导数的概念与运算

平均速度瞬时速度平均变化率瞬时变化率割线斜率切线斜率导 数基本初等函数导数公式、导数运算法则微积分基本定理导数和函数单调性的关系导数与极（最）值的关系定积分（理科）曲边梯形的面积定积分在几何、物理中的简单应用变速直线运动的路程知识图解 考纲要求：1、了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，通过函数的图象直观地理解导数的几何意义；2、会用基本初等函数的求导公式，函数的和、差、积、商的求导法则求与幂、指、对、正余弦函数相关函数的导数；3、会用导数的几何意义，求函数图象或曲线在一点处切线的斜率，掌握求函数图象或曲线在一点处的切线方程的一般步骤。 一、导数的背景1.自由落体运动的瞬时速度问题0t t,0时刻的瞬时速度求t t如图, ,0 tt的时刻取一邻近于,t运动时间tsv 平均速度00tt ss ).(2 0 ttg ,0时当tt 取极限得2 t)(tlimv 0 0 gtt瞬时速度.0gt 2.切线问题割线的极限位置切线位置 T0 x xo xy )(xfy C NM如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0 NMTMN ).,(),( 00 yxNyxM设的斜率为割线MN 00tan xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf , 0 xxMN C 沿曲线的斜率为切线MT .)()(limtan 0 0 0 xx xfxfk xx 二、导数的定义,)( ,)( ,0 );()( ,) (, )( 000 000 0 0 xxyxxfy xxfy xx yxfxxfy yxx xxx xxfy 记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义 .)()(lim)( 0000 h xfhxfxf h 其它形式.)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx x xfxxfxyy xxxx )()(limlim 00000 ,)( 00 xxxx dxxdfdxdy 或即 练习：1、一质点M的运动方程为S=t2+1(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在2(s)到2+t(s)的平均速度= ；质点M在t=2(s)时的速度= 。2 2(2 ) 2 4s t tt t 平均速度瞬时速度v=S/|2=4 lim lim(4 ) 4t ts tt 2、设f(x)是可导函数，且则f/(x0)= 。 1 0 00 ( 2 ) ( )lim 2x f x x f xx 0 0 0 0 0 0 00 ( ) ( )lim ( )( ) ( )lim 2 ( )hh f x f x h f xhf x h f x h f xh 类似 例题精析题型一 利用导数定义求函数的导函数例1、利用导函数定义求函数 的导函数。2y x );()()1( xfxxfy 求增量;)()()2( x xfxxfxy 算比值.lim)3( 0 xyy x 求极限步骤: 练习.)(的导数为正整数求函数nxy n 题型二 运用导数公式、导数的运算法则求导数导数公式：幂、指、对、三角函数的导数(xn)/=nxn-1(ex)/=ex (ax)/= axlna(lnx)/= (logax)/=1x 1lnx a(sinx)/=cosx (cosx)/=-sinx 导数运算法则：和、差、积、商及复合函数f(x)g(x)/=f/(x) g/(x)f(x)g(x)/=f/(x) g(x)+f(x)g/(x)/ / 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )f x f x g x f x g xg x g xf(g(x)/=f/(g(x)g/(x) 例1、求下列函数在x=x0处的导数2 3 02 0 03 2 02 (1) ( ) cos sin cos , ;3(2) ( ) sin (1 2cos ), ;2 4 6(3) ( ) , 2;1 1 ln(4) ( ) , 1.x xf x x x x xx xf x xe ef x xx xx x x xf x xx 注意函数表达式的化简 题型三 利用单数的物理意义求变化率例1、若以n立方厘米/秒的速度向一底面半径为r厘米，高为h厘米的倒立圆锥容器内注水，求在注水时水面上升的速率。 题型四 利用导数的几何意义，求曲线在一点处的切线方程例1、已知曲线C1: y=ex与C2:y= 分别在点P1,P2处的切线是同一条直线l，求l的方程。1xe分析：设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则C1的切线方程为：同理： C2的切线方程为： 1 1 1 11 1 1: ( ) (1 )x x x xl y e e x x y e x e x 即：2 2 2 21 2 2: ( ) (1 )x x x xl y e e x x y e x e x 即：根据两直线重合，对应项系数相等可得x1=1,x2=-1 例2、已知a0,曲线y=x3-a3在点x=x1(x10)处的切线为l,（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为(x2,0),求证： x2a; 若x1a,则x2a,则x2x1.x2-x1= 3 3 3 3 31 1 112 21 13 3 1212 2 33 3 03a x a x xxx xa xx 例3、已知曲线y=alnx-1(a0)在点P(x0,y0)处的切线l1过点(0,-1).(1)对任意的a0 ，证明点P在一条定直线上。(2)若直线l1 l2 ， l1 l2 =P，求在y轴上截距的取值范围。 练习：1、曲线y=ex在一点处的切线l过原点，则l的倾斜角 为 。2、向气球内充气，若气球的体积以36(cm3/s)的速度 增大,气球半径R(t)(cm)增大的速率R(t)= (cm/s).3、若曲线y=lgx在点P处的切线垂直于直线y=-xln10,则点P的坐标为 。4、已知两曲线y=x 3+ax和y=ax2bx+c都经过点P(1,2),且在点P处有公切线，试求a,b,c值。