2021年 中考一轮复习数学专题突破训练：《圆综合性压轴题》（一）

2021年 中考一轮复习数学专题突破训练：圆综合性压轴题（一）1如图1，ABC内接于O，ACB60，D，E分别是，的中点，连结DE分别交AC，BC于点F，G（1）求证：DFCCGE；（2）若DF3，tanGCE，求FG的长；（3）如图2，连结AD，BE，若x，y，求y关于x的函数表达式2如图，已知ABC，以BC为直径的O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB于点F，且AFAC（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为2，sinA，求CE的长3如图，在RtABC中，C90，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知CADB（1）求证：AD是O的切线；（2）若B30，AO，求的长；（3）若AC2，BD3，求AE的长4如图1，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为点E，连结CA（1）若ACD30，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连结BO并延长交O于点G，BG交AC于点F，连结AG若tanCAE2，AE1，求AG的长；设tanCAEx，y，求y关于x的函数关系式5如图，O的半径为5，弦BC6，A为BC所对优弧上一动点，ABC的外角平分线AP交O于点P，直线AP与直线BC交于点E（1）如图1求证：点P为的中点；求sinBAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若ABC为非锐角三角形，求PAAE的最大值6已知AB为O的直径，C为O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CDCB（1）如图1，若ACAD，求证：CD是O的切线；（2）如图2，延长DC交O于点E，连接AEi）若O的直径为，sinB，求AD的长；ii）若CD2CE，求cosB的值7已知ABC内接于O，ABAC，ABC的平分线与O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与O过点A的切线交于点F，记BAC（1）如图1，若60；直接写出的值为 ；当O的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为 ；（2）如图2若60，DE6，求DC的长8定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形（1）已知A120，B50，C，请直接写出一个的值 ，使四边形ABCD为幸福四边形；（2）如图1，ABC中，D、E分别是边AB，AC上的点，AEDE求证：四边形DBCE为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作O，与边AB交于另一点F，与边BC交于点G，且BFFC求证：EG是O的直径；连结FG，若AE1，BG7，BGFB45，求EG的长和幸福四边形DBCE的周长9如图，AB和CD为O的直径，ABCD，点E为CD上一点，CECA，延长AE交O于点F，连接CF交AB于点G（1）求证：CE2AEAF；（2）求证：ACF3BAF；（3）若FG2，求AE的长10如图，AB为O的直径，点C为O上一点，点D为AB延长线上一点，连接CD，作CEAB于点E，OCED（1）求证：CD是O的切线；（2）点F为CD上一点，连接OF交CE于点G，G为OF中点，求证：OC2CDCF；（3）在（2）的条件下，CFDF，若OC2，求CG参考答案1解：（1）点D是的中点，ACDCED，点E是的中点，CDEBCG，DFCCGE；（2）由（1）知，ACDCED，CDEBCG，ACD+CDECED+BCG，CFGCGF，CFCG，ACB60，CFG是等边三角形，如图1，过点C作CHFG于H，DHC90，设FHa，FCH30，FGCF2a，CHa，DF3，DHDF+FH3+a，GCECDE，tanGCE，tanCDE，在RtCHD中，tanCDE，a1，FG2a2；（3）如图2，连接AE，则AEBACB60，DAECAD+CAEACD+CDFCFG60，AEBDAE，BEAD，设BE与AD的距离为h，SABESADE，D，E分别是，的中点，CDAD，BECE，SABESADE，过点D作DMAC于M，ADCD，AC2CM，由（2）知，CFG是等边三角形，CFG60，DFM60，MDF30，设MFm，则DMm，DF2m，x，CFxDF2mx，CGCF2mx，由（1）知，DFCCGE，SABESADESADE，S四边形ABEDSADE+SABESADE，MFm，CFxDF2mx，CMMF+CFm+2mx（2x+1）m，AC2CM2（2x+1）m，AFACCF2（2x+1）m2mx2（x+1）m，过点A作ANDF于N，SADFAFDMDFAN，AN（x+1）m，过点C作CPFG，由（2）知，PFCFmx，CPmx，y2（1）AC与O相切，证明：连接BE，BC是O的直径，E90，EBD+BFE90，AFAC，ACEAFC，E为弧BD中点，EBDBCE，ACE+BCE90，ACBC，BC为直径，AC是O的切线（2）解：O的半为2BC4，在RtABC中，sinA，AB5，AC3，AFAC，AF3，BF532，EBDBCE，EE，BEFCEB，EC2EB，设EBx，EC2x，由勾股定理得：x2+4x216，x（负数舍去），即CE3解：（1）如图1，连接OD，ACB90，CAD+ADC90，OBOD，BODB，CADB，CADODB，ODB+ADC90，ADO90，又OD是半径，AD是O的切线；（2）B30，ACB90，CAD30，CAB60，DAB30，ODAO，OD，ODOB，B30，BODB30，DOB120，劣弧BD的长；（3）如图2，连接DE，BE是直径，BDE90，ACBEDB90，ACDE，BCAD，ACDEDB，ACDBDE，设CD2x，DE3x，ACDE，x，CD1，BCBD+CD4，AB2，DEAC，AE24解：（1）如图1，连接OA，OB，CD是O的直径，弦ABCD，AODBOD，ACD30，AOD60，AOB120，劣弧AB的度数是120；（2）CDAB，AEBE1，AEC90，在RtAEC中，tanCAE2，CE2，设OEx，则OC2xOB，在RtOEB中，由勾股定理得：OB2OE2+BE2，即（2x）2x2+1，解得：x，OE，OGOB，AEBE，OE是AGB的中位线，AG2OE；BG是O的直径，BAG90，BAGBEO90，OCAG，CGAC，GFAOFC，GAFOCF，且GF+BF2OG，OGGF，OFOGGF，OF，如图3，连接OA，OAOC，AG2OE，tanCAEx，CExAEOA+OE，AE，RtAOE中，OA2OE2+AE2，OA2OE2+（）2，即OA2OE2+（OA2+2OAOE+OE2），两边同时除以OA2，得：1（）2+（+1）2，设a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）10，（1+）a2+10，（a+1）（1+）a+（1）0，a11（舍），a2，y5（1）证明：如图1，连接PC，A、P、B、C四点内接于O，PAFPBC，AP平分BAF，PAFBAP，BAPPCB，PCBPBC，PBPC，点P为的中点；解：如图2，过P作PGBC于G，交BC于G，交O于H，连接OB，PH是直径，BPCBAC，BOGBPGBPC，OGBC，BGBC3，RtBOG中，OB5，sinBACsinBOG；（2）解：如图3，过P作PGBC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG3，OCOP5，OG4，PG4+59，PC3，设APCx，A是的中点，ABCABPx，PBPC，PCBPBC2x，PCE中，PCBCPE+E，E2xxxCPE，CEPC3；（3）解：如图4，过点C作CQAB于Q，ACEP，CAEPAFPAB，ACEAPB，PAAEACAB，sinBAC，CQACsinBACAC，SABCABCQ，PAAESABC，ABC为非锐角三角形，点A运动到使ABC为直角三角形时，如图5，ABC的面积最大，RtABC中，AB10，BC6，AC8，此时PAAE806（1）证明：连接OC，CDBC，BD，ACAD，DACD，BACD，OAOC，BACOCA，AB为O的直径，ACB90，B+BAC90，ACD+OCA90，DCO90，OCCD，CD是O的切线；解：（2）i）连接OC，ACB90，AB，sinB，在RtACB中，ACABsinB，AC1，在RtACB中，BC3，OBCO，OCBB，BD，OCBD，CBODBC，COBDCB，CB2OBBD，AB，OAOB，BD32，ADBDAB；ii）连接CO，CD2CE，设CEk，CDBC2k，DE3k，EB，OCBBD，DAECOB，设O的半径为r，ADr，BDAD+ABr+2rr，COBDCB，BC2OBBD，（2k）2rr，kr，BC2kr，cosB7解：（1）如图1，连接OA，AD，AF是O的切线，OAF90，ABAC，BAC60，ABC是等边三角形，ABCACBBAC60，BD平分ABC，ABDCBD30，ADBACB60，BAD90，BD是O的直径，OAOBOD，ABOOAB30，OADADO60，BDCBAC60，ADF180606060OAD，OADF，F180OAF90，DAF30，tan30，故答案为：；O的半径为4，ADOA4，DFAD2，AOD60，阴影部分的面积为：S梯形AODFS扇形OADAF（DF+OA）（2+4）6；故答案为：6；（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交O于点H，连接DH，则ADH90，DAH+DHA90，AF与O相切，DAH+DAFFAO90，DAFDHA，BD平分ABC，ABDCBD，CADDHADAF，ABAC，ABCACB，四边形ABCD内接于O，ABC+ADC180，ADF+ADC180，ADFABC，ADBACBABC，ADFADB，在ADF和ADE中，ADFADE（ASA），DFDE6，DC98（1）解：A120，B50，C，D36012050190，若ABD，则12050（190），解得：260（舍），若ADB，则120（190）50，解得：a20，若BAC，则50120，解得：70，若BCA，则50120，解得：170，若CBD，则50（190），无解，若CDB，则（190）50，解得：70，若DAC，则190120，无解，若DCA，则190120，解得：155，综上，的值是20或70或170或155（写一个即可），故答案为：20或70或170或155（写一个即可）；（2）证明：如图1，设Ax，Cy，则B180xy，AEDE，ADEAx，BDE180x，在四边形DBCE中，B180xyBDEC，四边形DBCE为幸福四边形；（3）证明：如图2，D、F、G、E四点都在O上，ADEFGE，ADEA，FGEA，FGEACF，AACF，BFCF，BBCF，A+B+BCA180，ACF+BCF90，即ACB90，EG是O的直径；如图3，过E作EHAB于H，连接DG，BFCF，BBCFBDG，BGDG7，EG是O的直径，GDE90，DEAE1，EG5，BGFB45，BGFBCFCFG，CFGCEG45，ECG是等腰直角三角形，CECG5，BC7+512，AC5+16，AB6，AHEACB90，AA，AHEACB，即，AH，AEDE，EHAD，AD2AH，幸福四边形DBCE的周长BD+ED+CE+BC6+1+5+1218+9解：（1）AB和CD为O的直径，ABCD，ACEAFC，CAEFAC，ACEAFC，AC2AEAF，ACCE，CE2AEAF；（2）ABCD，AOC90，OAOC，ACEOAC45，AFCAOC45，ACCE，CAEAEC（180ACO）67.5，BAFCAFOAC22.5，AECAFC+DAF45+DCF67.5，DCF22.5，ACFOCA+DAF67.5322.53BAF；（3）如图，过点G作GHCF交AF于H，FGH90，AFC45，FHG45，HGFG2，FH2，BAF22.5，FHG45，AGHFHGBAF22.5BAF，AHHG2，AFAH+FH2+2，由（2）知，OAEOCG，AOECOG90，OAOC，AOECOG（SAS），OEOG，AEOCGO，OEFOGF，连接EG，OEOG，OEGOGE45，FEGFGE，EFFG2，AEAFEF2+22210证明：（1）CEAB，D+DCE90，OCED，OCE+DCE90，OCD90，又OC是半径，CD是O的切线；（2）OCF90，G为OF中点，CGGFOF，GCFGFC，D+COD90D+DCE，DCECOECFG，又OCFOCD90，OCFDCO，OC2CFCD；（3）CFDF，CD2CF，OC2CFCD，4CF2CF，CF，OF，CG32 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