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要点导学各个击破互斥事件与对立事件的概念每一万张有奖明信片中,有一等奖5张、二等奖10张、三等奖100张.某人买了1张,设事件A为“这张明信片获一等奖”,事件B为“这张明信片获二等奖”,事件C为“这张明信片获三等奖”,事件D为“这张明信片未获奖”,事件E为“这张明信片获奖”,则在这些事件中:(1) 与事件D互斥的有哪些事件?(2) 与事件D对立的有哪些事件?(3) 与事件A+B对立的有哪些事件?(4) 与事件+互斥的有哪些事件?解答(1) 事件A,B,C,E与事件D互斥;(2) 事件E与事件D对立;(3) 事件C+D与事件A+B对立;(4) 没有事件与事件+互斥.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,设“至少有一个红球”为事件A,则A的对立事件是 .答案摸出的球都是黑球简单的互斥事件的概率在一个袋子中,装有3个白球、2个黑球和1个蓝球,这些球除颜色外完全相同,从袋中任意摸出1个球.(1) 取出的球是白球或蓝球的概率是多少?(2) 取出的球不是黑球的概率是多少?解答(1) 记“取出的球是白球”为事件A,“取出的球是蓝球”为事件B,A,B为互斥事件,则取出的球是白球或蓝球的概率P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.(2) 记“取出的球不是黑球”为事件C,“取出的球是黑球” 为事件C的对立事件,则P(C)=1-P()=1-=.回答下列问题:(1) 甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为0.65,乙的命中率为0.60,那么能否得出结论:目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25?为什么?(2) 一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论:目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75?为什么?(3) 两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件,所以它的概率等于1-=,这样做对吗?请说明道理.解答(1) 不能,因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.(2) 能,因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3) 不对,因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为1. 如图所示是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市.(1) 求此人到达当日空气重度污染的概率;(2) 求此人到达当日空气质量优良的概率.(例3)解答设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,13).根据题意,P(Ai)=,且Ai与Aj互斥(ij).(1) 设“此人到达当日空气重度污染”为事件B,则B=A5A8.所以P(B)=P(A5+A8)=P(A5)+P(A8)=.(2) 设“此人到达当日空气质量优良”为事件C,则C=A1A2 A3A7A12A13.P(C)=P(A1+A2 +A3+A7+A12+A13)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)+P(A13)=.【题组强化重点突破】1. 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,事件B为“出现2点”,已知P(A)=,P(B)=,那么出现奇数点或2点的概率之和为.答案解析设“出现奇数点”为事件A,“出现2点”为事件B,事件A,B互斥,“出现奇数点或2点”的概率之和为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.2. (2014江苏模拟)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.答案解析设事件A为“甲夺得冠军”,事件B为“乙夺得冠军”,则P(A)=,P(B)=.因为事件A和事件B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.3. (2014江苏模拟)从某班学生中任意找出一人,该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在160,175的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为.答案0.3解析因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1-0.2-0.5=0.3.复杂的互斥事件的概率 某医院派医生下乡医疗,派出的医生人数及其概率如下表所示:医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1) 若派出医生不超过2人的概率为0.56,求x的值;(2) 若派出医生最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.思维引导求复杂事件的概率首先要弄清事件之间的关系.解答(1) 由派出医生不超过2人的概率为0.56,得0.1+0.16+x=0.56,所以x=0.3.(2) 由派出医生最多4人的概率为0.96,得0.96+z=1,所以z=0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44,得y+0.2+z=0.44,所以y=0.44-0.2-0.04=0.2.一个射手进行一次射击,下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C:命中环数小于6环;事件D:命中环数为6,7,8,9,10环.解答A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).某饮料公司对一名员工进行测试,以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1) 求此人被评为优秀的概率;(2) 求此人被评为良好及以上的概率.规范答题将5杯饮料分别编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),共10种.令“此人被评为优秀”为事件D,“此人被评为良好”为事件E,“此人被评为良好及以上”为事件F.(4分)(1) P(D)=. (8分)(2) P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=. (14分)1. 某人要从甲地到乙地去,他可以乘当天4趟次火车之一,其概率分别为0.3,0.1,0.4,x,则x=.答案0.2解析x=1-0.3-0.1-0.4=0.2.2. 某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100,则该班成绩低于60分的概率是.答案0.3(第2题)3. 若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为.答案解析五人中选用三人,列举可得基本事件个数是10,“甲或乙被录用”的对立事件是“甲、乙都没有被录用”,即录用的是其余三人,只含有一个基本事件,故所求概率是1-=.4. (2014四川模拟)某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算该射手在一次射击中:(1) 射中10环或9环的概率;(2) 少于7环的概率.解答(1) 该射手射中10环或射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为P=0.21+0.23=0.44.(2) 射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为P=1-0.97=0.03.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第135-136页).
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