地地测测量量和和天天文文测测量量数数据据，在在 条条件件下下，求求出原点的出原点的00，00，00值。称为值。称为多点定位多点定位。第18页/共80页第五章第五章第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算第一节第一节 地球椭球及其定位（基地球椭球及其定位（基础）础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半椭球面上法截线曲率半径（基础）径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基椭球面上弧长计算（基础）础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球地面观测值归算至椭球面（重点）面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算（重点）（重点）第19页/共80页第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学基本概念基本概念基本概念基本概念法截面法截面包含曲面一点法线的平面。包含曲面一点法线的平面。法截线法截线法截面与曲面的截线。法截面与曲面的截线。斜截线斜截线不包含法线的平面与椭球面的截线。不包含法线的平面与椭球面的截线。子午圈子午圈包含短轴的平面与椭球面的交线。包含短轴的平面与椭球面的交线。卯酉圈卯酉圈与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。平行圈平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线。垂直于短轴的平面与椭球面的交线。第20页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径第21页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径第22页/共80页5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学第23页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 微分几何中麦尼厄定理：微分几何中麦尼厄定理：（5-19）（5-26）（5-23）W又称第一基本纬度函数，又称第一基本纬度函数，V称为第二基本维度函数。称为第二基本维度函数。第24页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径第25页/共80页5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学（5-30）第26页/共80页5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学表表 M M、N N随随B B变化的规律变化的规律 B BN NM M说明说明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0=a(1-e=a(1-e2 2)在赤道上，在赤道上，N N为赤为赤道半径道半径a a，M M小于小于赤道半径赤道半径a a0B900B90aNcaNca(1-ea(1-e2 2)Mc)M R MN R M第32页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径第33页/共80页5.2.5 5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式 应用大地测量学应用大地测量学 将将将将NN、MM、RR的计算的计算的计算的计算公式（公式（公式（公式（5-265-26）、（）、（）、（）、（5-305-30）、（）、（）、（）、（5-365-36）展）展）展）展开成微小参数的幂级数，取其前几项数值。开成微小参数的幂级数，取其前几项数值。开成微小参数的幂级数，取其前几项数值。开成微小参数的幂级数，取其前几项数值。克拉索夫斯基椭球参数代入得到（克拉索夫斯基椭球参数代入得到（克拉索夫斯基椭球参数代入得到（克拉索夫斯基椭球参数代入得到（5-385-38）。）。）。）。19751975年国际椭球参数代入得到（年国际椭球参数代入得到（年国际椭球参数代入得到（年国际椭球参数代入得到（5-395-39）。）。）。）。第34页/共80页第五章第五章第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）第35页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算第36页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算第37页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学1 1、计算、计算B=0B=0到到B B的子午圈弧长的子午圈弧长X X由由M=dX/dBM=dX/dB（5-275-27）得：）得：将（将（5-375-37）代入上式，从代入上式，从0 0到到B B积分，可得积分，可得X X。可知，。可知，X X是是B B的函数。见的函数。见公式公式(5-41)(5-41)。注意注意：将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计算式。将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计算式。5.3.1 5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算第38页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学2 2、计算已知纬度、计算已知纬度B1B1和和B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X（1 1）分别计算）分别计算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X1X1和和X2X2，然后求，然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2）用上述积分式求）用上述积分式求B1B1B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X。5.3.1 5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算第39页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算第40页/共80页5.3.2 5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学 平行圈是一个半径等于平行圈是一个半径等于 r=Nr=NCOSBCOSB的圆，纬度的圆，纬度B B处经度处经度L1L1L2L2之间的平行圈弧长之间的平行圈弧长 经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。纬度越高，单位经度差点平行圈弧长越短。经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。纬度越高，单位经度差点平行圈弧长越短。用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积。用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积。第41页/共80页第五章第五章第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）第42页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第43页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第44页/共80页5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学 CK=NsinB CK=NsinB，（5-225-22）代入（）代入（5-215-21）得：）得：所以：所以：（5-435-43）上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心之间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心之间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。第45页/共80页5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学 设设Q1Q1和和Q2Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线Q1n1Q1n1和和Q2n2Q2n2不相交。法截线不相交。法截线Q1m1Q2Q1m1Q2和和Q2m2Q1Q2m2Q1称为两点间的称为两点间的相对法截线。相对法截线。正法截线正法截线与与反法截线。一般不重合。反法截线。一般不重合。第46页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学正反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角近似公式：近似公式：近似公式：近似公式：令令Bm=45Bm=45，A=45A=45，不同距离，不同距离S S求得的求得的值为：值为：S S 100km 100km 0.042 0.042 60km 60km 0.015 0.015 30km 30km 0.004 0.004 在长距离的测量中，对向观测所得在长距离的测量中，对向观测所得3 3个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。大地线。5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线第47页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第48页/共80页5.4.2 5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征 应用大地测量学应用大地测量学1 1、大地线大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。第49页/共80页5.4.2 5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征 应用大地测量学应用大地测量学2 2、大地线几何特征、大地线几何特征（1 1）一般情况下，曲面上的曲线并不是大地线（如球面上的小圆）。大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线。）一般情况下，曲面上的曲线并不是大地线（如球面上的小圆）。大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线。（2 2）大地线与相对法截线间的夹角为）大地线与相对法截线间的夹角为=/3=/3。（3 3）大地线与相对法截线间的长度之差甚微，）大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km600km时二者之差仅为时二者之差仅为0.007mm0.007mm。（4 4）两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。）两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。第50页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第51页/共80页5.4.3 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程 应用大地测量学应用大地测量学大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系：大地线的三个微分方程：大地线的三个微分方程：第52页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系：大地线的大地线的克莱劳方程克莱劳方程：r rsinA=CsinA=C（C C为常数）为常数）对于椭球面上一大地对于椭球面上一大地线而言，每点处平行圈线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个位角正弦的乘积是一个常数（常数（大地线常数大地线常数）。）。克劳莱定理克劳莱定理5.4.3 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程第53页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第54页/共80页5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：（1 1 1 1）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为基准的观测方向。）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为基准的观测方向。）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为基准的观测方向。）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为基准的观测方向。（垂线偏差改正）（垂线偏差改正）（垂线偏差改正）（垂线偏差改正）（2 2 2 2）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向。）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向。）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向。）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向。（标高差改正）（标高差改正）（标高差改正）（标高差改正）（3 3 3 3）将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。）将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。）将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。）将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。（截面差改正）（截面差改正）（截面差改正）（截面差改正）第55页/共80页5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学1 1、垂线偏差改正、垂线偏差改正11 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数11为：为：（5-515-51）例：例：A=0A=0，tan=0.01tan=0.01，=5=5，则，则1=0.051=0.05。垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。第56页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学2 2 2 2、标高差改正、标高差改正、标高差改正、标高差改正2222 椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共面，照准点共面，照准点 B B高出椭球面某一高度高出椭球面某一高度 H2H2，使得在，使得在A A点照准点照准B B点的法截点的法截线线AbAb与与AbAb之间有一夹角之间有一夹角22。（5-525-52）B2 B2 照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；A1 A1 测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；H2 H2 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；M1 M1 测站点子午圈曲率半径。测站点子午圈曲率半径。例：例：A1=45A1=45，B2=45B2=45，H2=2000mH2=2000m，1=0.11=0.1局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面第57页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学3 3 3 3、截面差改正、截面差改正、截面差改正、截面差改正3333 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数所加的为截面差改正数33。例：例：A1=45A1=45，Bm=45Bm=45，S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001 截面差改正主要与测站点至照准点间的截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。才进行改正。5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面第58页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第59页/共80页5.4.5 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学设设A A、B B两点的大地高分别为两点的大地高分别为H1H1为为H2H2，h=H2-H1h=H2-H1，d d为空间直线长。为空间直线长。由三角形由三角形AOBAOB按余弦公式可得：按余弦公式可得：弦长弦长 （5-555-55）（4-284-28）（）（4-314-31）弧长弧长第60页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第61页/共80页5.4.6 5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算 应用大地测量学应用大地测量学目的目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。解算未知边长。方法一：按球面三角形解算公式：方法一：按球面三角形解算公式：方法二：方法二：（勒让德定理）（勒让德定理）将球面三角形改化为对应边相等的平面三将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。球面三角形球面角超球面三角形球面角超 =（A0+B0+C0A0+B0+C0）-180=-180=/R/R2 2，为三角为三角形面积。形面积。A1=A0-/3A1=A0-/3，B1=B0-/3B1=B0-/3，C1=C0-/3C1=C0-/3。第62页/共80页第五章第五章第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）第63页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算第64页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算第65页/共80页5.5.1 5.5.1 概述概述 应用大地测量学应用大地测量学（一）解算内容（一）解算内容（一）解算内容（一）解算内容 大地问题正解大地问题正解已知已知P1P1点大地坐标（点大地坐标（B1B1，L1L1）、）、P1P2P1P2大地线长大地线长S S和大地方位角和大地方位角A1A1，推求，推求P2P2点大地坐标（点大地坐标（B2B2，L2L2）和大地方位角）和大地方位角A2A2。大地问题反解大地问题反解已知已知P1P2P1P2两点的大地坐标（两点的大地坐标（B1B1，L1L1）、（）、（B2B2，L2L2）反算）反算P1P2P1P2的大地线长的大地线长S S和大地方位角和大地方位角A1A1、A2A2。第66页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法 1 1、按、按解算的距离解算的距离分为：短距离（分为：短距离（400km)400km)、中距离（、中距离（4004001000km)1000km)和长距离（和长距离（100010002000km)2000km)的解算。的解算。2 2、按、按解算形式解算形式分为：直接解法和间接解法分为：直接解法和间接解法 直接解法直接解法直接解求点直接解求点B B、A A和相邻起算点的大地经差。和相邻起算点的大地经差。间接解法间接解法先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。5.5.1 5.5.1 概述概述第67页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法 3 3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。基本思路：基本思路：a a、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S S的幂级数；的幂级数；b b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。5.5.1 5.5.1 概述概述第68页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算第69页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学 按照泰勒级数将按照泰勒级数将P1P1和和P2P2两点的纬差两点的纬差b b、经差、经差l l和方位角差和方位角差展开成为大地线长度展开成为大地线长度S S的幂级数，成为的幂级数，成为勒让德级数式勒让德级数式。公式（公式（5-635-63）公式（公式（5-695-69）公式（公式（5-705-70）公式（公式（5-715-71）5.5.2 5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式第70页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算第71页/共80页5.5.3 5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式 应用大地测量学应用大地测量学（一）基本思想（一）基本思想（一）基本思想（一）基本思想 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在P1P1点展开改为在点展开改为在大地线长度中点大地线长度中点M M展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点M M的复杂性，将的复杂性，将M M点用大地线两端的点用大地线两端的平均纬度及平均方位角相对应的平均纬度及平均方位角相对应的m m点点来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。第72页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学（二）高斯平均引数正解公式（二）高斯平均引数正解公式（二）高斯平均引数正解公式（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：推求步骤：推求步骤：推求步骤：1 1、经差、经差l l、纬差、纬差b b、方位角差、方位角差a a是是S S的函数，故可以将其展为的函数，故可以将其展为S S的泰勒级数（按平均引数在的泰勒级数（按平均引数在 S/2S/2处展为处展为S S的幂级数）。的幂级数）。2 2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dSdL/dS以以BmBm、AmAm按泰勒级数展开。按泰勒级数展开。3 3、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。4 4、将系数代入平均引数公式。、将系数代入平均引数公式。5 5、由于、由于B2B2、A2A2未知，未知，BmBm、AmAm精确值未知，可通过逐次趋近法求出。一般三次即可。精确值未知，可通过逐次趋近法求出。一般三次即可。5.5.3 5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式第73页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学（三）计算公式（三）计算公式（三）计算公式（三）计算公式一般公式：一般公式：公式（公式（5-895-89）实用公式：实用公式：距离小于距离小于70km70km时，采用简化公式：时，采用简化公式：公式（公式（5-905-90）5.5.3 5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式第74页/共80页 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算第75页/共80页5.5.4 5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式 应用大地测量学应用大地测量学高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式推求步骤：推求步骤：推求步骤：推求步骤：1 1、已知两点间的纬差、已知两点间的纬差b b、经差、经差l l和平均纬度和平均纬度BmBm，导出，导出 SsinAmSsinAm和和 ScosAmScosAm，求，求aa。2 2、由、由SsinAmSsinAm、ScosAmScosAm和和 a a计算计算S S和和A1A1、A2A2。计算公式：计算公式：计算公式：计算公式：公式公式（5-935-93）、（）、（5-965-96）第76页/共80页第五章第五章第五章第五章复习思考题复习思考题复习思考题复习思考题n n1 1。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂线偏差改正、标高差改正、截面差改正、大线偏差改正、标高差改正、截面差改正、大线偏差改正、标高差改正、截面差改正、大线偏差改正、标高差改正、截面差改正、大地问题正解、大地问题反解。地问题正解、大地问题反解。地问题正解、大地问题反解。地问题正解、大地问题反解。n n2 2。写出。写出。写出。写出N N、MM、R R及子午圈弧长、平行圈弧长及子午圈弧长、平行圈弧长及子午圈弧长、平行圈弧长及子午圈弧长、平行圈弧长的计算公式，说明式中符号的意义。的计算公式，说明式中符号的意义。的计算公式，说明式中符号的意义。的计算公式，说明式中符号的意义。n n3 3。大地线微分方程的意义。大地线微分方程的意义。大地线微分方程的意义。大地线微分方程的意义。n n4 4。地面观测值（方向、距离）归算至椭球面。地面观测值（方向、距离）归算至椭球面。地面观测值（方向、距离）归算至椭球面。地面观测值（方向、距离）归算至椭球面应加哪些改正？应加哪些改正？应加哪些改正？应加哪些改正？第77页/共80页第五章第五章第五章第五章 习题习题习题习题n n1 1。已知图幅。已知图幅。已知图幅。已知图幅I-50-67I-50-67中中中中A A、B B点的大地纬度点的大地纬度点的大地纬度点的大地纬度B=3420B=3420、3434，求相应的，求相应的，求相应的，求相应的MM、N N、R。n n2 2。计算图幅。计算图幅。计算图幅。计算图幅I-50-67I-50-67图廓长度图廓长度图廓长度图廓长度。117001173034003420342011700117303400I-50-67ABCD第78页/共80页第79页/共80页