（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题

第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有0的解集是_.答案(，2)(0，2)解析当x0时，0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)0的解集为(，2)(0，2).命题点2证明不等式例2(2016全国丙卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，11，证明：当x(0，1)时，1(c1)xcx.(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减.(2)证明由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即11，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.当x0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减.由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x0.所以当x(0，1)时，1(c1)xcx.命题点3不等式恒成立或有解问题例3已知函数f(x).(1)若函数f(x)在区间(a，a)上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)函数的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1；当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减.所以x1为极大值点，所以0a1a，故a0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2，故k2.所以实数k的取值范围是(，2.引申探究本题(2)中，若改为存在x01，e，使不等式f(x)成立，求实数k的取值范围.解当x1，e时，k有解，令g(x)，由例3(2)解题知，g(x)为单调增函数，g(x)maxg(e)2，k2，即实数k的取值范围是(，2.思维升华(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式.(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x).(3)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(2015福建)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)x1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1).(1)解f(x)x1，x(0，).由f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明令F(x)f(x)(x1)，x(0，).则有F(x).当x(1，)时，F(x)0，所以F(x)在(1，)上单调递减，故当x1时，F(x)F(1)0，即当x1时，f(x)x1.(3)解由(2)知，当k1时，不存在x01满足题意.当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)k(x1)，从而不存在x01满足题意.当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有G(x)x1k.由G(x)0，得x2(1k)x10.解得x10，x21.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在(1，x2)内单调递增.从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1).综上，k的取值范围是(，1).题型二利用导数研究函数零点问题例4(2016扬州模拟)设函数f(x)xexasin xcos x (aR，其中e是自然对数的底数).(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)若对于任意的x0，f(x)0恒成立，求a的取值范围；(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间(0，)上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1) 当a0时，f(x)xex，f(x)ex(x1)，令f(x)0，得x1.列表如下：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f(1)，无极大值.(2)当a0时，由于对于任意x0，有sin xcos x0，所以f(x)0恒成立，即当a0时，符合题意；当0a1时，因为f(x)ex(x1)acos 2xe0(01)acos 01a0，所以函数f(x)在0，上为增函数.所以f(x)f(0)0，即当01时，f(0)1a0，设f()0，其中是f(x)0中最接近x0的零点.所以f(x)在(0，)上为减函数，此时f(x)1时，不符合题意.综上所述，a的取值范围是(，1.(3)不存在实数a，使得函数f(x)在区间(0，)上有两个零点.由(2)知，当a1时，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，故函数f(x)在区间(0，)上无零点.当a1时，f(x)ex(x1)acos 2x.令g(x)ex(x1)acos 2x，则g(x)ex(x2)2asin 2x，当x(0，)时，恒有g(x)0，所以g(x)在(0，)上是增函数.由g(0)1a0，故g(x)在(0，)上存在唯一的零点x0，即方程f(x)0在(0，)上存在唯一解x0.且当x(0，x0)时，f(x)0，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增.当x(0，x0)时，f(x)f(0)0，即f(x)在(0，x0)上无零点；当x(x0，)时，由于f(x0)0，所以f(x)在(x0，)上有唯一零点.所以，当a1时，f(x)在(0，)上有一个零点.综上所述，不存在实数a，使得函数f(x)在区间(0，)上有两个零点.思维升华利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数.(2016南通模拟)已知函数f(x)aln x(aR).(1)求f(x)的单调区间；(2)试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.解(1)由f(x)aln x知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)(2ln x).令f(x)0，得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值所以，函数f(x)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，).(2)由(1)知f(x)minf()a.若a，因为f(x)f(x)minf()a0，所以此时函数f(x)的零点个数为0.若a，则f(x)minf()a0，而函数f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，)上是单调增函数，即当0xf()0；当x时，f(x)f()0.于是，此时f(x)有唯一零点，即零点个数为1.若a，则f(x)minf()a0.当a0时，因为当x(0，时，f(x)aln xa0，所以函数f(x)在区间(0，上无零点；因为函数f(x)在，)上是单调增函数，且f()a0，而e2a(，)，f(e2a)a(12ea)0，所以函数f(x)在(，e2a)上恰有一个零点.于是函数f(x)在，)上恰有一个零点.从而当a0时，函数f(x)的零点个数为1；当0a0，f()a0，所以函数f(x)在(，1)上恰有一个零点，于是函数f(x)在(，)上也恰有一个零点.因为函数f(x)在(0，)上是单调减函数，且f()aa0(利用结论：“当x0时，exx2”进行放缩)，此时，函数f(x)在(0，)上恰有一个零点，故当0a时，函数f(x)的零点个数为0；当a或a0时，函数f(x)的零点个数为1；当0a时，函数f(x)的零点个数为2.题型三利用导数研究生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)因为当x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2，3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值.所以，当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.思维升华利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点.(4)回归实际问题作答.(2016苏北四市调研)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x0)；月需求量为y2万吨，y2x2x1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.解(1) 若a，由y2y1，得x2x1x()2，解得40x6 . 因为1x14，所以1x6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)当1x6时，g(x)(x)xg(6).当6x0，得x0，所以f(x)在区间(1，14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，则函数f(x)在区间6，14)上有零点，所以即解得00，得x，又x0，2，所以g(x)在区间0，上单调递减，在区间，2上单调递增，所以g(x)ming()，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.7分(2)对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间，2上，函数f(x)ming(x)max.9分由(1)可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间，2上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立.设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.14分即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，).16分1.函数f(x)(x1)2(x2)2的极大值是_.答案解析f(x)(x1)2(x2)2，f(x)2(x1)(2x3)(x2).令f(x)0，得可能的极值点x11，x2，x32.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)(，2)2(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值f()是函数的极大值.2.已知曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为_.答案(1，1)解析函数yx2aln x(a0)的定义域为x|x0，y2x24，则a2，当且仅当x1时，“”成立，将x1代入曲线方程得y1，故所求的切点坐标是(1，1).3.如果不等式对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为_.答案(0，1解析由题意知k0，令f(x)(x0)，则f(x)，因此f(x)，令f(x)0，解得x，且函数f(x)在x处取得极大值，也是最大值，由题意有，所以00)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0，即AB的最小值是42ln 2.6.已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_.答案2，0解析|f(x)|ax成立.由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立.当x0时，aR；当x0)，则h(x)a(x0)，可知h(x)为减函数.当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数，所以h(x)h(0)0恒成立；当a1时，因为(0，1)，所以h(x)a0，故h(x)为减函数，所以h(x)h(0)0恒成立，显然不符合题意；当0a0，满足h(x0)ln(x01)ax00成立.如a时，取x04，则h(x0)ln 520成立，可知0a1时，不符合题意.故a0.由可知a的取值范围是2，0.7.若函数f(x)ax24x3在0，2上有最大值f(2)，则a的取值范围是_.答案1，)解析f(x)2ax4，由f(x)在0，2上有最大值f(2)，则要求f(x)在0，2上单调递增，则2ax40在0，2上恒成立.当a0时，2ax40恒成立；当a1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为_.答案(0，)解析设g(x)exf(x)ex(xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)1，f(x)f(x)10，g(x)0，yg(x)在定义域上单调递增，exf(x)ex3，g(x)3，又g(0)e0f(0)e0413，g(x)g(0)，x0.9.已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0且x00，则a的取值范围是_.答案(，2)解析当a0时，f(x)3x21有两个零点，不合题意，故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x10，x2.若a0，由三次函数图象知f(x)有负数零点，不合题意，故a0知，f()0，即a()33()210，化简得a240，又a0，所以a1且x0，证明：g(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1，0)时，0x1，0ex1，则0xex1，从而当x(1，0)时，h(x)0，h(x)在(1，0)上单调递减.当1xh(0)0，即g(x)1且x0时总有g(x)1.